![](/user_photo/_userpic.png)
9744
.pdfТаким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя прямыми на плоскости.
Пример. Найти угол между прямыми l1 : x − 2 y + 1 = 0 и l2 : 3x + y − 3 = 0 .
Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых l1 и l2 в виде уравнений с угловыми коэффициентами k1 и k2 ,
соответственно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l : 2 y = x + 1 или l : y = |
1 |
x + |
1 |
, значит k = |
1 |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
1 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
l2 : y = −3x + 3 , значит k2 |
= −3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Подставляя найденные значения k |
= |
1 |
и k |
|
= −3 в формулу |
||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(3.8), находим угол ϕ между прямыми l1 |
и l2 : |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
- 3 - |
1 |
|
- |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
tgϕ = |
|
2 |
|
= |
2 |
|
= 7 , откуда ϕ = arctg 7 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 + |
1 |
× (- 3) |
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ϕ = arctg 7 .
Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (3.8) берется по модулю, то
есть
|
tgϕ = |
|
k2 - k1 |
|
|
. |
|
|
|
1 + k × k |
2 |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Если прямые l1 : y = k1 x + b1 ; |
l2 : y = k2 x + b2 параллельны, то |
||||||
ϕ = 0 и tgϕ = 0 , следовательно, |
из формулы (3.8) получаем, что |
||||||
k2 − k1 |
= 0, то есть k2 = k1 . И обратно, если прямые l1 и l2 таковы, |
||||||
что k1 |
= k2 , значит tgϕ = 0 , то есть прямые параллельны. |
||||||
|
30 |
|
|
|
![](/html/65386/175/html_lg44KOQf_n.gkUm/htmlconvd-e1r7Wz32x1.jpg)
Если |
прямые |
l и |
l |
2 |
перпендикулярны (ϕ = π ), то |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgϕ = |
1 + k1 × k2 |
= 0 , |
откуда |
k × k |
|
= -1. Справедливо и обратное |
||
|
2 |
|||||||
|
k2 |
− k1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
утверждение.
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M (1; 2) и перпендикулярной прямой L : 3x + 2 y − 5 = 0 .
Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде
уравнения прямой с угловым коэффициентом kL :
L : 3x + 2 y − 5 = 0 ,
L : 2 y = −3x + 5 ,
L : y = − 3 x + 5 , значит k |
|
= − |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Прямые l и L перпендикулярны по условию, значит |
|||||||||||||||
kl × kL = -1, следовательно, kl = − |
1 |
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
kL |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя в уравнение (3.5) k |
|
= |
|
2 |
, x = 1, |
y |
|
= 2 находим |
|||||||
l |
|
|
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
искомое уравнение прямой l :
l : y − 2 = 2 (x −1) 3
l : 3y − 6 = 2x − 2 l : 2x − 3y + 4 = 0
Ответ: 2x − 3y + 4 = 0.
31
![](/html/65386/175/html_lg44KOQf_n.gkUm/htmlconvd-e1r7Wz33x1.jpg)
§ 4. Плоскость
Переходим далее к аналитической геометрии в пространстве. Объектом изучения теперь будет плоскость. Если в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат, то положение любой точки однозначно определяется тремя числами - её координатами. Найдем уравнение, связывающее координаты любой точки,
принадлежащей плоскости. Способ получения уравнения плоскости аналогичен выводу общего уравнения прямой на плоскости.
|
Общее уравнение плоскости |
|
|||
Пусть в |
прямоугольной |
декартовой системе |
координат |
||
|
M 0 ( x0 ; y0; z0 ) и |
вектор |
|
{A; B;C} . |
|
задана точка |
N |
Требуется |
|||
составить уравнение плоскости, |
проходящей через точку M 0 и |
перпендикулярной вектору N (рис. 4.1).
z
N = (A; B;C )
M 0
0 |
M |
y |
|
||
|
|
x
Рис. 4.1
32
![](/html/65386/175/html_lg44KOQf_n.gkUm/htmlconvd-e1r7Wz34x1.jpg)
Выберем произвольную точку M ( x; y; z) на плоскости.
Тогда вектор M 0M = {x - x0; y - y0 ; z - z0} лежит на плоскости. Так
как плоскость перпендикулярна вектору |
N по условию, то и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, а значит скалярное |
|
вектор M 0 M перпендикулярен вектору |
N |
||||||||
произведение |
|
× |
|
= 0 , или в координатах |
|
||||
M 0 M |
N |
|
|||||||
|
A ×(x - x0 ) + B ×( y - y0 ) + C ×(z - z0 ) = 0 . |
(4.1) |
|||||||
Уравнение (4.1) является уравнением |
плоскости, |
проходящей через точку M 0 (x0 ; y0; z0 ) и перпендикулярной вектору N {A; B;C} .
Вектор N { A; B;C} называется вектором нормали плоскости.
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1;2;3) и перпендикулярной вектору PQ , если P( 0;1;7)
и Q(-1;2;5).
Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали плоскости: N = PQ = {−1;1;−2} .
Подставляя в уравнение (4.1) координаты точки M 0 (1;2;3) и
найденные координаты вектора N , находим искомое уравнение плоскости:
-1×( x -1) +1×( y - 2) - 2 ×( z - 3) = 0 или
−x + y − 2z + 5 = 0
Ответ: −x + y − 2z + 5 = 0 .
Далее преобразуем уравнение (4.1):
Ax − Ax0 + By − By0 + Cz − Cz0 = 0 или
Ax + By + Cz + (− Ax0 − By0 − Cz0 ) = 0 .
33
![](/html/65386/175/html_lg44KOQf_n.gkUm/htmlconvd-e1r7Wz35x1.jpg)
Обозначив D = −Ax0 − By0 − Cz0 , получаем общее уравнение
плоскости вида |
|
Ax + By + Cz + D = 0. |
(4.2) |
Исследуем уравнение (4.2)
1. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 , D ¹ 0 уравнение (4.2) примет
вид
Ax + By + Cz = −D .
Разделив обе части последнего уравнения на (−D)
|
|
|
x |
+ |
|
y |
|
+ |
y |
|
= 1, |
||||||
|
|
− D |
− D |
|
− D |
|
|||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|||||
и обозначив |
a = − D |
, b = − D |
B |
, c = − D |
C |
, получаем уравнение |
|||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
плоскости «в отрезках»: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1, |
|
|
(4.3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
a |
|
b |
c |
|
|
|
|
|
|
где a , b и c - величины отрезков, которые плоскость отсекает от осей координат (рис. 4.2).
z
− CD
N = (A; B;C )
|
− D |
|
0 |
B |
|
y |
||
|
− D |
A |
x |
Рис. 4.2
34
![](/html/65386/175/html_lg44KOQf_n.gkUm/htmlconvd-e1r7Wz36x1.jpg)
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( 1;2;3) и отсекающей от осей координат равные
отрезки.
Решение. Используем уравнение (4.3). Так как a = b = c по условию, то его можно переписать в виде x + y + z = a .
Поскольку точка M 0 ( 1;2;3) лежит на плоскости, то,
подставляя ее координаты в последнее уравнение, находим a = 6 .
Следовательно, |
x + y + z = 6 – уравнение искомой плоскости. |
|||||||||||||||
Ответ: x + y + z = 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Построить плоскость |
6x − 2y + 3z −12 = 0 . |
|||||||||||||||
Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида |
||||||||||||||||
(4.3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
− |
2 y |
+ |
3z |
=1; |
|
x |
|
+ |
|
y |
+ |
z |
=1. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
12 12 |
|
12 |
|
|
|
|
−6 |
4 |
|
||||||
Отметим на оси Ox точку x = 2 , |
на оси Oy точку y = −6, на |
|||||||||||||||
оси Oz точку |
z = 4 , и |
|
через |
эти |
точки |
|
проведем искомую |
плоскость (рис. 4.3).
z
4
− 6 |
0 |
y |
2
x
Рис. 4.3
35
![](/html/65386/175/html_lg44KOQf_n.gkUm/htmlconvd-e1r7Wz37x1.jpg)
2. Рассмотрим случай, когда в уравнении (4.2) коэффициент
A = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uur |
|
|
||
Тогда |
вектор |
нормали |
N = 0; B;C оказывается |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
перпендикулярен |
оси |
Ox , |
а плоскость By + Cz + D = 0 , тем |
||||||||||||
самым, - |
параллельна |
|
этой оси. Аналогично – |
при нулевых |
|||||||||||
коэффициентах B или |
C (рис.4.4). |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4
36
![](/html/65386/175/html_lg44KOQf_n.gkUm/htmlconvd-e1r7Wz38x1.jpg)
3. Если равны нулю два |
коэффициента перед переменными |
уравнения (4.2), например, |
A = B = 0 , то вектор нормали |
uuur
N = {0;0;C}перпендикулярен координатной плоскости xOy , а
сама плоскость Cz + D = 0 – параллельна ей. Аналогично – при двух других нулевых коэффициентах перед переменными (рис. 4.5).
Рис. 4.5
37
![](/html/65386/175/html_lg44KOQf_n.gkUm/htmlconvd-e1r7Wz39x1.jpg)
4. Если в уравнении (4.2) D = 0 , то оно задаёт плоскость,
проходящую через начало координат. Для её построения достаточно рассмотреть прямые, которые получаются при пересечении плоскости с координатными плоскостями (рис. 4.6).
Рис. 4.6
5. Допустим, что нулевыми оказываются коэффициент при
одной из |
переменных и свободный коэффициент. Например, |
A = D = 0. |
В этом случае уравнение (4.2) приобретает вид |
By + Cz = 0 и задаёт плоскость, проходящую через ось Ox . Для её построения достаточно добавить ещё одну прямую – например, линию пересечения плоскости с координатной плоскостью yOz (рис. 4.7). При B = D = 0 или C = D = 0
ситуации аналогичны (рис. 4.8).
Рис. 4.7
38
![](/html/65386/175/html_lg44KOQf_n.gkUm/htmlconvd-e1r7Wz40x1.jpg)
Рис. 4.8
Итак, мы рассмотрели все возможные случаи общего
уравнения (4.2) плоскости.
Уравнение плоскости,
проходящей через три заданные точки
Выведем теперь уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1 ( x1; y1; z1 ) , M2 (x2; y2; z2 ) и M3 (x3; y3; z3 )
в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого рассмотрим произвольную точку плоскости M ( x; y; z) . Три
вектора M1M , M1M 2 и M1M3 компланарны (рис. 4.9),
поэтому их смешанное произведение равно нулю.
39