9051

ступает разрушение. Это предельное значение внутренних сил зависит от физико-

механических свойств материала данного тела.

Из введённого понятия внутренних сил следует, что внутренние силы определяются через внешние и что их величина ограничена свойствами материала тела. Таким образом, для расчёта на прочность необходимо иметь возможность определять внутренние силы по задан-

ным внешним силам.

Поскольку внутренние силы можно рассматривать как реакции внутренних связей тела,

то для их определения можно использовать законы теоретической механики и в частности ак-

сиому связей, которая гласит: равновесие тела сохраниться, если действие связей заменить их реакциями. Отсюда вытекает метод определения внутренних сил, который называется мето-

дом сечений. Рассмотрим суть этого метода.

Пусть некоторое тело, находится в равновесии под действием заданных внешних сил

(рис. 1.4а). Напоминаем, что в число внешних сил F1,…, F7 входят как заданные активные си-

лы, так и реакции связей, закрепляющих тело в пространстве.

Рис. 1.4

Разрежем мысленно тело на две части некоторой произвольной плоскостью. Одну из частей (например, II) мысленно удаляем (отбрасываем) и рассматриваем оставленную часть I (рис. 1.4б). В каждой точке полученного сечения (разреза) необходимо приложить силы, кото-

рые для целого тела есть внутренние силы и которые являются силами взаимодействия между частями I и II тела. Закон распределения этих сил по сечению неизвестен, но, как любую сис-

тему сил, их можно заменить главным вектором R и главным моментом М (рис. 4в). Показан-

ные в сечении силы заменяют действие отброшенной части II на оставленную часть I и явля-

ются для части I внешними силами. Таким образом, применяя метод сечений, переводят си-

лы, являющиеся внутренними для тела в целом, во внешние для одной из его частей.

Внешние силы F1, F2, F3, действующие на рассматриваемую часть I, и силы в сечении

(рис. 1.4б,в) должны находиться в равновесии. Поэтому, составляя к отсечённой части тела

(рис. 1.4в) уравнения равновесия, можно выразить искомые внутренние силовые факторы R и

М через заданные внешние силы (нагрузку).

Мы рассмотрели равновесие части I тела. Принципиально совершенно безразлично, ка-

кую из частей тела (I или II) отбросить, так как из третьего закона Ньютона следует, что силы,

действующие от части II на часть I, равны по модулю и противоположны по направлению си-

лам действия части I на часть II. Практически удобно оставлять ту часть, к которой приложено меньше сил, так как уравнения для неё будут иметь более простой вид.

1.6. Внутренние силы в поперечном сечении бруса.

Рассмотрим определение внутренних сил в поперечном сечении бруса. Для этого сформулируем основные положения метода сечений:

1.разрезаем брус в интересующем месте плоскостью, перпендикулярной к оси бруса, на две части;

2.отбрасываем мысленно одну из образовавшихся частей (обычно ту, к которой прило-

жено больше сил), в результате чего нарушается равновесие оставшейся части;

3.заменяем действие отброшенной части на оставшуюся часть бруса внутренними сила-

ми;

4.составляем уравнения равновесия всех сил, приложенных к оставшейся части, из кото-

рых находим значения искомых внутренних сил через заданные внешние силы.

Систему координат для бруса выбираем следующим образом:

∙ось z – продольная ось бруса, проходящая через центры тяжести поперечных се-

чений его;

∙оси х и у – главные, центральные оси инерции поперечного сечения бруса, в ча-

стности, это оси симметрии.

Пусть задан прямой брус, находящийся в равновесии под действием произвольной сис-

Рис. 1.5

темы внешних сил (рис. 1.5а). Рассечём его на две части некоторой произвольной плоскостью,

перпендикулярной к продольной оси z.

Одну из двух частей, например, правую отбрасываем, а в поперечном сечении оставшейся ле-

вой части прикладываем внутренние силы, которые заменяем статически эквивалентной сис-

темой сил – главным вектором R и главным моментом М, приведённым к центру тяжести се-

чения (рис. 1.5б).

Каждый из этих двух векторов раскладываем на составляющие по осям координат (рис.1.6):

Qx, Qy, N - проекции главного вектора внутренних сил R на оси x, y, z.

Mx, My, Mz - проекции главного момента внутренних сил М на оси x, y, z.

Рис. 1.6

Полученные компоненты главного вектора и главного момента называются внутренними си-

ловыми факторами или усилиями.

Указанные шесть внутренних силовых факторов имеют следующие наименования:

N – продольная или нормальная сила,

Qx, Qy – поперечные силы в направлении соответствующих осей,

Mx, My – изгибающие моменты относительно соответствующих осей,

Mz - крутящий момент.

Для определения каждого внутреннего силового фактора надо составить соответст-

вующее уравнение равновесия для всех сил, действующих на оставленную часть бруса (рис.

1.6). Как известно, для пространственной системы сил таких уравнений может быть составле-

но шесть и в каждое из них войдёт лишь один внутренний силовой фактор, который и будет

определён из этого уравнения.

На основании полученных уравнений можно сформулировать правила для определения

внутренних сил в поперечном сечении бруса.

Продольная сила N в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось бруса z всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Поперечные силы Qx и Qy в произвольном поперечном сечении бруса численно равны алгебраической сумме проекций на оси поперечного сечения бруса х и у всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Изгибающие моменты Мx и Мy в произвольном поперечном сечении бруса численно равны алгебраической сумме моментов относительно осей поперечного сечения бруса х и у всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Крутящий момент Мz в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов относительно продольной оси бруса z всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков внутренних сил на плоскости y0z:

Усилие N > 0, если вызывает растяжение в поперечном сечении стержня (направлено «от сечения» и в левой и в правой его частях).

Усилие > 0, если (совместно с внешней нагрузкой) стремится повернуть отсеченную часть стержня по часовой стрелке.

Усилие > 0, если вызывает растяжение в нижних волокнах стержня.

Усилие Мz > 0, если действует против часовой стрелки при взгляде на сечение со стороны внешней нормали.

1.7. Напряжения. Связь между напряжениями и внутренними силами в поперечном сечении бруса.

Внутренние силы, как уже указывалось, распределены по сечению тела (в частности,

бруса) сплошным образом, при этом в общем случае их значение и направление в отдельных точках сечения различны. Для суждения об интенсивности внутренних сил в определённой точке данного сечения вводится понятие о напряжении.

Выделим в окрестности интере-

сующей нас точки сечения малую пло-

щадку, площадью ∆А. Допустим, что на этой площадке возникает внутренняя сила

∆R (рис. 1.7а). Отношение этой внутрен-

Рис. 1.7 ней силы к площади выделенной площад-

ки называется средним напряжением рср в окрестности рассматриваемой точки по проведён-

ному сечению (по площадке ∆А):

рср = ∆R/∆А.

В пределе при стремлении ∆А к нулю получим истинное напряжение в данной точке рас-

сматриваемого сечения:

В Международной системе единиц (СИ) в качестве единицы напряжения принят пас-

каль (Па). Паскаль – это напряжение, при котором на пло-

щадке в 1 м2 возникает внутренняя сила, равная 1Н. Но эта единица очень мала, поэтому используется кратная ей едини-

ца – мегапаскаль, 1 МПа = 106 Па.

Разложим вектор напряжения р на две составляющие: одну – направленную по норма-

ли к сечению, вторую – лежащую в плоскости сечения (рис.1.7б). Составляющую вектора на-

пряжения p, направленную по нормали к площадке её действия, называют нормальным на-

пряжением и обозначают σ (сигма), а составляющую, лежащую в плоскости сечения, - каса-

Таким образом, задача сопротивления материалов об определении напряжений, возни-

кающих в поперечных сечениях бруса при различных видах его нагружения, состоит в сле-

дующем: с помощью метода сечений определяем внутренние силовые факторы, а затем

из полученных формул находим напряжения.

1.8. Понятие о деформациях.

Под действием нагрузки тело деформируется, т.е. его формы и размеры изменяются.

Деформация состоит из двух частей: упругой, обратимой деформации, которая исчезает по-

сле удаления нагрузки, и неупругой, остаточной деформации, которая не исчезает после удаления нагрузки. Неупругая деформация, которая не сопровождается разрушением, называ-

ется пластической деформацией.

Деформации тела могут развиваться с течением времени при неизменной нагрузке. Та-

кие деформации называются деформациями ползучести.

Термин «деформация» употребляют в сопротивлении материалов в двояком смысле: в

первом - под деформацией подразумевают изменение формы и размеров тела, во втором – под деформацией рассматривают изменение длин и углов в окрестности точки тела. Рассмотрим та-

кие деформации.

Изменение первоначально прямого угла между отрезками ab и ac после приложения нагрузки к телу, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию γху в точ-

ке а в плоскости ху. Аналогично, γyz и γzх представляют собой угловые деформации в плоско-

стях yz и zx.

Деформации тела в каждой его точке по любым направлениям могут быть определены,

если известны линейные εx, εy, εz и угловые γху, γyz, γzх деформации. Линейные и угловые деформации – величины безразмерные.

1.9. Простейшие типы деформации бруса.

При произвольной форме тела его деформации могут быть весьма разнообразными.

Для бруса можно указать несколько простейших типов деформаций, возникающих при опре-

делённом способе приложения внешних сил.

Рассмотрим эти простейшие деформации бруса:

Рис. 1.10 1). Осевое растяжение или сжатие (рис. 1.10а).

При осевом растяжении или сжатии в поперечных сечения бруса возникают только продоль-

ные силы N. Брус, испытывающий растяжение или сжатие, называют стержнем. В зависи-

мости от вида конструкции сжатые стержни также называют стойками, колоннами, столбами. 2). Сдвиг (рис.1.10б).

При сдвиге в поперечных сечения бруса возникают только поперечные силы Q.

Деформации сдвига возникают в заклёпочных, болтовых, сварных, клеевых соединениях. 3). Кручение (рис.1.10в).

При кручении в поперечных сечения бруса возникают только крутящие моменты Mz. Стерж-

ни, работающие на кручение, называют валами. 4). Изгиб (рис.1.10г).

В поперечных сечения стержня возникают изгибающие моменты и поперечные силы, напри-

мер, Mx и Qy. Стержни, работающие на изгиб, называют балками.

В заключение отметим, что другие типы деформации стержней в большинстве случаев оказывается возможным рассматривать как комбинацию простых деформаций.

2. Стержень и его геометрические характеристики.

Стержень характеризуется осью и поперечным сечением.

Ось – линия соединяющая центры тяжести всех поперечных сечений стержня.

Поперечное сечение – плоская фигура, получающаяся при рассечении стержня плоскостью перпендикулярной его оси.

Ось стержня может быть прямолинейной или криволинейной.

Поперечное сечение может быть постоянным по длине стержня, но может быть и пере-

менным, как на рисунке.

При расчётах стержней на прочность используется не только площадь поперечного се-

чения стержней, но и более сложные геометрические характеристики сечений, которые необ-

ходимо ввести и научиться пользоваться ими.

2.1. Статические моменты сечений.

Разбиваем заданную фигуру на элементарные площадки dA

(рис. 2.1). Умножаем площадь каждой площадки на коорди-

наты их центра тяжести х и у. Интегрируя по площади сече-

ния, в итоге получим следующие результаты:

Sx = ∫ y dA , Sy = ∫ x dA .

A A

Sx и Sy называются статическими моментами сечения от-

носительно осей х и у.

Рис. 2.1

Для статических моментов можно указать следующие свойства:

статические моменты выражаются в см3, м3 и т. д.

статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

статические моменты равны нулю относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения – центральных осей.

Установим зависимость между статическими моментами относительно пары парал-

лельных осей (рис. 2.2).

Sx1 = ∫ y1 dA ; Sx = ∫ y dA = ∫(y1 + a) dA = ∫ y1 dA + a ∫ dA = Sx1 + a × A .

A A A A A

Выполняя аналогичные вычисления для осей у и у1 , окончательно получим

Если оси х1 и у1 проходят через центр тяжести сечения (точка С, рис. 3), тогда

а = ус, b = хс и из полученных выше равенств будем иметь

Sxc = Sx - yc × A , Syc = Sy - xc × A .

Приравняв статические моменты Sxc и Syc нулю, получим формулы для определения поло-

жения центра тяжести сечения:

Из полученных формул следует:

статические моменты равны нулю относительно центральных осей;

оси симметрии являются центральными осями.

Если сечение можно разбить на ряд простых фигур (прямоугольники, треугольники,

круг, полукруг и т. д.), площади и центры тяжести которых известны, координаты центра тя-

жести сечения определяются по формулам:

В отдельных случаях, когда заданное сечение нельзя разбить на простейшие, положе-

ние центра тяжести необходимо определять путём интегрирования.