8989
.pdfУсловия параллельности и перпендикулярности прямых
l || l |
|
|
|
1 || |
|
2 |
m1 |
|
n1 |
|
p1 |
, |
|
2 |
S |
S |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
m2 |
|
n2 |
|
p2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 l2 S1 S2 m1m2+n1n2+p1p2=0. x2 x1 y2 y1 z2 z1
|
m1 |
n1 |
p1 0 |
– условие расположения двух |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
m2 |
n2 |
p2 |
прямых в одной плоскости. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Угол между прямой и плоскостью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
l : |
x x0 |
|
|
|
y y0 |
|
|
z z0 |
, |
|
|
|
{m,n, p}, P: Ax+By+Cz+D =0, |
|
{A,B,C}, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
S |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
n |
|
|
p |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sin(l,P) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am Bn Cp |
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 C2 m2 n2 p2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
l || P |
|
|
|
|
|
|
Am Bn Cp 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
S |
N |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
l P |
|
|| |
|
|
A |
|
B |
|
C |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
S |
N |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m n |
|
|
p |
|
|
|
|
|
3.4. Кривые II порядка
(–a,0)
x a
ε
x2 y2 1– эллипс (рис. 3.3) a2 b2
y
M(x,y) (0, b)
r2 r1
F2(–c,0) F1(c,0)
(0, –b)
Рис. 3.3.
|
|
|
|
F1(c,0), F2(–c,0) – фокусы, |
|||||
|
|
|
|
c |
c |
a2 b2 |
, |
||
|
|
|
|
ε |
|
1 – эксцентриситет, |
|||
(a,0) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
|||||
|
|
|
x |
x |
a |
– уравнения |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ε |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
директрис, |
|
|
|
a |
|
r=a x – фокальные |
|||||
|
|
|
|
|
|
радиусы-векторы |
|||
x |
|
|
|
|
|||||
ε |
|
|
|
|
F1M и F2M. |
||||
|
|
|
|
|
|
(x x0 )2 (y y0 )2 R2 – окружность, C(x0,y0) – центр, R – радиус.
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
1 – гипербола (рис. 3.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||
F1(c,0), F2(–c,0) – фокусы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
c |
a2 |
b2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,b) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ε |
c |
|
|
1 – эксцентриситет, |
|
|
|
M(x,y) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
r1 |
|
|
||||||
x |
|
a |
– уравнения директрис, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
F2(–c,0) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ε |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
b |
|
x – уравнения асимптот, |
(–a,0) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
– фокальные радиусы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r= x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы правой ветви ги- |
|
(0,–b) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
перболы (F1M и F2M), |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r=– x a – фокальные радиусы- |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|||||||||||||
|
x |
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы левой ветви ги- |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
ε |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перболы. |
Рис. 3.4 |
|
|
|
y2 2px – парабола (рис. 3.5) |
F1(c,0) (a,0) x
|
y |
|
|
|
|
|
|
r M(x,y) |
|
p |
,0 |
|
– фокус, ε 1 – эксцентриситет, |
|
|
F |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
x 2p |
F(2p ,0) |
x |
x p – уравнение директрисы, |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
r x p – фокальный радиус-вектор. |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Рис. 3.5 |
|
|
|
|
|
3.5. Преобразования координат
Y
y
M(x,y) M(X,Y)
|
x X a, |
– параллельный перенос осей |
X |
|
|
y Y b |
|
O1(a,b) |
x |
|
|
O |
|
Рис. 3.6 |
|
12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||
|
Y |
|
|||||||||||||
x X cos Y sin , |
– поворот осей |
X |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
y X sin Y cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.7 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. Общее уравнение линии II порядка
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
AC–B2>0 – линия эллиптического типа, AC–B2<0 – линия гиперболического типа, AC–B2=0 – линия параболического типа.
3.7. Поверхности II порядка
x2 y2 z2 R2 – |
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
1 |
– |
сфера (рис. 3.8) |
|
a |
2 |
b |
2 |
c |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
z |
эллипсоид (рис. 3.9) |
z
|
y |
y |
|
|
|
x |
|
x |
|
Рис. 3.9 |
|
|
Рис. 3.8 |
|
|
|
13
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
1 – |
|
a |
2 |
b |
2 |
c2 |
|||||
|
|
|
однополостный
гиперболоид
(рис. 3.10) z
|
|
y |
|
x |
|
|
|
x |
|
Рис. 3.10 |
|
x2 |
y |
2 |
|
|
2z (p q 0) – |
p |
q |
эллиптический параболоид
(рис. 3.13 – p >0, q >0) z
y
x
Рис. 3.13
x2 |
|
y2 |
|
z |
2 |
1 – |
x2 |
|
y2 |
|
z |
2 |
0 –– |
||
a2 |
b2 |
c |
2 |
a2 |
b2 |
c |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
двуполостный |
|
|
конус |
|
|
||||||||||
гиперболоид |
(рис. 3.12) |
||||||||||||||
|
(рис. 3.11) |
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y
x
Рис. 3.11 Рис.3.12
x2 |
y2 |
||
|
|
|
2z (p q 0) – |
|
|
||
p |
q |
гиперболический параболоид
(рис. 3.14 – p >0, q >0) z
x
y
Рис. 3.14
14
Цилиндрические поверхности
F(x,y) 0 – образующие параллельны оси Oz, направляющая
F(x,z) 0 – образующие параллельны оси Oy , направляющая
F(y,z) 0 – образующие параллельны оси Ox , направляющая Цилиндры II порядка:
F(x,y) 0,
z 0.
F(x,z) 0,
y 0.
F(y,z) 0,
x 0.
|
x2 |
|
y2 |
1 – |
|
x2 |
|
y2 |
|
1 – |
y2 2px – |
||
|
a2 |
b2 |
|
a2 |
b2 |
параболический |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
эллиптический |
гиперболический |
(рис. 3.17) |
|||||||||||
(рис. 3.15) |
|
(рис. 3.16) |
z |
||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
x |
|
|
y |
||
x |
y |
||
Рис. 3.17 |
|||
Рис. 3.15 |
Рис. 3.16 |
4.Дифференциальное исчисление
4.1.Пределы
lim sin x 1 – первый замечательный предел.
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e, lim 1 x |
x |
|
e – |
второй замечательный предел (e 2,718). |
||||||||||||||||
lim 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (x) |
|
|
|
f |
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
lim |
|
|
lim |
|
(x) |
, lim |
|
lim |
f (x) |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– правило Лопиталя. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||
x x0 (x) |
|
x x0 (x) |
x (x) |
|
x (x) |
|
|
|
|||||||||||||
4.2. Производная и дифференциал |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4.2.1. Правила дифференцирования |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(u v) u v |
– |
производная суммы (разности), |
|
|
|||||||||||||||||
(u v) |
|
|
|
|
|
– |
производная произведения, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
u v v u |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(c y) cy |
– постоянный множитель выносится за знак производной, |
15
u |
|
|
|
|
|
||
|
u v v u |
– |
производная дроби. |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
v2 |
|||||
v |
|
|
|
|
x x(t), |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||
|
yx |
y |
(t) |
, |
yx |
|
(t)x (t) x |
(t)y (t) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
– |
||||
|
|
|
|
3 |
|
||||||
y y(t), |
|
x (t) |
|
|
|
|
x (t) |
|
|
первая и вторая производные функции, заданной параметрически.
y f(x), |
|
|
|
– |
дифференциал функции. |
dy f (x)dx |
|||||
y f (u(x)) |
yu |
fu ux |
– производная сложной функции. |
4.2.2. Таблица производных
(c) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgu x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u |
|
x |
α u |
|
|
|
ux |
|
ctgu |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
eu ux |
|
|
|
|
|
|
tgu secu ux |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
eu x |
|
|
|
|
|
secu x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
au x au lna ux |
|
cosecu x ctg u cosecu ux |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
uv x |
uv lnu vx |
v uv 1 ux |
arcsinu x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 u2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
lnu x |
|
ux |
|
|
|
|
|
arccosu |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux |
||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 u2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
loga u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ux |
arctgu x |
|
|
|
|
|
|
|
ux |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
lna |
u |
|
|
1 u2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
sinu x |
cosu ux |
|
arcctgu |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 u |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
sinu ux |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cosu x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Гиперболические функции и их производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
u |
e |
u |
|
|
|
|
|
|
chu ux |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
shu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
shu x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u |
2 |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
e |
|
|
|
|
|
shu ux |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
chu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
chu x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
shu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
thu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
thu x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
chu |
|
|
|
|
|
|
|
|
ch2 u ux |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
chu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cthu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cthu shu |
|
|
|
|
|
x |
sh2 u ux |
|
16
4.2.3. Приложения производной
y y0 |
f |
|
|
|
|
– касательная к кривой y f(x) в точке (x0,y0). |
|||||
(x0) (x x0) |
|||||||||||
y y |
0 |
|
|
1 |
(x x |
0 |
) – нормаль к кривой y f(x) в точке (x |
,y |
0 |
). |
|
f |
(x ) |
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
y f (x0) |
f (x0) (x x0) – приближенное вычисление с помощью диф- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ференциала при малом x x x0. |
|
|
|
4.2.4. Исследование функции с помощью производной
Возрастание, убывание, экстремум функции
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) 0 – функция возрастает, |
|
|||||||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) 0 – функция убывает, |
|
|
||||||||
f (x0) 0 |
( ) |
– M0(x0, f(x0)) |
критическая точка 1-го рода. |
||||||||
|
|
Если в окрестности критической точки при переходе слева направо |
|||||||||
f |
|
меняет знак с "+" на "–", то M0 |
– точка максимума, |
||||||||
|
(x) |
||||||||||
f |
|
меняет знак с "–" на "+", то M0 |
– точка минимума, |
||||||||
|
(x) |
||||||||||
f |
|
не меняет знака, то экстремума в точке M0 нет. |
|||||||||
|
(x) |
||||||||||
|
|
Если |
, |
а f |
|
|
, то M0 |
– точка максимума, |
|||
f |
|
|
|
|
|||||||
|
(x0) 0 |
|
(x0) 0 |
||||||||
f |
|
|
, |
а f |
|
|
, то M0 |
– точка минимума, |
|||
|
(x0) 0 |
|
(x0) 0 |
||||||||
f |
|
|
и f |
|
, то необходимо исследовать с помощью первой |
||||||
|
(x0) 0 |
|
(x0) 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производной. |
|
|
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба |
|||||||||
f |
|
|
– кривая y f(x) |
вогнутая (выпуклая вниз), |
|||||||
|
(x) 0 |
||||||||||
f |
|
|
– кривая y f(x) |
выпуклая (выпуклая вверх), |
|||||||
|
(x) 0 |
||||||||||
f (x0) 0 |
( ) |
– M0(x0, f(x0)) |
критическая точка 2-го рода. |
||||||||
|
|
Если f |
|
|
|
|
|
|
M0(x0, f(x0)) меняет знак, |
||
|
|
(x) в окрестности точки |
|||||||||
то |
M0 – точка перегиба кривой y f(x). |
||||||||||
|
|
Асимптоты кривой y f(x) |
|
Если lim f(x) , то x a – вертикальная асимптота.
x a
Уравнение наклонной асимптоты y kx b, где
k lim |
f(x) |
, |
b |
lim ( f(x) kx). |
|
||||
x |
x |
|
x |
4.2.5. Кривизна плоской линии
Углом смежности дуги AB плоской линии называется угол α между положительными направлениями касательных, проведенных в точках A и B этой линии.
17
kср |
|
α |
|
– средняя кривизна дуги AB, где s – длина дуги AB. |
|
|
|||||
|
|
s |
|||
k lim |
α |
– кривизна линии в точке A. |
|||
|
|||||
|
s 0 s |
kокр |
1 |
|
– кривизна окружности, где r – радиус окружности. |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||
Кривизна прямой равна нулю. |
|||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
– кривизна линии, заданной явно y f (x). |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(1 |
y 2 |
|
)3/ 2 |
||||||||||||||
k |
|
|
xt yt xt yt |
|
|
|
– кривизна линии, заданной параметрически |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
(xt2 yt2)3/ 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x x(t), y y (t). |
|
|
|
|
|||||||||||||
k |
|
ρ2 2ρ 2 ρρ |
|
|
– кривизна линии, заданной в полярных |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(ρ2 ρ 2)3/ 2 |
|
|
|
координатах ρ ρ( ).
R 1 – радиус кривизны. k
Окружностью кривизны линии в ее точке A называется предельное положение окружности, проходящей через три точки A, B,C кривой, когда B A и C A. Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны.
Центром кривизны называется центр окружности кривизны (лежит на нормали к линии, проведенной в точке A в сторону вогнутости этой линии).
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
1 y |
2 |
|||
ξ x |
y (1 y |
|
, |
η y |
|
– координаты центра кривизны |
|||||||
|
|
|
y |
|
|||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
линии, заданной явно y f (x). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ξ x |
yt (xt2 |
yt2) |
, |
η y |
xt (xt2 yt2) |
– координаты центра |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
xt yt xt y |
|
|
|
xt yt xt y |
кривизны линии, заданной параметрически x x(t), y y (t). Эволютой линии называется линия, состоящая из всех центров кривизны данной линии. Исходная линия называется эвольвентой своей эво-
люты.
18
4.3. Функции нескольких переменных
4.3.1. Дифференцирование
Дифференциалы и приращения
dz |
z |
dx |
z |
dy, |
z dz, |
f(x dx,y dy) f(x,y) dz, |
x |
|
|||||
|
|
y |
|
|
|
2 |
|
2z |
|
2 |
|
2z |
|
2z |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
d |
|
z |
|
dx |
|
2 |
|
dxdy |
|
|
|
|
dy |
|
. |
|
|
|
|||
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Производные сложных функций |
|||||||||||||||||||
Если z f(x,y), |
x x(t), |
|
y y(t) , то |
||||||||||||||||||
Если z f(x,y), |
x x(u,v), |
|
y y(u,v), |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
то |
z |
|
z |
|
x |
|
z |
|
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
x u |
|
y u |
dz |
|
z |
|
dx |
|
z |
|
dy |
. |
|
|
|
|
|
|||||
dt |
x dt |
y dt |
, z z x z yv x v y v
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная функции z f(x,y) |
в точке M0 (x0 , y0 ) |
по направлению |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора |
|
|
|
|
{cosα, sinα}: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinα |
или |
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
cosα |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosβ, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M0 |
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{cosα, cosβ} (cos2 α cos2 β 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная функции w f (x, y,z) |
в точке M0 (x0 , y0 ,z0 ) |
|
по направле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нию вектора |
|
|
|
{cosα,cosβ,cosγ}, (cos2 α cos2 β cos2 |
γ 1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα |
|
w |
|
|
|
|
cosβ |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosγ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
M0 |
|
|
M0 |
|
y |
z |
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Градиент функции z f(x,y) |
в точке M0 (x0 , y0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
gradz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j, |
grad z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M0 |
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Градиент функции w f (x, y,z) в точке M0 (x0 , y0 ,z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
w |
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
grad |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
k |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
M0 |
|
|
|
M0 |
z |
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
2 |
|
|
w |
|
|
|
|
2 |
|
|
w |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная неявной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Fy |
M0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
F(x,y) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
yx |
|
|
|
x |
, |
F(x,y,z) 0 |
|
|
|
zx |
x |
, |
|
zy |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fz |
19
4.3.2. Геометрические приложения
z f(x,y) – поверхность, |
f(x,y) h const – линия уровня |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Если |
F(x,y,z) 0 |
– уравнение |
поверхности, |
то уравнение касательной |
|||||||||||||||||||||||||||
плоскости в точке |
M0(x0,y0,z0 ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
F |
|
|
|
(x x0) |
F |
|
|
|
(y y0) |
|
F |
|
|
|
|
(z z0) 0, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
||||||||||||||||||||||||
|
|
M0 |
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
уравнения нормали в этой точке: |
|
x x0 |
|
|
|
y |
y0 |
|
z |
|
z0 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
M |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
0 |
|
|
|
|
y |
|
M0 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если z f (x,y) |
– уравнение поверхности, то уравнение касательной плос- |
||||||||||||||||||||
кости в точке M |
|
(x |
|
,y |
|
,z |
|
): |
(z z |
) |
f |
|
|
|
(x x |
) |
f |
|
|
|
(y y ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
x |
|
M0 |
0 |
|
y |
|
M0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения нормали в этой точке: x x0 y y0 z z0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
f |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
0 |
y |
M0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Касательная и нормальная плоскость к пространственной кривой |
||||||||||||||||||
|
|
x x(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
– уравнения кривой l , то уравнения касательной в точке |
|||||||||||||||||
y y(t), |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z(t) |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|||||||
M0 |
(x0,y0,z0 ): |
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
M0 |
|
|
M0 |
|
|
M0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение нормальной плоскости в этой точке:
x |
|
M0 |
(x x0) y |
|
M0 |
(y y0) z |
|
M0 |
(z z0) 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Экстремум функции z f(x,y) |
|
|||||||||||||||||||||
Из системы уравнений |
f |
0, |
f |
0 |
находим стационарные точки. |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
||||||||
Для каждой стационарной точки M0(x0,y0 ) находим |
|||||||||||||||||||||||||
A |
2F |
|
|
, B |
2F |
|
|
, C |
2F |
|
|
|
|
и AC B2. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 |
M0 |
x y |
|
|
y2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
M0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если 0 |
– в точке M0(x0,y0 ) |
имеется экстремум: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при A 0 – максимум, при A 0 – минимум. |
||||||||
Если 0 |
– в точке M0(x0,y0 ) |
нет экстремума. |
|||||||||||||||||||||||
Если 0 |
– в точке M0(x0,y0 ) |
имеет место сомнительный случай. |
20