9397

не зависит от кривой, соединяющей точки А и B. 3) Внутри области D выполняется тождество

или иными словами, для которой полный дифференциал определяется по формуле

Данную теорему надо понимать следующим образом: если одно из ее утверждений выполняется, то выполняются и все остальные. Поэтому доказать теорему можно по схеме: 1)→ 4)→ 3)→ 2)→ 1), из которой будет следовать эквивалентность всех утверждений. Приведем реализацию лишь последних двух фрагментов этой схемы. Покажем, что из справедливости

произвольный замкнутый контур без самопересечений, целиком лежащий

Таким образом, криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру C равен нулю.

Докажем, что из справедливости 2) следует 1). Пусть M1 и M2 любые две точки из области D и пусть L1 и L2 два пути, их соединяющие (рис. 56.1,а).

Рис. 56.1

121

вышеприведенное равенство доказывается несколько сложнее (рис. 56.2,б). Пусть функции P( x, y), Q( x, y) таковы, что выполняются условия

выше сформулированной теоремы. Как находить потенциальную функцию U(x, y) , о которой говорится в утверждении 4)? Заметим, что эта задача

является обобщением на двумерный случай задачи о нахождении первообразных для функций от одной переменной.

Будем рассуждать следующим образом. Пусть M0(x0, y0) – некоторая фиксированная точка в области D, а M(x, y) – произвольная точка в области D. В силу теоремы, криволинейный интеграл

∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy

M1M

Но по свойствам криволинейного интеграла

U1 (x, y) − U0 (x, y) = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = const,

M0M1

аэто говорит о том, что функции U1 (x, y) и U0 (x, y) отличаются друг от

друга на постоянную величину (также как любые две первообразные для одной и той же функции).

122

Для вычисления значений функции U0 (x, y) можно опять

воспользоваться независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пусть точка M (x, y) лежит в области D. Предположим,

что ломаная M 0 M 1 M (для которой M 0 M 1 параллельна оси OX , а M 1 M

параллельна оси OY ) целиком лежит в области D. В этом случае точка M1 имеет координаты ( x , y 0 ) . При этом вдоль отрезка M 0 M 1 нет

изменения переменной y и потому dy = 0 , а вдоль отрезка M1M нет изменения переменной x и потому dx = 0 . В таком случае будем иметь

U0 (x, y) = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy +

И, следовательно, искомая потенциальная функция может вычисляться по формуле

Если ломаная М0М1М не лежит целиком в области D, то можно построить ступенчатую ломаную, звенья которой будут параллельны осям координат и которая целиком лежит в области D. Тогда значение функции U0 (x, y)

будет равно сумме интегралов по соответствующим переменным по каждому звену этой ломаной.

Следствие. Из приведенных выше рассуждений становится

понятным, что, если для поля F ( x, y) = {P( x, y), Q( x, y)} существует потенциальная функция U(x, y) , то для любых двух точек A(x1, y1) и B(x2, y2) , лежащих в области D выполняется равенство

∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy =U(B) −U(A) =U(x2, y2) −U(x1, y1) . (56.8)

AB

Оно означает, что работа по перемещению материального тела из одной точки пространства в другую равна разности значений потенциальной функции в конечной и начальной точках перемещения.

Пусть дано силовое поле

Покажем, что это поле потенциальное, найдем потенциальную функцию и

Так как эти производные совпадают, то данное поле действительно является потенциальным. Для нахождения потенциальной функции

Потенциальная функция определяется с точностью до постоянной величины. Поэтому в качестве потенциальной функции данного силового

определяем теперь как разность потенциалов в этих точках т.е.

W=U(B)−U(A)=U(3,4)−U(2,1) =1ln25−1ln5=1ln5.

124

Для вычисления ее значений можно опять воспользоваться независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования.

(x, y,z0) .

Пусть

, ,

, ,

, ,

, ,

Рис. 56.2

В качестве конкретного примера рассмотрим поле силы тяжести. На тело массы m вблизи поверхности земли, которую будем считать плоской,

действует направленная вертикально вниз сила тяжести F , величина которой равна mg ( g – ускорение свободного падения).

126

Рис. 56.3

Очевидно, что в данной ситуации

P(x, y, z) = 0, Q(x, y, z = 0, R(x, y, z) = −mg

отрицательна в противном случае. Потенциальная функция U(x, y,z) принимает вид U (x, y, z) = −mgz + C . Принимая значение этой функции на поверхности земли (z = 0) равным 0, получаем, что потенциалом поля силы тяжести является функция

U(x, y,z) = −mgz.

127

Раздел 11. Ряды

Лекция 57. Ряды

В данном разделе мы познакомимся с математическим обоснованием тех вычислительных процедур, которые реализуются (но которые мы даже не замечаем) при использовании в расчетах значений алгебраических, тригонометрических, и более сложной природы функций. Если до появления компьютеров приходилось обращаться к соответствующим таблицам (не задумываясь о том, как они составлены), то теперь вычисление их значений доверяется компьютерам. Но любой компьютер может выполнять лишь четыре арифметических и несколько простейших логических операций (правда, с очень большой скоростью). Теория рядов раскрывает и обосновывает возможность вычисления значения любой функции с заданной точностью путем выполнения указанных простейших операций.

57.1. Числовые ряды. Основные определения. Пусть имеется бесконечная числовая последовательность

u 1 , u 2 , u 3 ,..., u n ,... .

Если в этой записи везде вместо запятых поставить знак +, то получившаяся запись

n принимает в качестве значения любое целое положительное число). Обычно для записи ряда используется сокращение

∞

u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = ∑ un . (57.1)

n =1

Так, если имеются следующие четыре последовательности

n=1

128

n=0

В связи с чем возникает необходимость в рассмотрении такого бесконечного суммирования? Дело в том, что, как будет показано ниже, значения многих функций при каком-то значении аргумента может быть представлено в виде суммы бесконечного числа слагаемых, причем вычисление каждого слагаемого может быть реализовано посредством четырех арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления. Чтобы понять, как происходит такое представление, наполним формально введенное понятие числового ряда, математическим содержанием, то есть придадим некоторый смысл процедуре сложения бесконечного числа слагаемых. Естественно при этом отталкиваться от изучения поведения сумм конечного, но все возрастающего числа слагаемых, которые мы будем называть частичными суммами ряда.

Итак, пусть дан ряд (57.1) и пусть

n→∞

Рассмотрим ряд (57.3). Для него последовательность частичных сумм выглядит следующим образом:

129

факт становится наглядно очевидным из Рис. 57.1. На нем представлен квадрат со стороной равной единице длины. Будем представлять первый член суммы как площадь половины этого квадрата, второй – как площадь четверти квадрата и т.д. Интуитивно ясно, что сумма

«исчерпает» при n → ∞ всю площадь квадрата, т.е. lim Sn = 1.

n → ∞

Рис. 57.1

Рассмотрим теперь ряд (57.4). Он называется гармоническим рядом. Чтобы понять поведение частичных сумм S1 , S 2 ,..., ,... этого ряда,

рассмотрим другой ряд :