8908

2.4 Контрольные вопросы

Контрольные вопросы к разделу 1 «Теория множеств и отношений».

1.Множества. Способы задания множеств. Равные множества. Свойства включения. Сравнимость множеств.

2.Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.

3.Подмножества. Разбиения. Булеан множеств и его мощность.

4.Прямое произведение и его свойства.

5.Бинарные отношения и их свойства.

6.Отображения (функции) и их свойства.

7.Отношение эквивалентности и отношение порядка. Примеры.

Контрольные вопросы к разделу 2 «Комбинаторный анализ».

1.Основные комбинаторные правила: правило произведения и правило сложения.

2.Перестановки с повторениями и без повторений.

3.Размещения с повторениями и без повторений.

4.Сочетания с повторениями и без повторений.

5.Треугольник Паскаля и Бином Ньютона.

6.Свойства биномиальных коэффициентов.

7.Метод включения и исключения.

8.Полиномиальная формула. Полиномиальные коэффициенты.

Контрольные вопросы к разделу 3 «Теория графов».

1. Ориентированные и неориентированные графы, маршруты, цепи, циклы,

пути и контуры графов.

2.Представления графов матрицей смежности, матрицей инцидентности,

списком ребер.

3.Ориентированные графы и их виды. Связь с бинарными отношениями.

4.Подграфы. Операции над графами.

91

5.Метрические соотношения в графах.

6.Эйлеровы и полуэйлеровы графы. Критерий эйлеровости графа.

7.Гамильтоновы графы. Достаточные условия гамильтоновых графов.

8.Эйлеровы и гамильтоновы цепи, циклы, пути, контуры.

9.Деревья, лес. Свойства деревьев.

10.Обходы графов: поиск в ширину и поиск в глубину.

11.Построение остова минимального веса: алгоритмы Прима и Краскала.

12.Минимальные пути в нагруженных графах. Алгоритм Дейкстры.

Контрольные вопросы к разделу 4 «Алгебра логики».

1.Определение логических операций.

2.Формулы алгебры логики. Основные законы алгебры логики.

3.Логическое следствие и его свойства.

4.Способы доказательства правильности рассуждений.

5.Решение логических задач.

6.Двойственные формулы. Теорема двойственности.

7.Применение алгебры логики к релейно-контактным схемам. Упрощение РКС.

Контрольные вопросы к разделу 5 «Булевы функции».

1.Булевы функции их количество.

2.Представление булевой функции в совершенной нормальной дизъюнктивной форме.

3.Представление булевой функции в совершенной нормальной конъюнктивной форме.

4.Представление булевой функции в виде полинома Жегалкина.

5.Замыкание множеств булевых функций. Основные классы булевых функций

Т0 , Т1 ,S, M, L, их замкнутость.

6.Полнота систем булевых функций. Теорема Поста.

92

3. Методические указания по подготовке к практическим занятиям

3.1Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям

Входе подготовки к практическим занятиям необходимо изучать основ-

ную литературу, познакомиться с дополнительной литературой. При этом не-

обходимо учесть рекомендации преподавателя и требования учебной програм-

мы.

В соответствии с этими рекомендациями и подготовкой полезно дорабаты-

вать свои конспекты лекции, делая в нем соответствующие записи из литерату-

ры, рекомендованной преподавателем и предусмотренной учебной программой.

Целесообразно также подготовить тезисы для возможных выступлений по всем учебным вопросам, выносимым на практическое занятие.

При подготовке к занятиям можно также подготовить краткие конспекты по вопросам темы. Очень эффективным приемом является составление схем и презентаций.

Готовясь к докладу или реферативному сообщению, желательно обращать-

ся за методической помощью к преподавателю. Составить план-конспект сво-

его выступления. Продумать примеры с целью обеспечения тесной связи изу-

чаемой теории с реальной жизнью. Своевременное и качественное выполнение самостоятельной работы базируется на соблюдении настоящих рекомендаций и изучении рекомендованной литературы.

3.2 Примеры задач для практических занятий

Задачи для раздела 1.

Задача 1.

Для заданных множеств А = {1, 2, 4}, В = {1, 2, 3, 5,6}, С = {3, 4, 9} нужно

проверить правильность следующих утверждений:

a)А \ В Ì А Ç С

b)А ¸ С Ì В ¸ С

c)А È С Í В \ С

93

d)А Ç В Í А \ С

e)С \ А Í А È В

f)А ¸ В Ì В È С

Решение: значения операций в приведенных утверждениях представим

списками и сравним их:

a)А \ В Ì А Ç С ложно, так как А \ В = {4} и А Ç С = {4}

b)А ¸ С Ì В ¸ С ложно, так как А ¸ С = {1, 2,3,9} и В ¸ С = {1, 2, 4,5,6,9}

c)А È С Í В \ С ложно, так как А È С = {1, 2,3, 4,9} и В \ С = {1, 2,5,6}

d)А Ç В Í А \ С истинно, так как А Ç В = {1, 2} и А \ С = {1, 2}

Задача 2.

Записать формулу, соответствующую заштрихованной части диаграммы Венна

В результате получили формулу ( А È В) \ С.

94

Задача 3.

Упростить выражение

( А È В È С) Ç ( АÇ (В È С )) Ç В

Решение.

( А È В È С) Ç ( АÇ (В È С)) Ç В = = ( АÇ В Ç С ) Ç ( АÇ (В È С )) Ç В = = АÇ В Ç С Ç АÇ В Ç (В È С ) = = АÇ В Ç С Ç (В È С ) = = АÇ В Ç С

Задача 4.

Система классификации получает на вход устройство, данные о котором заносит в таблицу «Оборудование» для дальнейшей обработки информации.

Таблица содержит поля «Устройство», «Назначение» и «Год выпуска» с сим-

вольными именами А, В и С соответственно. Система формирует запросы,

представленные в таблице:

На момент проведения анализа в таблице базы данных было 38 записей.

Поле «Оборудование» содержало только два типа значений: «printer» и «monitor», а поле «Год выпуска» – три типа значений: 2003, 2010, 2012. Запросу

(A=«monitor») или (С=2003), удовлетворяло 23 записи. Найдем количество

удовлетворяет множество записей, равное объединению множеств

Р = А È В È С и Q = A Ç D . Мощность объединения этих множеств равна:

P È Q = P + Q - P Ç Q = A + B + C + A + D - A = A + B + C + D = 23 .

Задача 5.

На множестве M натуральных чисел от 1 до 5 построим бинарное отношение R={(a,b)|mod(a,b)=0}.

Решение. На множестве натуральных чисел M строим такие пары (a, b),

что, а делится на b без остатка (mod(a,b)=0). Получаем R={(1,1), (2,2), (3,3),

(4,4), (5,5), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (4,2)}.

Граф и матрица данного бинарного отношения:

Задача 6.

Пусть некоторая программа читает два числа из множества М={1,2,3,4,5},

обозначаемых х и у, и, если х< у, печатает число z (также из М) такое, что

х≤ z<у. В любом случае программа останавливается после считывания всех чи-

сел на множестве М.

96

Построим описанное отношение R={((x,y),z): х<у, х≤ z<у} (перечислим его

элементы).

R={((1,2),1); ((1,3),1); ((1,3),2); ((1,4),1); ((1,4),2); ((1,4),3); ((1,5),1); ((1,5),2); ((1,5),3); ((1,5),4); ((2,3),2); ((2,4),2); ((2,4),3); ((2,5),2); ((2,5),3); ((2,5),4); ((3,4),3); ((3,5),3); ((3,5),4); ((4,5),4)}. Всего 20 элементов.

Укажем область определения и область значений отношений.

Область определения: D(R)={(1,2), (1,3); (1,4), (1,5); (2,3), (2,4); (2,5),

(3,4); (3,5), (4,5)}. Всего 10 элементов.

Область значений: E(R)={1, 2, 3,4}. Всего 4 элемента.

Задача 7.

Найдем все разбиения множества А = {1,2,3,4}.

Решение.

1)А1 = {}1 , А2 = {2,3,4}

2)А1 = {2}, А2 = {1,3,4}

3)А1 = {3}, А2 = {1,2,4}

4)А1 = {4}, А2 = {1,2,3}

5)А1 = {1,2}, А2 = {3,4}

6)А1 = {1,3}, А2 = {2,4}

7)А1 = {1,4}, А2 = {2,3}

8)А1 = {}1 , А2 = {2}, А3 = {3,4}

9)А1 = {}1 , А2 = {3}, А3 = {2,4}

10)А1 = {}1 , А2 = {4}, А3 = {2,3}

11)А1 = {2}, А2 = {3}, А3 = {1,4}

12)А1 = {3}, А2 = {4}, А3 = {1,2}

13)А1 = {2}, А2 = {4}, А3 = {1,3}

14)А1 = {}1 , А2 = {2}, А3 = {3}, А4 = {4}

97

Задачи для раздела 2.

Задача 1.

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5,

если:

А) ни одна из цифр не повторяется более одного раза,

Б) цифры могут повторяться,

В) числа должны быть нечетными (цифры могут повторяться).

Решение.

А) Первой цифрой числа может быть одна из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5 (0 не мо-

жет быть первой цифрой, потому что в таком случае число не четырехзначное),

если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5 способами, третья

– 4 способами, четвертая – 3 способами. Согласно правилу, общее число спосо-

бов равно 5 × 5 × 4 × 3 = 300 .

Б) Первой цифрой может быть одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (5 возможностей),

для каждой из следующих цифр имеем 6 возможностей (0, 1, 2, 3, 4, 5). Следо-

вательно, число искомых чисел равно 6 × 6 × 6 × 6 =1080 .

В) Первой цифрой может быть одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5, а последней – одна из цифр 1, 3, 5 (числа должны быть нечетными). Следовательно, число ис-

комых чисел равно 5 × 6 × 6 × 3 = 540 .

Задача 2.

Сколькими способами можно упорядочить множество 1,2,3,….,2n так,

чтобы каждое четное число имело четный номер?

Решение. Четные числа можно расставить на местах с четными номерами

(таких мест n) n! способами, каждому способу размещения четных чисел на местах с четными номерами соответствует n! способов размещения нечетных

98

чисел на местах с нечетными номерами. Поэтому общее число перестановок указанного типа по правилу умножения равно n! × n!.

Задача 3.

Сколько можно составить перестановок из n элементов, в которых дан-

ные два элемента не стоят рядом?

Решение. Определим число перестановок, в которых данные два элемен-

та а и в стоят рядом. Могут быть следующие случаи: а стоит на первом месте, а

стоит на втором месте, …, а стоит на n-1 месте, а в стоит правее а, число таких случаев равно n-1. Кроме того, а и в можно было поменять местами, и, следова-

тельно, существует 2(n -1) способов размещения а и в рядом. Каждому из этих способов соответствует (n-2)! перестановок других элементов. Следовательно,

число перестановок, где а и в стоят рядом, равно 2(n-1)(n-2)!=2(n-1)!

Задача 4.

Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами

это можно сделать?

Решение. Искомое число способов равно числу 4-элементных упорядоченных подмножеств (дни сдачи экзаменов) множества из 8 элементов,

т.е. А84 = 8 ×7 ×6 ×5 = 1680 способов. Если известно, что последний экзамен будет сдаваться на восьмой день, то число способов равно 4 ´ А73 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 .

Задача 5.

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в ка-

ждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?

Решение. 12 книг могут быть переплетены в переплеты трех цветов

А312 = 312 способами. Из них в переплеты двух одинаковых цветов

99

3 × А212 = 3 × 212 способами, а в трех случаях в один цвет. По формуле включений

и исключений получаем 312 - 3 × 212 + 3 = 519156 случаев.

Задача 6.

В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Надо создать рабочие группы по трем темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вторую 5

химиков, а третья должна состоять из трех человек, которые могут быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами можно создать такие груп-

пы?

Решение. C84 × C105 × C93 .

Задача 7.

В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Надо создать рабочие группы по трем темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вторую 5

химиков, а третья должна состоять из трех человек, которые могут быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами можно создать такие груп-

пы?

Решение. C84 × C105 × C93 .

Задача 8.

Пусть в разложении бинома Ньютона (а3 + с2 )n коэффициент третьего члена равен 28. Найдем средний член разложения.

Решение. Имеем Cn2 = 28 , т.е. n × (n -1) = 28 и n = 8 . Значит, в разложении

2

бинома Ньютона содержится 9 слагаемых. Средним является пятый член

C84 (а3 )4 (с2 )4 = 70а12с8 .

100