9714

[Введите текст]

Лекция 37. Производные сложных функций

37.1. Дифференцирование сложных функций. Будем предполагать,

каждая из этих разностей – это функция одной переменной. Применим к ним формулу Лагранжа (формулу конечных приращений)

z = fx′(ξ, y)(x − x0 ) + f y′(x0 ,η)( y − y0 ) ,

t → t0 t1 , t2 → t0 x → x0 , y → y0 ξ → x0 ,η → y0 ,

с учетом непрерывности всех, входящих в это равенство функций, получаем

260

В силу произвольности значения t0 приходим к формуле (37.1).

Заметим, что это естественное обобщение формулы производной сложной функции одной переменной. В случае большего числа переменных, например, если z = f (u(t), v(t), w(t)) , то

37.2. Вычисление производной по направлению. Теперь мы можем получить формулу для вычисления производной по направлению. В самом деле, согласно определению (37.1) производная по направлению совпадает

Обратим только внимание на тот факт, что в определении производной по направлению мы приближаемся к данной точке с одной стороны, т.е. имеем односторонний предел. Например, частная производная по отрицательному направлению оси абсцисс отличается знаком от частной производной по переменной x .

Аналогичным образом вводится понятие производной по направлению для функции трёх переменных u = F ( x, y, z)

Приведём без доказательства формулы для производной сложной функции z = f (u,v) , u = u( x, y), v = v( x, y) . В итоге

z = f (u( x, y), v( x, y)) = Φ( x, y)

будет функцией двух переменных и ее частные производные находятся по формулам

[Введите текст]

37.3. Дифференцирование неявных функций. Полученные нами правила дифференцирования сложных функций позволяют более просто, чем ранее, находить производные функций, заданных неявно. Пусть урав-

которую функцию двух переменных, у которой существуют частные производные. Как их найти?

Продифференцируем тождество F ( x, y, z( x, y)) ≡ 0 по переменной x , рассматривая его левую часть как сложную функцию F (u, v, w) , где «про-

Поскольку x и y независимые переменные, то dy = 0 и, следовательно,

37.4. Градиент. При исследовании поведения функции двух переменных в данной точке естественно задаться вопросом: в каком направлении производная самая большая? Другими словами, в каком направлении у поверхности z = f ( x, y) в данной точке самый крутой склон?

Для ответа на этот вопрос введем следующий вектор

[Введите текст]

z = f ( x, y)

M 1

e

αM 0 ( x0 , y0 )

B

Рис. 37.1

Эту величину называют крутизной подъёма поверхности в данной точке. Теперь убедимся в том, что в каждой точке градиент направлен по нормали к линии уровня f ( x, y) = C , проходящей через данную точку. Пусть функция z = f ( x, y) имеет непрерывные частные производные, а её линия уровня, проходящая через точку M 0 ( x0 , y0 ) , имеет касательную в этой точке. Обозначим направление этой касательной единичным векто-

пендикулярны (см. рис. 37.2), т.е. производная в направлении касательной к линии уровня равна нулю

264

[Введите текст]

Рис. 37.2

Пример. Найти направление наибольшего возрастания функции

z= 4 − x2 − 0, 25 y2

икрутизну подъёма её графика в точке M 0 (1, 2) .

Искомое направление будет указывать градиент этой функции в данной точке. Находим его (см. рис. 37.3)

y

β

α

M 0 (1, 2)

x

Рис. 37.3

Крутизна подъёма поверхности в данной точке равна (см. рис. 37.4)

tgϕ = −2i − j = 5 ϕ ≈ 66O .

265

[Введите текст]

z

x

ция. Дифференцируя это тождество, получаем

[Введите текст]

Рассмотрим два вектора

перпендикулярны, т.к. их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что тождество (37.4) будет выполняться для любой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку M 0 . Итак, касательный вектор к любой кривой на поверхности, проходящей через точку M 0 , перпендику-

лярен к фиксированному вектору gradF (x0 , y0 , z0 ) . Поэтому все эти векторы лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в данной точке (см. рис. 37.5).

(gradF )0

l1

M 0

L1

L2 l2

Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости к поверхности и проходящая через точку касания, называется нормалью к поверхности.

Заметим, что вектор gradF (x0 , y0 , z0 ) можно рассматривать в качестве направляющего вектора нормали. Напишем её канонические уравнения

267

[Введите текст]

Лекция 38. Дифференциал и экстремумы функции двух переменных

38.1. Дифференцируемость функции двух переменных. Диффе-

ренциал. Вспомним, что дифференцируемость функции одной переменной y = f ( x) в данной точке означает существование производной функции в этой точке. Если функция y = f ( x) дифференцируема в точке x0 , то её приращение в этой точке может быть представлено в виде

Dy = f ′(x0 ) × Dx + a(Dx)Dx ,

где α( x) → 0 при x → 0 . Более подробная запись этой формулы

y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) + α( x) x

«раскрывает» и геометрическое содержание свойства дифференцируемо-

производные, представить приближённо в виде линейной функции двух переменных, т.е. чтобы её приращение в точке (x0 , y0 ) имело вид

269