9744
.pdf
y |
|
|
l |
N |
|
M 0 |
M |
|
0 |
|
x |
|
|
Рис. 3.1 |
Выберем произвольную точку M (x; y) на прямой l . Тогда вектор M 0 M = {x - x0 ; y - y0 } лежит на прямой l . Так как прямая l
перпендикулярна вектору N по условию, то и вектор |
M 0 M |
||||||
|
|
, а значит |
|
× |
|
= 0 , откуда |
|
перпендикулярен вектору |
N |
M 0 M |
N |
|
|||
A ×(x - x0 ) + B ×(y - y0 ) = 0 . |
(3.1) |
||||||
Уравнение (3.1) является уравнением прямой на плоскости, |
|||||||
проходящей через точку (x0 ; y0 ) и |
перпендикулярной вектору |
||||
|
|
{A; B}. |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется |
|||
вектором нормали прямой. Вектор |
|
|
{A; B} является вектором |
||
|
N |
||||
нормали прямой l .
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и перпендикулярной вектору PQ , если P( 0;1) и
Q(-1; 2).
Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали прямой l : N = PQ = {−1;1} .
Подставляя в уравнение (3.1) координаты точки M 0 (1; 2) и
координаты вектора |
|
= {−1;1}, |
|
|
N |
находим искомое уравнение |
|||
прямой |
l : |
|
||
l : |
-1×(x -1) +1× (y - 2) = 0 |
или − x + y −1 = 0 |
||
|
20 |
|||
Ответ: - x + y -1 = 0 .
Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом:
Ax − Ax0 + By − By0 = 0 |
или |
Ax + By + (− Ax0 − By0 ) = 0 . |
|
Обозначив C = − Ax0 |
− By0 , |
получаем общее |
уравнение |
прямой на плоскости вида |
|
|
|
Ax + By + C = 0. |
(3.2) |
||
Исследуем уравнение (3.2):
1. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 уравнение (3.2) примет вид
Ax + By = -C .
Разделив обе части последнего уравнения на (− C )
|
|
|
x |
+ |
y |
|
= 1, |
|||
|
|
|
− C |
|
− C |
|
||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
||
обозначив a = − C |
, b = − C |
B |
получаем уравнение прямой на |
|||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости в «отрезках» вида |
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
+ |
y |
= 1, |
(3.3) |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
a b |
|
|
|
|
||||
где a и b - величины отрезков, которые прямая l отсекает от осей координат (рис. 3.2).
|
y |
l |
|
|
b |
a |
0 |
x |
|
|
Рис.3.2 |
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и отсекающей от осей координат равные отрезки
(рис. 3.3).
21
y
l
b
2 
M 0
0 |
1 |
a |
x |
Рис. 3.3
Решение. Используем уравнение (3.3). |
Так |
как a = b |
по |
|||
условию, то его можно переписать в виде |
l : |
x |
+ |
y |
= 1 |
или |
|
|
|||||
|
|
a a |
|
|||
l : x + y = a . |
|
|
|
|
|
|
Поскольку точка M 0 (1; 2) лежит на прямой l , |
то, подставляя |
|||||
еекоординаты в последнее уравнение, находим a = 3.
Следовательно, l : x + y = 3 – уравнение искомой прямой.
Ответ: x + y = 3 .
Пример. Построить прямую l : 2x − 3y − 6 = 0.
Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида
(3.3):
2x − 3y − 6 = 0 ; 2x − 3y = 6 ;
2x |
− |
3y |
= 1; |
x |
+ |
y |
= 1. |
|
|
|
|
||||
6 6 |
3 |
|
− 2 |
||||
Отметим на оси Ox точку x = 3 , а на оси Oy точку y = −2 и
через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая
(рис. 3.4).
22
y
0 |
|
|
3 |
x |
|
|
|||||
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
||
Рис.3.4
Если B ¹ 0 , то уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:
By = -Ax - C |
или |
y = − |
A |
x − |
C |
. |
||||
B |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
||
Обозначив k = − |
A |
, b = − |
C |
, |
получим уравнение прямой с |
|||||
|
|
|||||||||
|
B |
|
B |
|
|
|
|
|
||
угловым коэффициентом k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
l : y = kx + b |
|
|
|
|
|
(3.4) |
||||
Угловой коэффициент |
k равен тангенсу угла α наклона |
|||||||||
прямой l к положительному направлению оси Ox (рис. 3.5), то есть k = tg α .
y
|
y |
M |
y − b |
|
α |
||
|
b |
||
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
α |
x |
x |
l |
0 |
Рис.3.5
Из рисунка 3.5 следует, что для любой точки M (x; y) l
выполняется равенство y − b = tgα = k . x
23
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и образующей с положительным направлением
оси Ox угол 45O .
Решение. Пусть искомое уравнение прямой l запишется в
виде (3.4) |
l : y = kx + b . По условию |
α = 45O , значит |
k = tgα = tg 45O = 1, следовательно l : y = x + b . |
|
|
Поскольку точка M 0 (1; 2) лежит на прямой, то подставляя в |
||
последнее уравнение ее координаты, находим |
l : 2 = 1+ b , откуда |
|
b = 1. |
|
|
Таким |
образом, искомое уравнение прямой l имеет вид |
|
y = x + 1. |
|
|
Ответ: y = x + 1.
Пусть прямая l проходит через точку M 0 (x0 ; y0 ) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:
l : y = kx + b ,
где b – пока неизвестная величина. |
|
|
|
|
|
||
Так как точка |
M 0 (x0 ; y0 ) лежит |
на |
прямой |
l , |
то |
ее |
|
координаты удовлетворяют уравнению прямой l , то есть |
имеет |
||||||
место равенство: y0 = k × x0 + b , откуда |
b = y0 − kx0 . |
Подставляя |
|||||
значение b в уравнение y = kx + b , получаем: |
y = kx + y0 − kx0 |
или |
|||||
y − y0 |
= k(x − x0 ) |
|
|
|
(3.5) |
||
Уравнение (3.5) |
с |
различными значениями k |
называется |
||||
также уравнением пучка прямых с центром в точке M 0 (x0 ; y0 ).
Из этого пучка нельзя определить лишь прямую,
параллельную оси Oy , так как tg90O = +∞ .
24
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку пересечения прямых l1 : x - y + 2 = 0 и l2 : 2x + y - 5 = 0 и
образующей с положительным направлением оси Ox угол 135O .
Решение. Координаты точки M 0 пересечения прямых l1 и l2
находим из системы уравнений этих прямых
x − y + 2 = 02x + y − 5 = 0
Получаем координаты точки M 0 (1;3).
По условию α = 135O , значит k = tg135O = −1. Подставляя в уравнение (3.5) k = −1 и x0 = 1, y0 = 3 находим искомое уравнение прямой
l : y - 3 = -1×(x -1) или
l : x + y − 4 = 0 .
Ответ: x + y - 4 = 0 .
2. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C = 0 уравнение (3.2) примет вид
Ax + By = 0.
Это уравнение прямой l , проходящей через начало координат –
|
|
|
|
A |
|
||
точку O( 0; 0) и точку M |
|
1;− |
|
|
(рис. 3.6). |
||
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
B |
|
||
|
|
y |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
A |
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
Рис.3.6 |
|
|
|
|
25 |
|
|||
Пример. Построить прямую l : 2x − 6 y = 0 .
Решение. Здесь A = 2 , B = −6 , C = 0. Уравнение прямой l
является общим уравнением прямой на плоскости, проходящей
|
|
|
1 |
|
|
через точку O и точку M |
|
1; |
|
|
(рис. 3.7). |
|
3 |
||||
|
0 |
|
|
||
y
l
1 |
M0 |
3 |
1 x |
0 |
Рис.3.7
3. При A = 0 , |
B ¹ 0 , |
C ¹ 0 уравнение (3.2) примет |
вид |
||||||
By + C = 0 или |
y = − |
C |
. |
Это уравнение |
прямой на плоскости, |
||||
|
|||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
параллельной |
оси |
Ox |
и |
проходящей |
через точку 0;− |
|
. |
||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
(рис.3.8)
y
|
l |
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
− C |
B |
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 3.8 |
|
Пример. Построить прямую l : 3y + 6 = 0. |
||||
Решение. Здесь A = 0 , B = 3, |
C = 6. Уравнение прямой l |
|||
является общим уравнением прямой на плоскости, параллельной оси Ox и проходящей через точку ( 0;−2) (рис. 3.9).
26
y
|
|
0 |
x |
|
|
l |
-2 |
|
|
|
|
|
Рис. 3.9 |
|
4. При A ¹ 0 , B = 0 , |
C ¹ 0 |
уравнение (3.2) примет вид |
||
Ax + C = 0 или x = − C .
A
Это уравнение прямой на плоскости, параллельной оси Oy и
|
− |
C |
|
|
проходящей через точку |
|
; 0 (рис. 3.10). |
||
A |
||||
|
|
|
y
−C |
0 |
x |
A |
|
|
|
|
Рис. 3.10 |
Пример. Построить прямую l : 2x +1 = 0 . |
||
Решение. Здесь A = 2 , |
B = 0 , |
C = 1. Уравнение прямой l |
является общим уравнением прямой на плоскости, параллельной
|
− |
1 |
|
|
оси Oy и проходящей через точку |
|
; 0 (рис. 3.11). |
||
2 |
||||
|
|
|
y
− 1 |
0 |
x |
2
Рис. 3.11
27
5. |
При |
A = 0 , |
B ¹ 0 , |
C = 0 |
уравнение |
(3.2) |
примет |
вид |
By = 0 или y = 0. Это уравнение координатной оси Ox . |
|
|||||||
6. |
При |
A ¹ 0 , |
B = 0 , |
C = 0 |
уравнение |
(3.2) |
примет |
вид |
Ax = 0 или x = 0. Это уравнение координатной оси Oy . |
|
|||||||
Итак, рассмотрены все возможные случаи общего уравнения
(3.2) прямой на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки
Выведем уравнение прямой l , проходящей через две
заданные точки M1 (x1; y1 ) |
и |
M 2 (x2 ; y2 ) на |
плоскости |
xOy в |
||||||||
прямоугольной декартовой системе координат (рис. 3.12). |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
M 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.12 |
|
|
|
|||
Поскольку точка M1 (x1 ; y1 ) лежит на прямой l то, |
||||||||||||
подставляя |
|
в |
уравнение |
(3.5) ее координаты, записываем |
||||||||
уравнение прямой l |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
l : y - y1 = k × (x - x1 ), |
|
|
(3.6) |
||||||
где k – пока неизвестный коэффициент. |
|
|
|
|||||||||
Так как прямая l проходит и через точку |
M 2 (x2 ; y2 ), |
то ее |
||||||||||
координаты должны удовлетворять уравнению (3.6), то есть: |
||||||||||||
|
y |
|
- y |
= k × (x |
|
- x ), |
откуда k = |
y2 |
− y1 |
. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
x2 |
− x1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя найденное значение k в уравнение уравнение прямой, проходящей через точки M1 и
l : y − y1 = x − x1 y2 − y1 x2 − x1
(3.6), получим
M 2 :
(3.7)
28
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через
точки M1 (1; 2) и M 2 (−1;3). |
|
|
||||||||
|
|
Решение. |
Подставляя в уравнение (3.7) |
x1 |
= 1, y1 = 2 и |
|||||
|
x2 = −1, y2 = 3, находим искомое уравнение прямой |
l : |
||||||||
|
y - 2 |
= |
x -1 |
; |
y - 2 |
= |
x -1 |
; - 2(y - 2) = 1×(x -1); |
x + 2 y − 5 = 0 . |
|
3 - 2 |
|
1 |
|
|||||||
|
-1 -1 |
- 2 |
|
|
|
|||||
Ответ: x + 2 y − 5 = 0.
Взаимное расположение прямых на плоскости
Пусть две прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами k1 и k2 , |
соответственно, то есть l1 : y = k1 x + b1 ; |
l2 : y = k2 x + b2 . Требуется |
найти угол ϕ , на который надо |
повернуть прямую l , вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l2 . (рис. 3.13).
y
|
l2 ϕ |
l1 |
|
|
|
α1 |
α2 |
x |
0 |
|
Рис.3.13
По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: α2 = ϕ + α1
или ϕ = α2 -α1 . Если ϕ ¹ 90O , то |
|
|
|
|
|
|
||
tgϕ = tg(α2 -α1 ) = |
|
tgα2 - tgα1 |
. |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
+ tgα1 ×tgα |
2 |
|
||
Но так как tgα1 = k1 и tgα2 = k2 |
, то |
|
|
|
||||
tgϕ = |
k2 - k1 |
|
|
|
|
(3.8) |
||
1 + k × k |
2 |
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
29 |
|
|
|
|
||