9027

Полученную поверхность рассечём плоскостью,

поверхности вращения, лежащая в плоскости сечения. Рассмотрим в плоскости yOz точку поверхности

M (0, y , z) . Её ордината по абсолютной величине равна

Находящаяся в плоскости yOz точка M (0, y , z)

принадлежит и плоскости сечения, и исходному

70

71

От этих примеров нетрудно перейти к алгоритму получения уравнения поверхности вращения по уравнению исходной кривой, если осью вращения служит одна из координатных осей. Если осью вращения служит ось Ox , то в уравнении кривой слагаемое с переменной x оставляем без изменения, а квадрат другой переменной заменяем суммой квадратов этой переменной и переменной, отсутствовавшей в уравнении. Аналогично – для других осей.

Итак, мы рассмотрели два способа формирования поверхностей, введя цилиндрические поверхности и поверхности вращения. При этом мы брали для изучения те случаи, которые оставляли нас в рамках поверхностей, определяемых уравнением (3.2). Чтобы полностью охватить всю панораму поверхностей второго порядка, будем двигаться теперь непосредственно от уравнений, выполняя построение методом сечений. Проследим, как образуются поверхности второго порядка, проявляясь постепенно по мере стыковки линий, являющихся сечениями поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

3.5. Начнём с уравнения

Уравнение сечения этой поверхности координатной

уравнения мы узнаём эллипс и можем изобразить его в соответствующей плоскости (рис. 3.15).

72

Рис. 3.16

73

Рисунок дополняется эллипсом в плоскости xOy (рис.

3.17).

Рис. 3.17

Рассмотрим произвольную плоскость z h (где h – любое число), параллельную xOy . Сечение

исходной поверхности (3.3) этой плоскостью задаётся уравнением

Таким образом, «самый крупный» эллипс образуется в сечении координатной плоскостью xOy . Аналогичная картина получается в сечениях плоскостями, параллельными плоскостям xOz и yOz .

плоскости нет точек, отвечающих такому условию. Следовательно, у поверхности, которую мы строим, нет пересечения с плоскостью z 2c , как и со всеми

75

поверхности отражаем рисунком 3.19. Вполне естественно, что эта поверхность носит название «эллипсоид» – по названиям сечений.

перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями эллипсоида. Если две из трёх полуосей одинаковы, то, эллипсоид становится эллипсоидом

3.6. Далее рассмотрим уравнение

получаются гиперболы, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOy – эллипсы (рис. 3.20). В

целом поверхность выглядит, как бесконечная трубка, расширяющаяся в обе стороны от горлового эллипса (рис. 3.21). Она носит название «однополостный гиперболоид».

Эта поверхность обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями однополостного гиперболоида. Если a b , то однополостный гиперболоид становится

которую она не пересекает.

Однополостный гиперболоид обладает интересным геометрическим свойством, которое можно обнаружить, если представить уравнение (3.4) в виде

Рис. 3.20

Рис. 3.21

78