9002
.pdf( - четное)
0
Рис. 36
В случае если – нечетное, D R \ 0 , E R \ 0 .
( - нечетное)
0 |
|
|
Рис. 37 |
|
|
б) – рациональное, то есть m , m, n , n 0 ; |
||
|
n |
|
m |
|
|
y x x n n xm . |
|
|
1 |
|
x . (См. рис. 38). D x x 0 , |
Пример графика функции y x 2 |
или y |
E y y 0 .
2
1
0 |
1 |
4 |
Рис. 38
2
Пример графика функции y x 3 или y 3 x2 .(См. рис.39).
D R , E y y 0 .
40
4
1
-8 |
0 |
1 |
|
|
Рис. 39
III. Показательная функция |
|
y a x a 0, a 1 , D R , |
E : y 0 . |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
||
|
Рис. 40 |
|
||
IV. Логарифмическая функция |
|
|||
y loga x |
a 0, a 1 , D x |
|
x 0 , |
E R |
|
1
0 |
1 |
0 |
|
Рис. 42
V. Тригонометрические функции
а) y sin x , D R , |
E 1;1 . |
41
8
Рис. 41
Рис. 43
1
0
-1
Рис. 44
б) y cos x , D R , E 1;1 .
1
|
|
|
0 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
Рис. 45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) y tg x , D R \ |
|
n, n Z – множество всех действительных чисел |
|
|
2 |
|
|
R , за исключением точек |
|
n , n , E R . |
|
|
2 |
|
|
0
Рис. 46
г) y ctg x , D R \ n, n Z , E R .
42
0
Рис. 47
IV. Обратные тригонометрические функции
а) y arcsin x , D 1;1 , E |
|
; |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
0 |
1 |
Рис. 48
б) y arccosx , D 1;1 , E 0; .
-1 |
0 |
1 |
Рис. 49 |
43
|
|
|
; |
|
в) y arctg x , D R , E |
|
|
||
|
|
2 |
|
2 |
0
Рис. 50
г) y arcctg x , D R , E 0;
0
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел числовой последовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Функция |
y f n , заданная на множестве всех натуральных чисел n |
||||||||||||||||||
называется числовой |
последовательностью и обозначается |
xn , |
где |
элемент |
|||||||||||||||
xn f n |
соответствует номеру n . Будем задавать числовую последовательность |
||||||||||||||||||
xn формулой своего общего члена xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
Пример. |
|
|
|
– числовая последовательность |
|
|
, |
|
|
, |
|
, , |
|
|
|
, , так |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
2 3 4 |
1 |
n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
как xn |
|
1 |
|
– формула общего члена последовательности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При n 1: x |
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
1 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
При n 2 : x2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При n 3: x |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
3 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пределом числовой последовательности xn называется конечное |
|||||||||||||||||||||
действительное число |
|
|
a , |
|
если |
для любого |
|
сколь угодно малого числа 0 |
|||||||||||||
существует такое натуральное число N , что для всех членов последовательности с |
|||||||||||||||||||||
номерами n N выполняется |
неравенство |
|
xn a |
|
. В краткой записи это |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
выглядит так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 N n N |
xn a |
|
|||||||||||||||||||
и обозначается: lim xn |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим – окрестность точки a как множество всех x , удовлетворяющих условию: x a , что эквивалентно двойному неравенству: a x a .
Тогда понятие предела геометрически означает, что какую бы малую – окрестность точки a не взяли, найдется такой номер N , начиная с которого все последующие члены последовательности будут находиться в этой окрестности (См. рис. 52).
Рис. 52
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся или стремящейся к этому пределу, а неимеющая конечного предела – расходящейся. «Стремление» последовательности xn к своему пределу a будем обозначать как xn a .
45
Пример. Доказать по определению, что lim 1 0 .
n n
Решение. Возьмем любое сколь угодно малое 0 . Имеем: 1n 0 , когда
1n или n 1 . Значит существует такой номер N , равный целой части числа 1 ,
|
N |
|
|
N |
1 |
N 1 |
|
|
1 |
|
то есть такое целое число |
, |
что |
|
, то есть |
N |
|
, начиная с |
|||
|
|
|||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которого все последующие члены с номерами N , N 1, N 2, N 3, ... будут находиться в – окрестности точки x 0, то есть в интервале ; . (См. рис.53).
При 0,2 |
|
1 |
|
|
при 0,01 |
|
1 |
|
|
N |
|
|
5, |
N |
|
|
100. |
||
|
|
||||||||
|
0,2 |
|
|
|
|
0,01 |
|
0
|
|
Рис. 53 |
|
|
|
||
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
lim xn |
означает, что 0 |
N , |
n N xn |
; |
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
lim xn |
означает, что 0 |
N , |
n N xn |
. |
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении пределов числовой последовательности полезно использовать |
|||||||
следующие |
их свойства, если существуют конечные пределы |
lim xn a |
и |
||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
lim yn b, то |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1) lim c c , c const ; |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2) lim c xn c lim xn |
c a , |
c const ; |
|
|
|
||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
3) lim xn yn lim xn |
lim yn |
a b ; |
|
|
|
||
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
4) lim xn |
yn lim xn |
lim yn a b ; |
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
n |
|
lim xn |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
5) lim |
|
|
n |
|
|
|
, если b |
0; |
|
|
|
||||
y |
|
|
lim y |
|
b |
|
|
|
|||||||
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) lim |
|
1 |
|
0, если lim xn a . |
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть требуется найти предел |
lim |
|
xn |
отношения двух последовательностей, |
|||||||||||
|
y |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходящихся к бесконечности, то есть |
lim xn |
и lim yn . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
Непосредственно |
|
применить |
свойство о пределе частного двух |
последовательностей нельзя. Предварительно необходимо преобразовать выражение
xn к виду, допускающему применение указанных свойств. В связи с этим выражение
yn
называется неопределенностью, а его преобразование к виду, позволяющему
найти предел – раскрытие неопределенности.
0
Заметим, что выражение , когда последовательности в числителе и
0
знаменателе стремятся к нулю, также называются неопределенностью.
Пример. Вычислить lim |
n2 |
2n 3 |
. |
|||
|
n |
3 |
1 |
|
||
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Решение. Разделим числитель и знаменатель на n3 – наибольшую из степеней n в числителе и знаменателе:
|
|
n2 |
|
|
|
2n |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
||||||
lim |
n3 |
|
|
n3 |
n3 |
|
lim |
n |
n2 |
n3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n3 |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
47
|
lim |
1 |
2 lim |
1 |
|
3lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 0 3 0 |
|
0 |
|
|||||
|
n n |
n n2 |
|
n n3 |
|
|
|
0 . |
||||||
|
|
1 |
|
|
1 0 |
1 |
||||||||
|
|
|
1 lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n n3 |
|
|
|
|
|
|
|
Предел функции.
Пределом функции y f x в точке x x0 называется такое число A , что для
любой последовательности |
xn значений аргумента x , сходящейся к числу |
x0 , |
|||||||||||
последовательность yn , |
yn |
f xn соответствующих |
значений функции |
y |
|||||||||
стремится к этому числу A и обозначается: lim f x A. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
При нахождении пределов функций нужно использовать следующие свойства |
|||||||||||||
предела функции: если существуют конечные пределы lim f x и lim g x , то |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
x a |
|
1) |
lim c f x c lim f x , c const ; |
|
|
||||||||||
|
x a |
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
||
2) |
lim f x g x lim f x lim g x ; |
|
|
||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
x a |
|
x a |
|
|
|||
3) |
lim f x g x lim f x lim g x ; |
|
|
||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
x a |
|
x a |
|
|
|||
4) |
lim |
1 |
|
0 (или ), если lim f x (или 0); |
|
|
|||||||
f x |
|
|
|||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|||
|
|
f x |
|
lim f x |
, если lim g x 0 . |
|
|
||||||
5) |
lim |
|
|
|
x a |
|
|
|
|
||||
g x |
lim g x |
|
|
||||||||||
|
x a |
|
|
|
x a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить lim |
x2 |
1 |
. |
|
|
||||||||
3x2 |
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Решение: Разделим числитель и знаменатель на x 2 , получим:
lim x2 1
n 3x2 x
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
lim |
|
x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
x |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
48
|
lim1 lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
1 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
lim3 lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
При нахождении пределов функций также полезно знать первый |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
замечательный предел: lim |
sin x |
|
|
1 и следствия из него: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
lim |
tg x |
|
|
1; |
lim |
arcsin x |
|
1; |
|
lim |
arctg x |
1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и второй замечательный предел: |
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
lim 1 x |
|
e . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
Пример. Вычислить предел |
|
|
|
lim |
|
sin 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
arctg 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
sin 2x |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
lim |
sin 2x |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
arctg 3x |
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
arctg3x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
lim |
sin 2x |
lim |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 x 0 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
arctg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
t 2x |
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
lim |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 1 |
2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 t |
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
y 0 |
arctgy |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2
Пример. Вычислить предел lim 1 3x x .
x 0
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
3 x |
x |
lim 3 x |
2 |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim 1 3x x |
1 |
lim |
3x 3 x |
|
ex 0 |
x e |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
e |
6 |
||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Общий метод (правило Лопиталя) вычисления пределов в случаях |
||||||||||||||||||||||
неопределенности |
|
0 |
|
и |
|
рассматривается в дифференциальном исчислении. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|