9632

В промежутке ,3 график функции f (x) специально не построен, чтобы

лучше был виден аппроксимирующий её тригонометрический многочлен. При x=0 получаем числовой ряд

60.3. Разложение в ряд Фурье четных функций. Полный ряд Фурье содержит как синусы, так и косинусы. Естественно ожидать, что для чётных или нечётных функций должна пропадать одна из этих составляющих. Наши «надежды» подкрепляются анализом формул для коэффициентов ряда. Пусть f (x) чётная функция, т. е. f ( x) f (x) . Тогда

что ясно хотя бы из геометрических соображений (см. рис. 60.5).

равны, поэтому S f (x) dx S1 S2 . Также и коэффициенты an

вычисляются по формулам

Последнее равенство следует из предыдущих рассуждений, т.к. подынтегральная функция – чётная. Коэффициенты при синусах обращаются в нули, как интегралы от нечетных функций по промежутку, симметричному относительно начала координат.

Итак, если функция четная, то её ряд Фурье имеет вид

Интегрируя ещё раз «по частям», получаем:

Рис.60.7

Скажем несколько слов о влиянии свойств функции на характер сходимости её ряда Фурье. Мы уже отмечали, что около точек разрыва функции ряд Фурье сходится медленнее, чем в точках непрерывности. Гладкость функции, т.е. её дифференциальные свойства также улучшают сходимость ряда. Когда мы разложили в ряд «клюшку» (см. рис. 60.3), то в

В этой точке функция непрерывна, но не имеет производной. Подсчитаем число π , взяв одинаковое число членов разложения в рядах (60.5) и (60.6) (пусть п = 7). Во-первых, ряд (60.5) дает возможность оценить ошибку, т.к. он знакочередующийся и ошибка при отбрасывании остатка меньше 1/64 ≈ 0,016. Из ряда (60.6) получаем π ≈ 3,06, а ряд (60.5) дает π ≈

3,16.

симметрией, т.е. не является ни чётной, ни нечётной, а нужно получить разложение её в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам, то такое разложение можно получить в промежутке [0, π ], а на промежуток [- π, 0] продолжить её чётным или нечётным образом.

Рис. 61.4

Обратите внимание, что на четвёртом рисунке изображён только фрагмент графика, так как в прежнем масштабе графики были бы неразличимы.

Также ещё раз обращаем внимание на тот факт, что там где «раскладываемая» функция недостаточно «хороша» её аппроксимация

отрезками ряда в этих точках «хуже». В нашем случае такая «плохая» точка – начало координат, где функция не имеет производной (см. рис. 61.4)

61.3. Разложение в ряд Фурье функции по произвольному промежутку. Предположим, что некоторую функцию f (x) , определенную

в промежутке [a, b], мы хотим представить рядом Фурье. Положение и длина промежутка несущественны, т.к. «сдвигом» и «растяжением» с помощью линейного преобразования

Промежуток a ≤ x ≤ b приводится к стандартному промежутку – π ≤ t ≤ π (см. рис. 61.5).

Рис. 61.5

Пусть функция задана в промежутке [- l, l] и имеет период 2l, т.е.

т.е., прибавив к аргументу функции число 2π, мы получили то же самое значение функции.

где коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

а коэффициенты после этой несложной замены будут вычисляться по формулам:

Раздел 12. Элементы теории множеств, математической логики и теории графов

Лекция 62. Элементы теории множеств

62.1 Общие представления о множествах. Обычно, когда вводится какое-либо новое понятие, то оно опирается на известное понятие или известные понятия, частным случаем которого или которых оно является. Например, параллелограмм есть четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Окружность есть линия на плоскости, все точки которой удалены от некоторой фиксированной точки на некоторое фиксированное расстояние и т.д.

Понятие множества является первичным и не имеет формального определения. Один из создателей теории множеств Георг Кантор(18451918) сказал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Интуитивно под множеством понимается совокупность различных объектов, объединенных по какому-то одному или нескольким признакам.

Нет никаких ограничений на природу объектов, составляющих множество. Так, про окружность можно сказать, что это множество точек, равноудаленных от фиксированной точки на расстояние радиуса. Можно

говорить о множестве студентов в данной аудитории, о множестве букв некоторого алфавита, о множестве целых числа от 1 до 1000, о множестве атомов серебра в данной монете или о множестве всевозможных идей,

передается записью x A (читается – «элемент x принадлежит множеству A »). Если x не является элементом A , то пишут x A.

Два множества A и B считаются равными (записывается A B ), если они состоят из одних и тех же элементов. Т.е. A B тогда и только тогда,

когда из того, что x A следует, что x B , а из того, что x B следует, что x A.

Существует два основных способа задания множеств: перечисление и описание. При первом способе просто перечисляются все элементы задаваемого множества. Например, множество букв алфавита некоторого языка определяется списком всех его букв, множество студентов в группе определяется студентами, фамилия и имена которых совпадают со списком в журнале посещаемости, множество простых чисел меньших тысячи может быть задано перечислением всех таких чисел и т.д. В дальнейшем будем пользоваться общепринятыми обозначениями множеств:

N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество действительных чисел, C – множество комплексных чисел.

Конечно, нельзя ни одно из этих множеств (хотя бы в силу их бесконечности) задать перечислением их элементов. Но опыт работы с элементами этих множеств позволяет предполагать, что в каждой конкретной задаче понятно, об элементах каких из перечисленных множеств идет речь.

При втором способе элементы множества задаются при помощи

принадлежат задаваемому множеству. В этом случае в фигурных скобках записывается произвольный элемент множества, а за вертикальной чертой записываются свойства, которыми этот элемент должен обладать:

A x P(x) .

Эта запись означает, что A есть множество таких элементов x , которые обладают свойствами P(x) .