8848

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(cos 2 x)'

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

	ln( х		)		(ln( x ))'
lim			2	lim	2	lim
lim		tgx		lim	(tgx)'	lim
x		tgx		x	(tgx)'	x
2				2		2
lim		2 cos x sin x 0 .
x			1
2

Пример 3. Найти предел lim (tgx ln x) .

x 0

Решение. Так как lim tgx 0	и lim ln x , следовательно, имеем
x 0	x 0

неопределенность вида 0 . Преобразуем выражение, стоящее под знаком

предела:

lim (tgx ln x) lim

ln x

lim

ln x

lim

(ln x)'

lim

2 sin 2 x

1tgx

ctgx

(ctgx)'

x 0

lim	( 2sin 2 x)'	0	lim	2sin x cos x	0 .
	x'			1
x 0		0	x 0

Пример 4. Найти предел lim (ctgx)sin x .

x 0

Решение. В данном случае имеем неопределенность вида 0 .

Прологарифмируем заданную функцию: y (ctgx)sin x ln y ln( ctgx)sinx sin x ln ctgx

Далее рассмотрим предел

lim ln y lim (sin x ln ctgx) 0 lim

ln ctgx

x 0

sin x

lim

ctgx

sin 2 x lim

lim

sin x

ctgx cos x

x 0

cos x

x 0

x 0 cos2 x

sin 2 x

Итак,

lim ln y 0 , то есть

0 , тогда lim y

lim

ln lim y

x 0

lim (ln1 ctgx)' x 0 ( sin x)'

(ctgx)sinx 1.

Применение правила Лопиталя при вычислении предела часто приводит к громоздким выражениям. В этом случае целесообразно представить предел в виде произведения нескольких пределов.

tgx

Пример 5. Найти предел lim

cos x

x 0

Решение. В данном случае имеем неопределенность вида

tgx

sin x

cos x

sin x x

cos x

lim

2 x2

cos x e

2 x2

x 0

x 0 e

x 0

lim

sin x x

1 lim

sin x x

cos x e x2

e2 x2

2 x2

x 0

lim

(sin x x)'

lim

cos x 1

lim

cos x 1

2 x2

1)'

2 x2

x 0

lim

cos x 1

lim

(cos x 1)'

lim

sin x

0 .

x 0

Задание №2

Вычислить предел, используя правило Лопиталя.

Вариант

				1		ln cos2x
			2
1			2	x	б) lim
	а)	lim		arccosx	x 0	ln cos5x
	а)	lim		arccosx	x 0	ln cos5x
		x 0	π

2	а)	lim	(1 x) tg x		б) lim	ctg(x 1)
		x 1		2	x 1	ln(1 - x)

1 x + lnx

а)

lim

x 3 ln( x2 5x 6)

б)

lim

x 3 0

x 1 1 2x x2

а) lim

б)

lim

ex e x 2x

x 1

ln x

x 0

x sinx

а) lim

б)

lim

sinx xcosx

sin 3 x

x 0

sin x

x 0

а) lim

б)

lim

x arctgx

2x 3

x 1

ln x

x 0

а)

lim

1 x ln(1 x)

б)

lim

etgx 1

x 1-0

tgx x

x 0

sin 2x

arctgx

а)

lim

б)

lim

x 1

ex esinx

а) lim

ctgx

б) lim

x 0

а)

lim

2x cos x

б) lim

1 cosx2

x2sinx2

x 2

x 0

lnx ln x 1

а)

lim

б)

lim

1+ xsinx 1

x 1

x 0

а) lim tgx tg2x

б)

lim

ln 2 x

πx

x 2 0

ctg

x 4

а)

lim

x ln 2 + x ln x +1

б)

lim

1 - sinx

x 2

а)

lim

б)

lim

1 cos7x

arctgx

xsin7x

x +

x 0

б)

ex e x

а)

lim

sin

+ cos

lim

ln e x + x 1

x 0

1 cos2x+tg2 x

а)

lim x 4 ln x

б) lim

x sinx

x 0

1 cosx

а)

lim

1 ex x

б)

lim

x 1+ x 1

x +

x 0

cosx

а)

lim

б)

lim

x 0

1 cos

x 0

cos2x

cosx

а)

lim

π 2x

ln tg

+ x

б) lim

x 2

sin2x

x 0

а)

lim

1+ xsinx 1

ctgx

б) lim

x 0

tg x

б)

lim

sin3x 3xe x + 3x 2

а) lim

x 0

arctgx sin x

x 2

а)

lim

xπ 2arctgx

б)

lim

1+ 5x e5x

x +

sin 2 4x

x 0

x sin x

а) lim

cos5x2 x3

б)

lim

tgx sin x

x 0

ln ex2 + 3

3x 2 + 2

а)

lim

lnx

б)

lim

1 2x

x +

а) lim

1+ x lnx

б) lim

x ex +1 2 ex 1

x 0

x ctgx 1

tgx

а)

lim

б)

lim

x 0

1+ 3tg 2 x ctg2x

а) lim

б)

lim

е х2

x 0

2arctgx

ln e

а) lim

1+ 2x

б)

lim

ln 3 x

x 3

cos3x

а)

lim

+ x x

б)

lim

x +

x 0

lnsin

πx

а) lim

xln e

б)

lim

x 0

x 1

sin

x 1

Применение производной к исследованию функций и

построению их графиков

Производная – мощный инструмент для исследования числовых функций. С помощью производных первого и второго порядка изучаются общие свойства функций. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить ясное представление о характере функции и построить ее график.

1) Точки экстремума и участки монотонности функции

Функция y f x	называется	возрастающей (убывающей) на
интервале a;b , если для любых точек			x1 , x2 a;b таких, что	x1 x2 ,
имеет место неравенство:	f x1 f x2		f x1 f x2 .

Теорема.		Если функция y f x дифференцируема				на	интервале
a;b и	для	любого x a;b : f		f		то	функция
			x 0		x 0 ,
y f x возрастает (убывает) на интервале a;b .
Точка	x0	называется точкой	максимума		(минимума)		функции

yf x , если:

1)функция y f x определена в некоторой - окрестности точки x0 ;

2)для любого х x0 из - окрестности точки x0 справедливо

неравенство: f x f x0 f x f x0 (см. рис. 1 и 2).

f x0 f x

x x	x	0	0	x	0	x
0		0			0	x
	т. max

Рис. 1

Рис.2

Точки максимума и минимума функции называются точками

экстремума функции.

Теорема.

(Необходимое условие экстремума). Если

– точка

экстремума функции

y f x ,

то в

этой

точке либо

f x0 0 , либо

производная не существует.

Точки,

которых

производная

равна

нулю

либо не

существует,

называются критическими.

Теорема. (Достаточные условия экстремума). Если непрерывная

функция

y f x

дифференцируема слева и справа от критической точки

x0 , и при этом ее первая производная меняет знак

с минуса

на плюс

(с плюса на минус) при переходе через точку x0 , то

– точка минимума

(максимума) функции y f x .

Теорема.

(Достаточные условия экстремума).

Если

точке x0

первая производная функции y f x равна нулю ( f

' x0 0 ),

а вторая

производная в точке x0

существует и отлична от нуля (

f ' ' x0

0 ), то при

f '' x0 0

в точке

функция имеет максимум, а при

f ' ' x0

функция

имеет минимум.

Пример

Найти интервалы

монотонности

точки

экстремума

функции y

Решение.

Областью определения

D данной функции y

является вся

числовая ось R , кроме точки x 1, то есть D R \ 1 .

Находим первую производную:

1 x

x 1

x 1 2

	2x x 1	x2 1		2x2 2x x2			x2 2x
								.
		2			2		2
	x 1			x 1			x 1
	Используя необходимые условия экстремума, находим критические
точки:
y 0 x2		2x 0		или x x 2 0, откуда x1					0 или x2 2.
y не существует x 1 2					0 , откуда x3 1.
	Используем достаточные условия экстремума. Наносим три
критические		точки	x1 0 ;		x2 2;		x3 1 на		область определения D
функции y .		Они разбивают область				D на четыре интервала. Определяем

знак функции y в каждом интервале.

y	+	–	–	+

y	0	1	2	x

Так как x1 0 D и при переходе через эту точку y меняет знак плюс

на минус, то x1	0 – точка максимума функции y .
Так как	x2 2 D и при переходе через эту точку		y меняет знак
минус на плюс, то x2 2 – точка минимума функции y .
		0 , то в интервалах
Так как при любом x ;0 или x 2; y
;0 и 2; функция y монотонно возрастает.
			то в интервалах
Так как при любом x 0;1 или x 1; 2 y 0 ,

0;1 и 1; 2 функция y монотонно убывает.

Пример 2. Найти интервалы монотонности и точки экстремума

функции y (х 1) 3

х2 .

Решение. Областью определения D данной функции y является вся

числовая ось R .

Находим первую производную

3х 2х 2

5х 2

(х 1)

х 1

х (х 1) 3 3

3 3

3 3 х

Находим критические точки:

y 0 5x 2 0 , откуда x1 0,4 .

y не существует 3

0 .

х 0 , откуда x2

Наносим критические точки

x1 0,4 ;

x2 0 на область определения

D функции

y . Они разбивают область

D на три интервала. Определяем

знак функции y в каждом интервале.

+	–	+
	0	0,4

Так как x1 0 D и при переходе через эту точку y меняет знак плюс

на минус, то x1	0 – точка максимума функции y .
Так как	x2 0,4 D и при переходе через эту точку					y меняет знак
минус на плюс, то x2 0,4 – точка минимума функции y .
		x ;0		или x 0,4; имеет место			y 0
Так как при любом				или x 0,4; имеет место				, то
в интервалах ;0 и 0,4; функция y монотонно возрастает.
Так как при любом			x 0;0,4 выполняется		y 0 ,	то в интервале
0;0,4 функция y монотонно убывает.
				18

f x 0, то в

f x 0

2) Точки перегиба и участки выпуклости графика функции

График дифференцируемой на a;b функции y f x называется

выпуклым вверх в интервале a;b , если он расположен ниже касательной,

проведенной в любой точке x этого интервала (см. рис. 3). y

a	x 0	b	x
			Рис. 3
График дифференцируемой на		a;b	функции y f x называется

выпуклым вниз в интервале a;b , если он расположен выше касательной,

проведенной в любой точке x этого интервала (cм. рис. 4). y

a 0

Рис. 4

Теорема. (Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции) Если в интервале a;b , то график функции y f x

является выпуклым вверх в этом интервале; если же интервале a;b график функции y f x – выпуклый вниз.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20231.96 Mб08843.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08844.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08845.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08846.pdf
#
25.11.20231.96 Mб08847.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08848.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08849.pdf
#
21.11.2023159.4 Кб0885.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08850.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08851.pdf
#
25.11.20231.97 Mб08852.pdf