9002
.pdf§ 2. Векторная алгебра
Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.
Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой – концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой буквой латинского алфавита с чертой
a или стрелкой a сверху или парой заглавных букв латинского алфавита с чертой
AB или стрелкой AB сверху, из которых первая буква – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.
Рис. 1
Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор и
обозначается: a или AB .
Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна единице.
Для обозначения единичных векторов, или ортов, чаще используют буквы: e , i , j ,
k e i j 1 .
Задание вектора с помощью орта и длины не фиксирует его начала. Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе и его началом можно считать любую точку пространства. В
векторной алгебре всегда имеем дело со свободными векторами и будем их переносить параллельно самим себе, меняя точку их приложения, то есть начало вектора.
Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он
имеет нулевую длину, то есть 0 0 .
10
Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.
Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b , при чем конец вектора a и начало вектора b совмещаются и обозначается: c a b.
Пусть даны вектора a и b . (См. рис. 2)
Рис.2
Чтобы их сложить, то есть найти сумму a b этих векторов, необходимо нарисовать a и b в одном и том же масштабе таким образом, чтобы начало вектора b – второго слагаемого, совпало с концом вектора a – первого слагаемого (см. рис. 3). Тогда отрезок, соединяющий начало вектора a с концом вектора b будет суммой a b в том же масштабе, в котором представлены a и b .
Рис. 3
Противоположным вектору a называется такой вектор a , который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть a a 0 .
11
Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и вектора
b , противоположного вектору b , то есть a b a b .
Произведением вектора a на число называется такой вектор a ,
направление которого совпадает с вектором a , если 0 и противоположно направлению вектора a , если 0; длина же вектора a в раз «больше» длины
вектора a , то есть
a a .
Пусть дан вектор a (см. рис. 4), тогда векторы b 2a , c 3a изображены на рисунке 5.
Рис. 4 |
Рис. 5 |
Свойства линейных операций над векторами:
1.a b c a b c
2.a b b a
3.a 0 a
4.a a 0
5.a a
6.a b a b
7.a a a
12
8. 1 a a , где , , , – действительные числа.
Действия над векторами в координатной форме.
Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k пространства,
через которые условились выражать все векторы пространства, называются
базисными векторами или базисом.
Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки O и базиса i, j, k . (См. рис. 6)
1
1
1
Рис. 6
Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz , проходящие через начало координат – точку O в направлении базисных векторов i , j и k называются осями координат. Плоскости xOy , xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются координатными плоскостями.
Если выбрана прямоугольная декартова система координат, то любой вектор a
пространства может быть единственным образом разложен по векторам i , j , k
базисным как:
a a1 i a2 j a3 k ,
13
то есть для каждого вектора a пространства в выбранной прямоугольной декартовой системе координат найдется единственная тройка чисел – координат a1 , a2 , a3 , что позволяет написать равенство: a a1 , a2 , a3 (см. рис. 6).
Если два вектора a и b в прямоугольной декартовой системе координат заданы своими координатами, то есть a a1 , a2 , a3 , b b1 , b2 , b3 , то
1)a a1 , a2 , a3 ;
2)a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти координаты вектора c 2a b, если |
|
|||||||||
|
a |
1; 2;3 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b 1;0;1 |
|
|
|||||||||
|
Решение: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2a 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 |
|
|
c 2a b 2; 4;6 1;0;1 2 1 ; 4 0;6 1 1; 4;7 .
Ответ: c 1; 4;7 .
Для произвольной точки M x; y; z в прямоугольной декартовой системе координат координатами вектора OM являются проекции вектора на оси Ox , Oy ,
Oz соответственно, то есть OM x; y; z . (См. рис. 7)
Рис. 7
Длина вектора OM находится из двух прямоугольных треугольников OBA и
OAM :
14
OA2 OB 2 AB 2 x2 y2 ;
OM OA2 AM 2 x2 y2 z2 .
Пример. Найти a , если a i 2 j 2k .
Решение. Координаты вектора a : a 1; 2; 2 . Длина вектора a : a 12 2 2 22 3.
Ответ: a 3.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и
обозначается: a b , то есть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
a |
|
b |
cos(a b) . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства скалярного произведения:
1)a b b a;
2)a b a b , R;
3)a b c a b a c;
4)a a a 2 или
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a a . |
|
|
|
|
(2.1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Найти длину вектора c a 2b, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a |
2 , |
b |
1, a b 60 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По формуле (2.1), находим
c c c a 2b a 2b a 2 4a b 4 b 2
15
|
|
|
|
|
22 4 a b cos a b 4 12 |
|
4 4 2 1 cos 60 4 |
8 8 12 12 23 .
Ответ: c 23 .
Если два вектора a и b заданы своими координатами: a a1 ; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 , то их скалярное произведение находим по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3b3 . |
(2.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
a b a1 b1 a2b2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример. Найти |
скалярное произведение |
векторов 2a и |
|
|
, если |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3b |
||
a 1; 2;3 |
и |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 0; 1;1 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Координаты векторов 2a и 3b :
2a 2 1; 2;3 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 ;
3b 3 0; 1;1 3 0; 3 1 ; 3 1 0;3; 3 .
По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно:
2a 3b 2 0 4 3 6 3 0 12 18 6.
Ответ: 6.
Некоторые приложения скалярного произведения:
1. Угол между двумя ненулевыми векторами a a1 ; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3
из определения скалярного произведения вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(a b) arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a |
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a1b1 a2b2 |
a3b3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(a b) arccos |
|
|
|
|
|
(2.3) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a2 |
a2 |
a2 |
|
|
|
b2 |
b2 |
b2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти угол между векторами a i 2 j 2k и b j k .
Решение. Координаты векторов a и b : a 1; 2; 2 и b 0; 1;1 .
Тогда по формуле (2.3), угол между векторами a и b равен:
|
|
1 0 2 1 2 1 |
|
|
|
0 1 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a b) arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos 3 |
|
|
|
arccos0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 12 |
|
0 |
||||||||||||||
12 |
22 22 02 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
следовательно, (a b) 90 , то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 90 .
2. Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
np |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если a i k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
b 2i j . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
np |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1;0; 1 |
|
|
|
2;1;0 |
|
||||||||||||||||||||||||
Решение. Координаты векторов |
|
a |
|
|
b |
|
. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
1 2 0 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
np |
|
|
b |
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
12 02 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: np a b 2 .
Векторное произведение векторов
Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости) вектора a , b и c ,
взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца третьего вектора c поворот от первого вектора a ко второму вектору b по кротчайшему пути виден против хода часовой стрелки, и левую, если по часовой. (См.
рис. 8)
17
правая |
левая |
тройка |
тройка |
|
Рис. 8 |
Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой вектор
c , что:
1) c a , c b;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
c |
|
a |
|
b |
sin a b ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) тройка векторов a , b , и c – правая, и обозначается a b c . |
||||||||||||||||||||||||||
Из |
|
|
определения векторного произведения непосредственно вытекают |
следующие соотношения между ортами i , j , и k :
i j k , j k i , k i j .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
, |
|
i |
, |
k |
k |
, |
j |
, |
i |
|
|
i |
k |
j |
|
|||||||||||||||
Поскольку тройки векторов |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
левые, то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
j i k , |
|
|
k j i , |
i k j . |
Свойства векторного произведения:
1)a b b a ;
2)c a b c a c b;
3)a b a b a b , R;
4)a b 0 a || b .
18
Векторное |
произведение |
двух |
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1;b2 ;b3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
a |
a1 ; a2 ; a3 и |
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находится по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
a3 |
|
|
|
a1 |
a3 |
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a b |
i |
j |
k . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; 2;3 |
|
|
|
0;1; 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
||||||
Пример. Найти векторное произведение векторов |
|
|
|
|
|
и |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
b |
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 i 1 0 j 1 0 k 5i j k .
Ответ: a b 5i j k .
Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что площадь
параллелограмма, построенного на векторах a и b (см. рис. 9) равна модулю
векторного произведения векторов a и b , так как:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
a |
|
b |
sin Sпарал. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (см.
рис. 10) равна половине модуля векторного произведения, построенного на векторах
a и b , то есть
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
Sпарал. |
|
|
a b |
. |
||||||
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|