Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8848

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, П.В. Столбов

Приложение дифференциального исчисления

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.02 Землеустройство и кадастры, направленность (профиль) Кадастр недвижимости

Нижний Новгород

2022

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, П.В. Столбов

Приложение дифференциального исчисления

Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород ННГАСУ

2022

УДК 517.9

Бондарь Е.А. Приложение дифференциального исчисления: учебно-методическое пособие /Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, П.В. Столбов; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 57 с. : ил. – Текст : электронный.

Пособие содержит краткий теоретический материал, сопровождающийся многочисленными примерами и задачами разного уровня сложности, а также большое количество заданий для самостоятельной работы, которые могут быть использованы для расчетно-графической работы обучающихся по разделу «Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной».

Предназначено	обучающимся	в ННГАСУ по	направлению подготовки	21.03.02
Землеустройство	и кадастры,	направленность	(профиль) Кадастр недвижимости для

подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика».

Введение

Настоящее учебное пособие предназначено, в первую очередь, для студентов первого курса очной формы, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная информатика».

Учебное пособие посвящено приложениям дифференциального исчисления – одному из разделов математики, который имеет широкое применение в различных областях знаний.

Цель данного учебного пособия состоит в том, чтобы способствовать лучшему усвоению теории, развитию математического и логического мышления у обучающихся, привитию им навыков решения задач, пониманию их физической сущности.

Впервой части пособия рассматривается применение дифференциального исчисления к приближенным вычислениям значений функции в точке, во второй – правило Лопиталя для раскрытия различных типов неопределенностей, в третьей – применение дифференциального исчисления к исследованию функций одного переменного и построению их графиков, в четвертой – нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке.

Вкаждой части кратко приводится теоретический материал, который иллюстрируется разнообразными примерами и задачами разного уровня сложности, а также в каждом из четырех разделов предложены по тридцать вариантов заданий для выполнения расчетно-графической работы обучающимися.

При создании пособия авторы использовали некоторые методические приемы и задачи из литературы, список которой приведен в конце пособия.

Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по адресу электронной почты k_vm@nngasu.ru.

Применение производной к вычислению

приближенного значения функции в точке

Пусть функция y f (x) дифференцируема в точке x x0 , то есть имеет

конечную производную в этой точке

f '(x0 ) lim

х 0

x .

Тогда приращение y в этой точке можно представить в виде

y f '(x0 ) x x , где 0 при x 0 .

Если

f '(x0 ) 0,

то

является бесконечно малой более высокого

порядка,

чем f '(x0 ) х.

Поэтому

первое

слагаемое

f '(x0 ) х

называют

главной частью приращения функции

или дифференциалом функции.

Отбрасывая бесконечно малую x более высокого порядка, чем

f '(x0 ) х. ,

получаем приближенное равенство

y f '(x0 ) x ,

причем

это

равенство

тем

точнее,

чем

меньше

x .

Учитывая, что

y f (x0

x) f (x0 ) ,

получаем формулу

для вычисления

приближенного

значения функции

f (x0 x) f (x0 ) f '(x0 ) x .

(1)

Пример 1. Вычислить приближенное значение выражения 3 8,24 .

Решение.

Требуется вычислить приближенное значение функции

f (x) 3 х

при х 8,24 . Тогда х0

и x х х0 8,24 8 0,24 . Чтобы воспользоваться

формулой (1), вычислим

f (x0 )

и f '(x0 ) :

f (x

) 3 8 2,

f '(x)

f '(x0 )

3 3 х2

3 3 82

Отсюда по формуле (1) получаем

0,24 2,02 .

8,24

Результат вычисления на калькуляторе 3 8,24 2,019803.

Пример 2. Вычислить приближенное значение выражения ln

3,03

2,97

Решение.

Требуется

вычислить

приближенное

значение

функции

f (x) ln

3 x

при х 0,03.

Тогда

х0

x х х0

0,03 0 0,03 .

Чтобы

3 x

воспользоваться формулой (1), вычислим

f (x0 ) и f '(x0 ) :

f (x0 ) ln

ln 1 0,

f '(x)

3 x

1 (3 x) ( 1) (3 x)

f '(x0 )

3 3

3 x

(3 x)2

(3 x)(3 x)

Отсюда по формуле (1) получаем

3,03

0,03 0,02 .

2,97

Результат вычисления на калькуляторе ln

3,03

0,020001 .

2,97

Пример 3. Вычислить приближенное значение выражения

cos 59

Решение.

Найдем

приближенное

значение

функции

f (x)

при

cos x

х 59 60 1

Тогда

х0

x х х0

Чтобы

180

воспользоваться формулой (1), вычислим

f (x0 ) и f '(x0 ) :

f (x0 )	1		1	2 ,
f (x0 )	cos		0,5	2 ,
			0,5
		3

f '(x) cos12 x ( sin x) f '(x0

формуле (1) получаем cos 59

		1					)	1		3
)		1			( sin			1		3	2 3 .	Отсюда по
)			2		( sin			0,52	2		2 3 .	Отсюда по
	cos		2				3	0,52	2
	cos		3
			3


2 2				3			1,94 , где 3,14 ,						3 1,73 .
2 2				3		180	1,94 , где 3,14 ,						3 1,73 .
						180

Результат вычисления на калькуляторе	1	1,941604 .
	cos 59

Пример 4. Шар радиуса 20 см был нагрет, отчего его радиус увеличился на

0,01см. На сколько приближенно увеличится объем шара?

Решение.

Объем

шара вычисляется по

формуле

V (r)

r 3 ,

тогда

изменение

объема

шара

можно

будет

вычислить

помощью

формулы

V (r0 ) V '(r0 ) r .

Здесь

20 см,

r 0,01см.

Тогда

V '(r) 4 r 2

V '(r0 ) 4 20 2 1600 ,

значит,

объем

шара

увеличится на

V (r0 ) 1600 0,01 16 см3 .

Пример 5. Автомобиль, проходящий поворот, занимает на проезжей части большую ширину, чем на прямолинейном участке дороги. Найдите необходимое уширение однополосной дороги на повороте радиуса r

( r - радиус внешнего края дороги) для автомобиля, продольная база

(расстояние между осями) которого равна l .

Решение. На повороте все четыре колеса автомобиля катятся по дугам концентрических окружностей (см. рисунок), причем заднее внутреннее колесо D описывает окружность наименьшего, а переднее наружное B –

наибольшего радиусов. Поэтому ширина дорожной полосы на повороте h OB OD , а искомое уширение


l		2
h h CD OB OC r r 1	.

r

Величина	l	довольно мала при больших	r . Поэтому для вычисления

	r
	r
		6

значения

l 2 x ;

Получили

	l		2
	l			можно воспользоваться формулой (1), где
1									f (x) x,	x0 1,
1									f (x) x,	x0 1,
	r

		l			2		l 2
1						1		.
1						1	2r 2	.
		r					2r 2

формулу h l 2 , которая используется на практике.

Задание № 1

С помощью дифференциала вычислить приближенно значение числового

выражения	( 3,14 ).

вариант							вариант

1.				cos 46			16.			sin 44
1.				sin 44			16.			sin 46
				sin 44						sin 46

								arctg(1 cos 89 )
2.	arctg				0,97		17.	arctg(1 cos 89 )

3.	ln e2				0,2		18.	arctg 0,96 9

			ln tg 46					ln 7
4.			ln tg 46				19.	ln 7					35,9


	3 7 1,022
5.	3 7 1,022						20.		24 e0,03

6.	arctg 1,03 2						21.	ln 1 cos 88

				3,02
				3,02				ln			1
7.		ln					22.
7.		ln					22.				0,98
				2,98							0,98

8.	arctg					4,01	23.				1
8.	arctg						23.			ln 0,99
					3,99					ln 0,99

								ln( e 0,032 )
9.	5 cos89 32						24.	ln( e 0,032 )

10.	1 ln 0,98 2						25.	5						2
10.	1 ln 0,98 2						25.	5				1,02		2

							7

							sin2
11.		e	2 3,98	26.		e	sin2
		e				e

		arctge0,01
12.		arctge0,01		27.		3 tg 44

					arcsin 2,5 3
									8,03
13.		3 cos1		28.					8,03

					arctg 3
14.	arcctg3 1,02			29.	arctg 3			4,02

15.			1	30.			1


		ln( e 0,01)
						4 4 15,97
						4 4 15,97

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида	0	или


	0

который основан на применении производных.
	Теорема (Правило Лопиталя). Пусть в некоторой окрестности точки
х0	(кроме, быть может, самой		точки			х0 ) функции f x и		(х)
дифференцируемы и		'(х) 0 .		Если		lim f (x) lim (x) 0		или
						x x0	x x0
lim f (x) lim (x) ,		т. е. частное		f (x)	в точке х0		представляет	собой

				(x)
x x0	x x0

неопределенности вида	0	или


	0

, то

lim	f (x)	lim	f ' (x)	, если передел в
	(x)		' (x)
x x0		x x0

правой части этого равенства существует.

Замечание	1. Если		частное	f ' (x)	в точке

				' (x)
				' (x)
неопределённость	вида	0	или	и производные
неопределённость	вида		или	и производные

		0

х0 также есть

f ' (х) и '(х)

удовлетворяют соответствующим условиям теоремы, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.

Замечание 2. Правило Лопиталя справедливо и в том случае, когда

х .

Замечание 3. В случае неопределенности вида 0 или

следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести

ее к неопределенности вида	0	или	и далее воспользоваться правилом


	0
Лопиталя. Если же имеем неопределенности вида 00 или 0 или				1 , то

следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Пример 1. Найти предел lim

ех

х 1

sin 2 3x

x 0

Решение.

Так

как

lim (ех х 1) 0

и lim sin 2

3x 0 и

функции

x 0

f x ех х 1 и

(х) sin 2 3x

дифференцируемы,

то можно применить

правило Лопиталя

ех х 1

(ex x 1)'

ex 1

lim

sin

(sin

3x)'

2sin 3x cos 3x 3

3sin 6x

x 0

lim

(ex

1)'

lim

18 cos 6x

x 0 (3sin 6x)'

x 0

ln( х )

Пример 2. Найти предел lim

tgx

Решение. Так как limln( x

)

lim tgx , имеем неопределенность

вида

Функции

f x ln( x )

(х) tgx

дифференцируемы в

окрестности точки

х0

(кроме самой этой точки), следовательно, можно

применить правило Лопиталя

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20231.96 Mб08843.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08844.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08845.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08846.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08847.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08848.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08849.pdf
#
21.11.2023159.4 Кб0885.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08850.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08851.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08852.pdf