8508

Оглавление

1.1.3. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.Кластеризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.Построение математической модели . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.Синтез непрерывной системы управления . . . . . . . . . . 27

2.3.Дискретные системы управления . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.1.Дискретизация и восстановление сигналов . . . . . . 47

2.3.2.Синтез регулятора при полной информации о состо-

янии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.2.Числовые характеристики случайных величин . . . . 64

3.1.3.Нормальная случайная величина . . . . . . . . . . . . 67

3.2.Основные задачи и методы математической статистики . . 69

3.2.1. Статистические оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3.1.Построение алгоритма критерия . . . . . . . . . . . . 81

3.3.2.Критерий согласия Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . 85

4

1. Прикладная линейная алгебра

1.1. Элементы линейной алгебры 1.1.1. Векторы

Вектор размерности – это упорядоченный набор чисел

1

= 2 ,

который записывается в виде столбца. Иногда в тексте будет удобней записывать вектор в виде строки (1, … , ). Элементы вектора , = 1, … , называются его компонентами. Множество всех векторов размерности с действительными компонентами обозначается как R , т.е.

R . Векторы применяются в разнообразных приложениях.

1.Вектор указывает местоположение на плоскости или в трехмерном пространстве: его компоненты являются координатами точки в соответствующем пространстве в выбранной системе координат и в этом случае он называется радиусом-вектором данной точки. Вектор также используется для представления смещения, скорости или силы на плоскости или в пространстве и в таких случаях он изображается в виде направленного отрезка.

2.Вектор может представлять цвет: его компоненты являются интенсивностями каких-то выбранных цветов, например, красного, зеленого и синего, измеряемыми числами в диапозоне [0, 1].

3.Вектор может представлять количества каких-то ресурсов или продуктов, производимых компанией.

4.Вектор может представлять портфель акций или инвестиций в различные фонды.

5.Вектор может указывать значения некоторой характеристики для некоторого набора индивидуумов или компаний: например, величины кровяного давления у пациентов.

5

6.Вектор может указывать признаков какого-то объекта: например, различные показатели здоровья пациента.

7.Вектор может представлять значения некоторой величины в различные моменты времени, т.е. временные ряды или сигналы: например, количество осадков, выпадавших в некоторой местности ежедневно в течение года, или значения акустического давления через определенные промежутки времени, т.е. аудио-сигнал.

8.Компоненты вектора могут указывать интенсивность серого цвета, измеряемую от 0 (черный цвет) до 1 (белый цвет), в соответствующем квадратике (пикселе), на которые разбита черно-белая фотография.

9.Компоненты вектора могут указывать сколько раз данное слово из выбранного упорядоченного набора слов (словаря) встречается в определенном тексте или соответствующие частоты, с которыми эти слова встречаются в тексте.

10.Вектор может быть использован для обозначения того, что какое-

то событие из определенного набора произошло или нет: = 0 означает, что -ое событие не произошло, а = 1 – произошло. Также вектор может кодировать информацию о подмножестве дан-

ного множества объектов: если = 0, то -ый элемент не содержится в этом подмножестве, а если = 1, то содержится.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие компоненты равны, т.е. = , если = , = 1, … , . Нулевой вектор размерности состоит из нулевых компонент. Единичные векторы размерности содержат все нулевые компоненты, за исключением одной, равной единице, т.е.

6

Два вектора одной размерности можно складывать и вычитать, получая в результате вектор с компонентами, равными сумме или разности компонент исходных векторов. Векторное сложение коммутативно:

+ = + , ассоциативно: ( + ) + = + ( + ) = + + , кроме того + 0 = 0. Эти свойства вытекают из соответствующих свойств для чисел.

Когда векторы и представляют смещения, то их сумма + представляет суммарное смещение. Если – радиус-вектор некоторой точки, а вектор – смещение, то сумма + – радиус-вектор новой точки после смещения. Если и – радиус-векторы двух точек в пространстве, то их разность − – вектор смещения, соединяющий эти точки и направленный от к . Если векторы и представляют частоты слов из одного словаря в двух разных текстах, то сумма + показывает частоты слов в новом документе, составленным в любом порядке из этих текстов, а разность − – во сколько раз больше каждое слово встречается в одном тексте, чем в другом. Если вектор представляет запись голоса, а вектор – соответствующую запись аккомпанемента, то сумма + – аудио-сигнал, содержащий запись одновременно голоса и музыки. Если компоненты -мерных векторов , = 1, … , указывают количества ресурсов или материалов, требуемых для выполнения каждой из задач или производства каждого из предметов, то сумма1 + … + указывает на суммарные количества ресурсов, требуемых для выполнения всех задач.

Умножение вектора на число приводит к вектору, каждая компонента которого равна произведению этого числа на соответствующую компоненту исходного вектора. Вектор − = (−1) называется противоположным к . Для любых скаляров и имеем = , ( + ) =+ и ( + ) = + .

Если вектор соответствует смещению, то вектор представляет смещение величиной |||| того же направления, если > 0, и противоположного направления, если < 0. Если вектор R содержит перечень материалов, требуемых для производства одной единицы некоторого товара, то вектор представляет перечень материалов, необходимых для производства единиц этого товара. Если вектор представляет аудио-сигнал, то вектор представляет собой такой же аудио-сигнал, усиленный или ослабленный в | | раз.

7

Если 1, … , – -векторы, а 1, … , – скаляры, то вектор

= 1 1 + +

называется линейной комбинацией векторов 1, … , , а 1, … , называются коэффициентами этой линейной комбинации. Любой -мер- ный вектор можно представить в виде линейной комбинации единичных векторов соответствующей размерности, например:

Когда два вектора представлены направленными отрезками, то их линейная комбинация представляет собой направленный отрезок, равный сумме скаляризованных с соответствующими весами этих отрезков. Когда векторы представляют одновременно записанные аудио-сиг- налы, называемыми трэками, то их линейная комбинация представляет аудио-сигнал, полученный совмещением усиленных или ослабленных исходных сигналов. Когда и – два различных вектора, то их так называемая аффинная комбинация = (1− ) + является радиусомвектором точки, лежащей на прямой, соединяющей точки с радиус-век- торами и (если 0 ≤ ≤ 1, то эта точка принадлежит сегменту между двумя исходными точками).

Скалярным произведением двух -мерных векторов называется чис-

ло

T = 1 1 + + ,

равное сумме произведений их компонент. Знак транспонирования T обозначает, что вектор-столбец заменяется на вектор-строку и они перемножаются по правилам умножения матриц (которые будут изложены далее в соответствующем месте). Скалярное произведение коммутативно T = T , ассоциативно ( )T = (T) и дистрибутивно ( + )T = T + T . Скалярное произведение вектора на себя дает сумму квадратов его компонент T = 12 + + 2.

Если векторы и описывают принадлежность объектов двум множествам и (соответствующая компонента равна 1, если принадлежит, и нулю, если не принадлежит), то скалярное произведение T равно числу объектов, принадлежащих обоим множествам, т.е. их пере-

8

сечению. Если -мерный вектор представляет гистограмму, характеризующую частоты, с которыми слова из словаря, содержащего слов, встречаются в тексте, а компоненты -мерного вектора характеризуют чувства, которые вызывает -ое слово (если позитивные, то = 1, если негативные, то = −1, и если нейтральные, то = 0), то скалярное произведение T характеризует с эмоциональной точки зрения этот текст в целом. Когда вектор описывает числовые характеристики объекта, то скалярное произведение некоторого, называемого весовым, вектора такой же размерности на вектор , т.е. T , определяет некоторую единую числовую характеристику объекта. Если вектор

= ( 1, … , ) представляет коэффициенты полинома ( ) степени не

более, чем − 1, т.е. ( ) = 1 + 2 + + −1, то ( ) = T , где

= (1, , … , −1) – вектор степеней .

Евклидовой нормой -мерного вектора называется число, равное квадратному корню из суммы квадратов его компонент, т.е.

‖ ‖ = 2 + + 2.

1

Евклидова норма может быть выражена как квадратный корень из ска-

лярного произведения вектора на себя, т.е. ‖ ‖ = √ T . Когда вектор представим направленным отрезком, то его длина совпадает с евклидовой нормой. Евклидова норма обладает следующими свойствами:

•неотрицательность ‖ ‖ ≥ 0 и ‖ ‖ = 0, если только = 0;

•‖ ‖ = | |‖ ‖, где – скаляр, а – вектор;

•неравенство треугольника ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖.

Среднеквадратичным значением -мерного вектора называется величина

2 + + 2( ) = 1 .

Эта величина полезна, когда сравниваются векторы разной размерности: например, когда все компоненты вектора одинаковые, равные , то его евклидова норма равна | |, а среднеквадратичное значение равно | | независимо от размерности.

9

Приведем вывод известного неравенства Чебышева. Пусть какие-токомпонент -мерного вектора удовлетворяют неравенствам | | ≥

, где > 0. Отсюда получим, что ‖ ‖2 = 2 + + 2 ≥ 2, и следо-

1

вательно, ≤ ‖ ‖2/ 2. Это и есть неравенство Чебышева: оно ограничивает число компонент вектора, которое может быть большим. Когда

‖ ‖2/ 2 ≥ , т.е. достаточно маленькое, неравенство Чебышева ничего не означает, так как ≤ . Когда > | |, то ≤ ‖ ‖2/ 2 < 1, т.е.

= 0 и не может быть ни одной компоненты вектора, превышающей его норму. Неравенство Чебышева легче интерпретировать в терминах среднеквадратичного значения:

где – число компонент вектора , абсолютное значение которых не меньше, чем . Левая часть этого неравенства совпадает с долей компонент вектора, по абсолютной величине не меньших . Это неравенство говорит, что не очень много компонент вектора могут сильно превышать его среднеквадратичное значение. Например, в 5 раз превышать среднеквадратичное значение вектора могут не более 4% его компонент.

Под расстоянием между двумя векторами и будем понимать евклидову норму их разности, т.е. ‖ − ‖. Когда эта величина мала, будем говорить, что эти векторы близки друг другу, а когда велика – далеки. Если рассмотреть треугольник, координаты вершин которого определяются векторами , и , то длины его сторон равны ‖ − ‖, ‖ − ‖ и ‖ − ‖. Из неравенства треугольника в определении евклидовой нормы следует

‖ − ‖ = ‖( − ) + ( − )‖ ≤ ‖ − ‖ + ‖ − ‖,

т.е. длина стороны треугольника не превышает сумму длин двух других сторон.

Если векторы и представляют признаки каких-то объектов, то расстояние между ними ‖ − ‖ определяет меру отличия этих объектов. Например, два пациента в госпитале условно “близки”, если векторы с их соответствующими медицинскими показателями и анализами относительно близки. Сделаем важное замечание: когда компонен-

10