8989
.pdf5.Интегральное исчисление
5.1.Неопределенный интеграл
5.1.1. Правила интегрирования
f (x)dx F(x) C F |
|
|
|
|
|
F(x) – первообразная функция от |
f (x). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x) f (x) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
af (x)dx a f (x)dx. |
|
|
x (t) – замена переменной. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
f (x)dx f ( (t)) (t)dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
udv uv vdu – формула интегрирования по частям. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Pk (x) |
dx |
(k l). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Q (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если Q(x) (x a)m (x2 |
px q)n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
то |
P(x) |
|
A1 |
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
Am |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(x a)m |
(x a)m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Q(x) |
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
B1x C1 |
|
|
B2x C2 |
|
|
|
Bnx Cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
(x2 px q)n |
(x2 px q)n 1 |
x2 px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
R(sin x,cosx)dx: |
|
|
x |
t, |
sin x |
2t |
|
|
|
|
cosx |
|
1 t2 |
dx |
2dt |
|
|
|||||||||||||||||||||||
tg |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
1 t |
2 |
|
|
1 t |
2 |
1 t |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
R(sin2 x,cos2 x)dx: |
tgx t, sin2 |
x |
|
|
|
, cos2 |
x |
|
1 |
, |
dx |
dt |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
1 t |
|
1 t |
|
|
5.1.2. Таблица интегралов
dx x C
xndx |
xn 1 |
C |
(n 1) |
|
|||
|
n 1 |
|
dxx ln x C
dx
1 x2 arctgx C
|
|
dx |
|
arcsinx C |
|
|
|
||
|
|
|||
|
1 x2 |
exdx ex C
axdx ax C lna
chdx2 xdx thx C
shdx2 x dx cthx C
dx ln x a C x a
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
C |
||||||||
x |
2 |
a |
2 |
|
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
x a |
|
C |
||||||
|
|
|
|
ln |
|
||||||||||||||
|
x |
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
2a |
|
x a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
a x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ln |
|
C |
|||||||||||||
|
a |
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2a |
|
a x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
C |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||||
|
|
a2 x2 |
|
|
21
sinxdx cosx C |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ln |
x |
x2 a2 |
|
C |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x2 |
a2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cosxdx sinx C |
|
dx |
ln |
tg |
|
x |
C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
sinx |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
sec2 xdx tgx C |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
π |
|
|
C |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cosec2xdx -ctgx C |
tgxdx ln |
|
cosx |
|
C |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
shxdx chx C |
ctgxdx ln |
|
sinx |
|
C |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
chxdx shx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Определенный интеграл
5.2.1. Правила интегрирования
b
f (x)dx F(x) ba F(b) F(a) – формула Ньютона-Лейбница.
a
b b
udv uvba vdu – формула интегрирования по частям.
aa
bt2
f(x)dx |
|
|
( (t1) a, (t2) b) – замена переменной. |
|||||
f( (t)) (t)dt |
||||||||
a |
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
Несобственные интегралы |
|
|
|
||||
|
|
b |
|
b |
|
b |
|
|
|
f ( x) dx |
lim f ( x) dx , |
|
f (x) dx lim |
f ( x) dx . |
|
||
a |
|
b |
|
|
a |
a |
|
|
|
a |
|
b |
c α |
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Если на a c b и |
f (c) , |
то f(x)dx |
lim |
f(x)dx |
lim f(x)dx. |
|||
|
|
|
|
|
a |
α 0 |
a |
β 0 c β |
Несобственный интеграл сходится, если соответствующий предел существует и конечен. Несобственный интеграл расходится, если соответствующий предел не существует или бесконечен.
5.2.2. Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры
b |
b |
|
t2 |
S f ( x) dx , |
S f2 ( x) f1( x) dx , |
S |
f ( (t)) (t) dt |
a |
a |
|
t1 |
β
S 1 ρ2 d .
2 α
Площадь эллипса |
x |
2 |
|
y |
2 |
1 равна |
S ab. |
|||||||
a |
2 |
b2 |
||||||||||||
|
Длина дуги |
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
|
|
t2 |
|
|
|
|
β |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 y 2 dx, |
|
|
|
x 2 y 2 dt, |
ρ2 ρ 2 d . |
||||||||
L |
|
L |
|
L |
||||||||||
a |
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
α |
|
|
22
Объем тела
b
V S(x)dx, где S(x) – площадь поперечного сечения.
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Объем эллипсоида |
|
|
|
1 равен |
V |
4 |
abc. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Объем тела вращения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx |
y2 dx (вокруг оси Ox), |
Vy x2 dy (вокруг оси Oy). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь поверхности вращения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sx |
2 y |
1 y 2 dx, (вокруг оси Ox), |
Sy 2 x 1 x 2 dy |
(вокруг оси Oy). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть γ γ(x) – функция плотности распределения вещества по пло- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ской дуге y f (x). Для однородной дуги γ const. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Масса дуги M γ |
1 y 2 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Статические моменты и моменты инерции плоской дуги |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
dx , |
|
|||||||||||||||
M x γ y |
1 y 2 |
|
|
|
M y γ x |
1 y 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ix γ y2 |
|
1 y 2 |
dx, |
|
|
|
Iy γ x2 |
1 y 2 |
dx, |
|
|
I0 Ix Iy. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Центр тяжести плоской дуги |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
M y |
|
γ x |
1 y 2 |
dx |
|
|
|
M x |
|
γ y |
1 y 2 |
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||
xc |
|
|
a |
, |
yc |
|
a |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
M |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y 2 dx |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
γ 1 y 2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пусть γ γ(x) – функция плотности распределения вещества по пло- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ской фигуре, ограниченной линиями |
y 0, x a, x b, |
y f (x). Для од- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нородной фигуры γ const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
Масса фигуры M γ ydx.
a
Статические моменты и моменты инерции плоской фигуры
|
1 |
b |
b |
|
M x |
γ y2 dx , |
M y γ xydx , |
||
2 |
||||
|
|
a |
a |
|
1 |
b |
b |
|
Ix |
γ y3 dx , |
I y γ x2 y dx , I0 Ix Iy. |
||
3 |
||||
|
|
a |
a |
23
Центр тяжести плоской фигуры
|
|
|
|
b |
|
|
1 |
b |
|
|
||||
|
|
|
|
γ xy dx |
γ y2 dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xc |
|
M y |
|
a |
|
, |
yc |
M x |
|
2 a |
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
M b |
|
|
|
M |
b |
|
|
|||||
|
|
|
|
γ y dx |
|
|
|
|
|
γ y dx |
||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
5.3. Двойной и тройной интегралы |
||||||||||||||
5.3.1. Двойной интеграл |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
y2 (x) |
d |
x2 ( y) |
|||||
V f (x, y)dxdy |
dx |
f (x, y)dy |
dy |
f (x, y)dx – |
||||||||||
|
D |
|
a |
y1 (x) |
c |
x1 ( y) |
объем (мера) цилиндрического тела, в основании которого лежит областьD , ограниченного поверхностью z f (x,y).
S dxdy – площадь (мера) области D .
D
V |
f (x,y)dxdy f (ρcos ,ρsin )ρdρd – |
|||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объем цилиндрического тела в полярной системе координат. |
|||||||
S dxdy ρdρd – площадь в полярной системе координат. |
||||||||||||
|
|
D |
|
D |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
z |
2 |
|
||
S |
пов |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dxdy – |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
D |
|
|
y |
|
|
площадь поверхности, заданной уравнением z f (x,y);
D – проекция поверхности на плоскость xOy. Масса плоской пластинки D с поверхностной плотностью γ(x,y)
M γ(x,y)dxdy.
D
Статические моменты пластинки D относительно осей координат Mx y γ(x,y)dxdy – относительно оси Ox,
D
M y |
x γ(x,y)dxdy – относительно оси Oy. |
|
|||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc |
|
My |
, |
yc |
M |
x |
|
– координаты центра тяжести пластинки |
D . |
||
|
M |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
||||
В случае однородной пластинки (γ(x,y) – константа): |
|
||||||||||
|
|
xdxdy |
|
|
|
ydxdy |
. |
|
|||
xc |
D |
|
|
, |
yc |
|
D |
|
|||
|
|
|
dxdy |
|
|||||||
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
24
Моменты инерции пластинки D
Ix y2 |
γ(x,y)dxdy – относительно оси Ox, |
D |
|
Iy x2 |
γ(x,y)dxdy – относительно оси Oy, |
D
IO x2 y2 γ(x,y)dxdy – относительно начала координат.
D
5.3.2. Тройной интеграл
b y2 (x) z2 (x,y)
f (x,y,z)dxdydz dx |
dy |
f (x,y,z)dz – тройной интеграл по |
|||||
|
T |
a |
y1(x) z1(x,y) |
|
|||
области T {(x;y;z) |
|
a x b, y1(x) y y2(x), z1(x,y) z z2(x,y)}. |
|||||
|
|||||||
V dxdydz – объем (мера) области T . |
|
||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
f (x,y,z)dxdydz f (ρcos ,ρsin ,z)ρdρd dz – |
|
||||||
|
T |
T |
тройной интеграл в цилиндрических координатах. |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
z |
x ρcos , |
– связь декартовых координат |
M(x,y,z) |
|||||
M( , ,z) |
|||||||
|
|
(x;y;z) с цилиндрическими ко- |
z |
||||
y ρsin , |
|||||||
|
z z |
ординатами (ρ; ;z) (рис. 5.1). |
y |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1 |
f (x,y,z)dxdydz f (ρsinθcos ,ρsinθsin ,ρcosθ)ρ2 sinθdρd dθ – |
|||||||
|
T |
T |
тройной интеграл в сферических координатах. |
||||
|
|
|
|
|
z
M(x,y,z)
M( , , )
|
x ρsin θ cos , |
– связь декартовых координат |
|
y |
|
|
(x;y;z) со сферическими ко-- |
y ρsin θ sin , |
|||
|
|
z ρ cos θ |
ординатами (ρ; ;θ) (рис. 5.2). |
x |
|
||
|
|
|
|
Рис. 5.2 |
|
|
|
M γ(x,y,z)dxdydz – масса тела T с плотностью γ(x,y,z). |
|||
T |
|
|
|
25
Статические моменты тела относительно плоскостей:
Mxy z γ(x,y,z)dxdydz – относительно координатной плоскости Oxy,
T
Myz |
x γ(x,y,z)dxdydz – относительно координатной плоскости Oyz, |
|||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mxz |
y γ(x,y,z)dxdydz – относительно координатной плоскости Oxz. |
|||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc |
Myz |
, |
yc |
M |
xz |
, zc |
Mxy |
|
– координаты центра тяжести тела T . |
|||||||
M |
|
M |
M |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В случае однородного тела (γ(x,y,z) – константа): |
|
|||||||||||||||
|
|
xdxdydz |
|
|
|
ydxdydz |
|
zdxdydz |
. |
|||||||
xc |
|
T |
|
|
|
, |
|
yc |
|
T |
|
, zc |
T |
|||
|
|
|
|
|
dxdydz |
|
dxdydz |
|||||||||
|
|
dxdydz |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
T |
|
||
|
|
Моменты инерции тела T : |
|
|
|
|
||||||||||
Ixy z2 |
γ(x,y,z)dxdydz – относительно координатной плоскости Oxy, |
|||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iyz x2 |
γ(x,y,z)dxdydz – относительно координатной плоскости Oyz, |
|||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ixz y2 |
γ(x,y,z)dxdydz – относительно координатной плоскости Oxz, |
|||||||||||||||
|
|
T |
Ixz (y2 |
z2) γ(x,y,z)dxdydz – относительно оси Ox, |
||||||||||||
Ix Ixy |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iy Ixy |
Iyz (x2 |
z2) γ(x,y,z)dxdydz – относительно оси Oy, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iz |
Ixz |
Iyz (x2 |
y2) γ(x,y,z)dxdydz – относительно оси Oz. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Il |
r2 γ(x,y,z)dxdydz – относительно некоторой оси l |
|||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
(r – расстояние точки (x,y,z) тела до оси l), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
IO (x2 |
y2 z2) γ(x,y,z)dxdydz – относительно начала координат. |
|||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4. Криволинейный и поверхностный интегралы
5.4.1. Криволинейный интеграл
Криволинейный интеграл по длине дуги (интеграл I рода)
b
f (x,y)ds f (x, (x)) 1 (x) 2dx –
AB a
криволинейный интеграл от функции z f (x,y) по длине дуги y (x).
26
t2
f (x,y)ds f (x(t),y(t)) x (t) 2 y (t) 2dt –
AB |
|
t1 |
|
|
|
|
криволинейный интеграл от функции z f (x,y) по длине дуги, |
||
|
|
заданной параметрически |
x x(t), y y(t). |
|
L ds – длина (мера) дуги AB. |
|
|||
b |
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y (x). |
1 (x) dx – длина (мера) дуги |
||||
a |
|
|
|
|
Масса дуги с линейной плотностью γ(x,y)
(γ(x,y,z) – в случае пространственной кривой).
M γ ds.
AB
Координаты центра тяжести дуги AB
|
|
xγds |
|
|
yγds |
|
|
zγds |
|
||||
xc |
|
AB |
|
, yc |
AB |
|
, zc |
AB |
. |
||||
γds |
γds |
γds |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
AB |
|
|
|
AB |
|
|
|
AB |
|
||
В случае однородной дуги (γ – константа): |
|||||||||||||
|
|
xds |
|
|
yds |
|
|
zds |
|
||||
xc |
|
AB |
, yc |
AB |
, zc |
AB |
. |
|
|||||
ds |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ds |
|
|
ds |
|
||||
|
|
AB |
|
|
AB |
|
|
AB |
|
||||
|
Криволинейный интеграл по координатам (интеграл II рода) |
||||||||||||
P(x,y)dx Q(x,y)dy |
b |
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
P(x, (x)) (x)Q(x, (x)) dx – |
|||||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
кривая AB задана уравнением y (x).
t2
P(x,y)dx Q(x,y)dy P(x(t),y(t))x (t) Q(x(t),y(t)) y (t) dt –
AB |
t1 |
|
кривая AB задана параметрически x x(t), y y(t). |
P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz
AB
t2 |
|
|
|
|
– |
||
P(x(t),y(t),z(t))x (t) Q(x(t),y(t),z(t))y (t) R(x(t),y(t),z(t))z (t) dt |
|||
t1 |
|
x x(t), y y(t),z z(t). |
|
пространственная кривая задана параметрически |
27
Физический смысл криволинейного интеграла II рода:
P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz –
AB
работа силы F P i Q j R k вдоль дуги AB.
При условии P Q криволинейный интеграл по любому замкнутому
y x
плоскому контуру C равен нулю: P(x,y)dx Q(x,y)dy 0.
C
(x1,y1)
В этом случае интеграл P(x,y)dx Q(x,y)dy не зависит от пути интег-
(x0 ,y0 )
рирования, подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y), т.е. P(x,y)dx Q(x,y)dy dU(x,y), где
x y x y
U(x,y) P(x,y0)dx Q(x,y)dy |
или U(x,y) P(x,y)dx Q(x0,y)dy. |
||||||||
|
x0 |
y0 |
|
|
|
|
x0 |
y0 |
|
|
Формула Грина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x,y) |
|
P(x,y) |
|
|
|
P(x,y)dx |
Q(x,y)dy |
|
|
dxdy – |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
C |
|
|
D |
|
|
|
|
область D ограничена контуром C.
Площадь области, ограниченной контуром C: S 1 xdy ydx.
2C
Связь криволинейных интегралов I и II рода
На плоскости: P(x,y)dx Q(x,y)dy P(x,y)cosα Q(x,y)cosβ ds,
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|||
где , – углы между касательной к плоской кривой L и осями координат. |
|||||||||||
Если параметрические уравнения кривой x x(t), y y(t), то |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
cosα |
|
|
x |
, cosβ sinα |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
||
|
|
x |
|
y |
|
|
x |
y |
|||
В пространстве: P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz |
|||||||||||
|
|
|
|
L |
P(x,y)cosα Q(x,y)cosβ R(x,y)cosγ ds, |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
||
где , , – углы между касательной к пространственной кривой L и осями |
координат.
Если параметрические уравнения кривой x x(t), y y(t),z z(t), то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
cosα |
|
|
x |
|
|
,cosβ |
|
|
|
|
|
, cosγ |
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|||||||||
|
|
x |
y |
|
z |
x |
y |
|
z |
x |
y |
|
z |
28
5.4.2. Поверхностный интеграл
Поверхностный интеграл по площади поверхности (интеграл I рода)
F(x,y,z)dS F(x,y, f (x,y)) |
1 ( fx (x,y))2 |
( fy (x,y))2 dxdy – |
|
S |
D |
|
|
поверхностный интеграл от функции F(x,y,z) по площади поверхности z f (x,y). Здесь D – проекция поверхности S на плоскость Oxy.
F(x,y,z)dS F(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) EG M 2 dudv –
S D
поверхностный интеграл от функции F(x,y,z) по площади поверхности, заданной параметрически x x(u,v),y y(u,v),z z(u,v). Здесь D – область плоскости параметров u,v, функции
E (xu (u,v))2 (yu(u,v))2 (zu (u,v))2, G (xv(u,v))2 (yv(u,v))2 (zv(u,v))2,
M xu(u,v) xv (u,v) yu (u,v) yv(u,v) zu (u,v) zv (u,v).
S dS – площадь (мера) поверхности S .
S
M γ(x,y,z)dS – масса материальной поверхности S с поверхностной
S
плотностью γ(x,y,z).
Статические моменты поверхности S :
Mxy z γ(x,y,z)dS – относительно плоскости Oxy.
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
M yz |
x γ(x,y,z)dS – относительно плоскости Oyz. |
||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mxz |
y γ(x,y,z)dS – относительно плоскости Oxz. |
||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты центра тяжести поверхности S |
||||||||
xc |
Myz |
, |
yc |
M |
xz |
, |
zc |
Mxy |
. |
M |
|
|
M |
||||||
|
|
|
M |
|
|
В случае однородной поверхности (γ(x,y,z) – константа):
|
xdS |
|
ydS |
|
zdS |
|
||
xc |
S |
|
, |
yc |
S |
, zc |
S |
. |
dS |
|
dS |
dS |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
S |
|
|
|
S |
|
S |
|
Моменты инерции поверхности S : |
||||||||
Ixy z2 |
γ(x,y,z)dS – относительно плоскости Oxy, |
|||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
Iyz x2 |
γ(x,y,z)dS – относительно плоскости Oyz, |
|||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
29
Ixz y2 |
γ(x,y,z)dS – относительно плоскости Oxz, |
|
S |
|
|
Ix (y2 |
z2 ) γ(x, y,z)dS |
– относительно оси Ox, |
S |
|
|
Iy (x2 |
z2) γ(x,y,z)dS |
– относительно оси Oy, |
S |
|
|
Iz (x2 |
y2) γ(x,y,z)dS |
– относительно оси Oz, |
S |
|
|
Il r2 γ(x,y,z)dS– относительно некоторой оси l |
||
S |
(r – расстояние точки (x,y,z) поверхности до оси l), |
|
|
||
IO (x2 |
y2 z2) γ(x,y,z)dS – относительно начала координат. |
|
S |
|
|
Поверхностный интеграл по координатам (интеграл II рода)
F(x,y,z)dxdy F x,y, f (x,y) dxdy – поверхностный интеграл II рода
S D
от функции F(x,y,z), если поверхность S задана явным уравнением z f (x,y). Здесь D – проекция поверхности S на плоскость Oxy.
P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dxdz R(x,y,z)dxdy
S
(P(x,y,z) cosα Q(x,y,z) cosβ R(x,y,z) cosγ)dS –
S
выражение поверхностного интеграла II рода через интеграл I рода. Здесь cosα,cosβ,cosγ – направляющие косинусы нормали поверхности S .
Если поверхность задана неявным уравнением F(x,y,z) 0, то
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
Fx |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(Fx )2 (Fy )2 (Fz )2 |
||||||||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
Fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
(Fx ) |
|
(Fy ) |
|
(Fz ) |
||||||||||||
cosγ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fz |
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(Fx ) |
|
|
(Fy ) |
|
|
(Fz ) |
|
|
|
|
|
|
|
знак выбирается в зависимости от стороны поверхности S . |
|
|
|||||||||||
Если поверхность задана параметрическими уравнениями |
|
|
|||||||||||
x x(u,v), y y(u,v), z z(u,v), то |
|
|
|
|
|
|
|||||||
cosα |
|
A |
|
, cosβ |
|
B |
|
, cosγ |
|
C |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A2 B2 C2 |
A2 B2 C2 |
A2 B2 C2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
30