9428

Пример. Привести к каноническому виду уравнение: x2 + 2x + 4 y2 - 16 y = 8 .

Получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 5

O 2

x

1 O

x

Рис. 6.3

60

Классификация кривых второго порядка

Если исходное уравнение кривой второго порядка вида (5.1) содержит произведение координат x и y (т.е. B 0 ), то для приведения его к каноническому виду используется поворот системы координат (мы его здесь не рассматриваем).

Если же в уравнении (5.1) присутствуют переменные x и y

без квадратов ( D 0 или Е 0 ), то выполняется параллельный перенос осей координат для того, чтобы уравнение в новой системе координат приобрело канонический вид. Этих преобразований достаточно для решения поставленных задач.

Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их произведение.

Для канонического уравнения эллипса A a12 , C b12 , т.е.

произведение AC 0 ;

для гиперболы A a12 , C b12 , т.е. AC 0; для параболы A 0 , C 1, т.е. AC 0 .

Остальные виды канонических уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно, отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа. Тогда получаем классификацию:

61

I. Эллиптический тип:

7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),

8)y2 = 0 (прямая),

9)y2 = - a2 (пустое множество).

Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если, например, в нём B 0 . Оказывается, по исходным коэффициентам уравнения (5.1), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу относится линия, задаваемая этим уравнением:

xy 3.

Решение. В заданном уравнении A C 0, 2B 1. Так как

AC B2 14 0 , оно задаёт линию гиперболического типа, В

этом случае для построения можно пользоваться привычной записью уравнения гиперболы в виде y 3x (x 0) .

Ответ: уравнение задает кривую гиперболического типа. Итак, чтобы разобраться с построением линий по

уравнению второго порядка (5.1), нужно сначала определить тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводят уравнение к каноническому виду, выполняя соответствующие преобразования координат.

§7. Поверхности второго порядка

Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное произведение. Уравнение вида

Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат (теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.

Цилиндрические поверхности

Поверхность, состоящая из параллельных прямых (так называемых образующих), проходящих через каждую точку заданной линии L (направляющей), называется

цилиндрической поверхностью. Образно можно представить,

что цилиндрические поверхности образуются движением прямой, которая перемещается в пространстве вдоль кривой L , сохраняя постоянное направление (рис. 7.1).

В качестве направляющей цилиндрической поверхности

F (x0 , y0 ) 0 .

Рассмотрим цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны координатной оси Oz . Если такая

образующая проходит через M0 (x0 , y0 ,0) , то абсциссы всех её точек равны x0 , а ординаты равны y0 . Поэтому координаты произвольной точки M (x0 , y0 , z0 ) этой образующей тоже удовлетворяют уравнению F(x, y) 0 при любом значении z0 .

64

z

y

x

Рис. 7.1

Точка M0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению F (x, y) 0 .

поверхность с образующими, параллельными оси O x .

Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их названия соответствуют названиям направляющих линий L .

цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz . Его направляющей является эллипс, а поверхность, задаваемая этим уравнением, называется эллиптическим

65

цилиндром (рис. 7.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его уравнение в

каноническом виде имеет вид x2 + y2 = R2 .

Уравнение вида x2 2 py определяет в пространстве

параболический цилиндр (рис. 7.2).

Рис. 7.2

гиперболический цилиндр (рис. 7.3).

Рис. 7.3

66

Поверхности вращения Поверхности вращения образуются вращением какой-либо

плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности вращения), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей (лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения (совпадающей с одной из координатных осей, расположенных в той же плоскости).

Будем вращать расположенный в плоскости yOz эллипс с

координатной плоскости xOy и проходящей через фиксированную точку O (0, 0, z) (рис. 7.4).

z

y

x

Рис. 7.4

67

сечения, и исходному эллипсу. Это означает, что её координаты

x2 y2 z2 1. c2 b2 c2

z

y

x

Рис. 7.5

68

От этих примеров нетрудно перейти к алгоритму получения уравнения поверхности вращения по уравнению исходной кривой, если осью вращения служит одна из координатных осей. В уравнении кривой слагаемое с переменной, наименование которой совпадает с наименованием оси вращения, останется без изменения, а квадрат другой переменной меняется на сумму квадратов этой переменной и переменной, отсутствовавшей в уравнении.

§8. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Теперь перейдем к другим поверхностям второго порядка, определяемым общим уравнением

Ax2 By2 Cz2 2Dxy 2Exz

2Fyz 2Gx 2Hy 2Kz L 0 .

Каждая поверхность может быть построена по её уравнению методом сечений. Проследим, как образуются поверхности второго порядка, проявляясь постепенно по мере стыковки разных сечений.

Эллипсоиды

Начнём с уравнения эллипсоида

Уравнение сечения этой поверхности координатной плоскостью xOz получается, если в исходном уравнении (8.1) принять y 0 :

изобразить его в соответствующей плоскости (рис. 8.1).

69