9428

Поверхность гиперболического параболоида можно также получить «механическим» образом. Пусть одна парабола

нижнюю параболу скользить вершиной по верхней параболе, перемещаясь параллельно плоскости yOz . Эта скользящая парабола и образует гиперболический параболоид.

Интересно, что гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, является линейчатой поверхностью

– его можно сформировать из прямых (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Гиперболический параболоид с уравнением (8.6) имеет две системы прямолинейных образующих, определяемых уравнениями

Завершим обзор поверхностей второго порядка полной их классификацией. Всякое уравнение второго порядка в пространстве с помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат может быть приведено к одному из видов, соответствующих рассмотренным поверхностям:

x2 y2

8)2z p q (гиперболический параболоид)

9)- 17) уравнения кривых второго порядка задают в пространстве девять видов цилиндров второго порядка.

Построение тел, ограниченных несколькими поверхностями

Наиболее интересные задачи, связанные с разобранными вопросами, - это получение формы тел, ограниченных несколькими поверхностями.

81

Пример. Построить тело, сформированное двумя поверхностями, заданными уравнениями

Решение. Уравнение (8.7) определяет в пространстве эллипсоид вращения с полуосями a 3, b c 2 . Его общий вид изображен на рисунке 7.5. Уравнение (8.8) задаёт параболоид вращения, который, в отличие от изображённого на рисунке 8.6, симметричен относительно оси Ox . Здесь параболы получаются в сечениях координатными плоскостями xOz и xOy (рис. 8.9), а в сечениях плоскостями x h , если h 0 - окружности (рис.

8.10).

эллипсоида, то его сечение плоскостями x h , если h 0 , тоже являются окружностями. Можно найти значение h , при котором

82

радиусы окружностей параболоида и эллипсоида совпадут, то есть поверхности пересекутся. Для этого выразим из (8.8)

решений квадратного уравнения оставляем положительное x 2 .

Итак, эллипсоид и параболоид пересекутся при x 2 по

Рис. 8.11

Обе поверхности можно теперь построить в одних координатных осях (рис. 8.12) и изобразить вид тела, ими ограниченного (рис. 8.13).

83

Рис. 8.12

Рис. 8.13

84

цилиндром с уравнением y 0,5x2 , координатной плоскостью xOy , а также плоскостью y 2 .

Решение. Как обычно, формируем сечениями указанные поверхности: рис. 8.14, рис. 8.15.

Рис. 8.14

Рис. 8.15

85

Рис. 8.16

При стыковке поверхностей прорисовывается тело (рис. 8.16), форму которого можно уточнить, рассмотрев сечение

параболоиду (рис. 8.17).

Рис. 8.17

86

Решение. Образующие первого цилиндра параллельны оси Ox , второго – оси Oz . Изобразим для начала параболы, получающиеся в сечениях цилиндров координатными плоскостями (рис. 8.18).

Рис. 8.18

Окончательную форму тела изображаем рисунком 8.19.

Рис. 8.19

Рассмотрение примеров построения тел, ограниченных заданными поверхностями, синтезирует изложенные теоретические вопросы аналитической геометрии с умением их использовать для получения требуемых пространственных форм.

88

Библиографический список

1.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Е. Кожевникова. – Москва : Мир и образование, 2008. – 368 с.

2.Протасова, Л. А. От геометрии – к дизайн-проекту, или Как я полюбил математику : учеб. пособие для вузов / Л. А. Протасова, А. А. Бутысин ; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун- т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2013. – 137 с.

3.Пучков, Н. П. Математика в архитектуре : учеб.-метод. рекомендации к изучению теорет. части курса «Математика» студентам специальности 290100 / Н. П. Пучков, Т. В. Четвертнова ; Тамб. гос. техн. ун-т. – Тамбов : ТГТУ, 2001. – 40 с.

4.64 лекции по математике : учеб. пособие. Кн. 1 : (лекции 1-39) / В. П. Важдаев, М. М. Коган, М. И. Лиогонький Л. А. Протасова ; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2012. – 286 с. : ил.

89