8441

130

4.1.Закон электромагнитной индукции Фарадея

В 1831 году М. Фарадей на эксперименте установил, что при всяком

изменении магнитного потока, пронизывающего площадь замкнутого контура, в этом контуре возникает индукционный электрический ток. Величина ЭДС индукции, вызывающей индукционный ток пропорциональна скорости изменения магнитного потока и в системе СИ может быть записана в виде:

εi = − dФ. dt

Индукционный ток возникает при относительном движении замкнутого контура и постоянного магнита, а так же без всякого движения при исчезновении магнитного поля электромагнита, в поле которого находится замкнутый контур с током.

Направление индукционного тока (или знак ЭДС индукции) определяется правилом Ленца, которое гласит: индукционный ток имеет такое

направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, которое вызывает индукционный ток.

Например, если подносить к замкнутому контуру постоянный магнит, через витки контура будет увеличиваться магнитный поток поля внешнего магнита. Тогда, согласно правилу Ленца, возникающий индукционный ток должен сам создавать магнитное направления, противоположного направлению магнитного поля постоянного магнита. Именно в этом случае суммарное магнитное поле через контур будет уменьшено и магнитный поток ближе к исходному нулевому значению. В этом случае контур с током эквивалентен магниту, с полярностью, противоположной магниту, который подносят. В этом случае между магнитом и витком действует сила отталкивания. Следовательно, чтобы подносить магнит к витку, необходимо совершать работу против сил отталкивания. Эта работа выделяется в виде Джоулева тепла при протекании тока в витке.

V ВИНД

При обратном процесс, когда магнит начинают отдалять от витка, согласно закону Ленца, возникнет индукционный ток, «старающийся» сохранить

131

прежнюю величину поля. В этом случае виток имеет такое же магнитное поле, как отдаляющийся магнит и между ними возникает сила притяжения, для преодоления которой также необходимо совершать работу. Таким образом, правило Ленца соответствует закону сохранения энергии.

Следует отметить, что любые равновесные физические системы стремятся сохранить положение устойчивого равновесия, а значит противодействуют внешним изменениям, которые стремятся вывести их из этого положения.

4.2.Вывод выражения ЭДС индукции для движущихся проводников

Снова вернемся к схеме с движущимся без трения проводником, рассмотренную в § 22. Будем считать, что полное сопротивление цепи равно R, а ЭДС источника ε . Подсчитаем баланс энергии за время Dt перемещения проводника на расстояние Dr .

За это время источник совершает работу, равную ε × I × Dt , в результате этого в сопротивлении выделяется тепло I 2 × R × Dt и совершается работа по

перемещению проводника с током в магнитном поле, равная I × DФ :

ε × I × Dt = I 2 × R × Dt + I × DФ .

Выражая из этого соотношения электрический ток, получим:

Это соотношение имеет вид закона Ома для неразветвленной замкнутой цепи, но к ЭДС источника имеется добавка (ЭДС индукции), соответствующая закону Фарадея. Это означает, что в случае движущихся проводников закон Фарадея можно было получить аналитически, без всяких экспериментов. Отметим также, что согласно полученной формуле, ток в цепи будет отличным от нуля и без постоянного источника, однако в этом случае двигать проводник придется «руками».

В заключение параграфа рассмотрим вопрос о природе сторонней силы. Какая сила вызывает направленное движение электронов в проводнике?

При движении проводника у всех электронов появляется направленная скорость, равная скорости проводника (на рисунке – вправо). При движении электронов перпендикулярно магнитному полю вправо, на каждый электрон

132

будет действовать сила Лоренца, направленная вниз. Эта и сила вызовет направленное движение зарядов (или разность потенциалов на концах проводника, если цепь не замкнута). Направление соответствующего индукционного тока соответствует рисунку .

4.3.Вихревое электрическое поле

В предыдущем параграфе мы убедились, что явление возникновения индукционных токов в движущихся проводниках не вызывает вопросов. Здесь все согласуется с известными законами физики. Тем не менее остается неясным причина возникновения индукционного тока в случае неподвижных зарядов.

Вот пример эксперимента. Если взять проводник в виде круглого кольца и «включать» магнитное поле указанного на рисунке направления, то возникнет индукционный ток против часовой стрелки.

Е

Е

dB > 0 dt

ЕВ

Е

Здесь сила Лоренца, связанная с движением электронов вместе с проводником, равна нулю и, значит, не видно сторонней силы, вызывающей направленное движение электронов вдоль кольца.

Для того, чтобы объяснить возникновение тока в такой ситуации, приходиться предположить, что возникает электрическое поле, направленное по касательной к кольцу в каждой точке. Это поле изображено на рисунке. Поскольку кольцо симметрично, величина напряженности этого поля должна быть одинаковой в каждой точке кольца. ЭДС индукции, возникающей в кольце, можно выразить через напряженность E, поскольку любая ЭДС равна работе по перемещению единичного заряда. Для кольца радиуса R это дает:

Мы получили, что циркуляция поля Е по замкнутому контуру не равна нулю, то есть поле, которое по предположению, возникает должно быть вихревым, а не потенциальным как обычное поле электрических зарядов, циркуляция которого всегда равна нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу о необходимости возникновения особого вихревого электрического поля, не связанного с наличием электрических зарядов. Это поле должно возникать при изменении магнитного потока через площадь кольца, и его циркуляция должна давать ту же ЭДС индукции, что закон Фарадея. Следовательно должно выполнятся равенство:

С другой стороны законы природы, конечно не должны зависеть от формы контура, который мы поместили в магнитное поле. Более того, если быть последовательным, приходится признать, что возникновение вихревого электрического поля не должно также зависеть от наличия или отсутствия в этом месте проводника.

Окончательный вывод можно сформулировать следующим образом: при

всяком изменении магнитного поля со временем, в окружающем пространстве возникает индукционное вихревое электрическое поле. Если в пространстве присутствует замкнутый проводящий контур, индукционное электрическое поле вызывает в нем индукционный ток.

Пользуясь понятием вихревого электрического поля, закон Фарадея можно сформулировать следующим образом: циркуляция индукционного

электрического поля по произвольному замкнутому контуру равна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную данным контуром. Сказанное можно выразить в виде равенства

им поверхность. Это уравнение системы Максвелла, которая позволяет рассчитать электрические и магнитные поля в любых ситуациях. Написанное интегральное соотношение полностью определяет величину и направление вихревого электрического поля. Оно аналогично закону о циркуляции магнитного поля, о котором шла речь ранее:

R

∫ В × dL =∫ j × dS .

L S

Из аналогии уравнений ясно, что силовые линии вихревого электрического поля имеют такое же относительное расположение относительно вызывающего его магнитного поля, какое имеют линии вектора В, относительно вектора плотности тока.

134

Например, нам известно, что силовые линии магнитного поля, порождаемого прямолинейным проводником с током, представляют собой окружности, концентрические с осью проводника. Значит силовые линии вихревого электрического поля соленоида (магнитное поле которого имеет прямые силовые линии) имеют вид окружностей, концентрических с осью соленоида. Указанная аналогия иллюстрируется сопоставлением рисунков.

Второй рисунок соответствует случаю возрастания магнитного поля в соленоиде.

Следует отметить, что вихревое электрическое поле порождается только переменным во

времени магнитным полем, а магнитное поле вызывается как переменным так и постоянным во времени током. В этом состоит отличие вихревого электрического и магнитного полей.

Вихревые электрические поля вызывают в проводящей среде протекание индукционных токов во всем объеме вещества. Нагрев металла вихревыми токами используется в металлургическом производстве в индукционных плавильных печах. В других случаях принимаются меры, чтобы ослабить нагрев материала, вызванный наличием индукционных токов. По этой причине сердечники трансформатора набирают из отдельных пластин.

4.4.Явление самоиндукции

Согласно закону Фарадея, любое изменение магнитного потока через сечение замкнутого контура приводит к возникновению ЭДС индукции в этом контуре. С другой стороны, ток, протекающий по контуру порождает магнитное поле и обуславливает наличие магнитного потока через сечение этого же контура. В этом случае магнитный поток будет изменяться при изменении тока в контуре. Возникающее индукционное электрическое поле, препятствуя, по закону Ленца, изменению тока в контуре. Если сила тока увеличивается, индукционное электрическое поле будет замедлять его нарастание; при уменьшении силы тока оно будет поддерживать ток. Можно сказать, что при изменении силы тока в контуре в нем возникает ЭДС индукции, препятствующая этому изменению. Это явление получило название самоиндукцией.

Магнитный поток, сцепленный с контуром, зависит не только от силы тока в нем, но и от размеров и формы контура, а также от магнитных свойств окружающей среды. Однако во всех случаях он пропорционален силе тока, протекающего в контуре, т.е.

Ф=LI,

где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура, и зависящий только от геометрических свойств контура и магнитных свойств окружающей среды. Подставляя магнитный поток в формулу для ЭДС индукции, получим:

135

εi = - d (LI ) = -L × dI . dt dt

Последнее соотношение справедливо, если индуктивность контура не меняется. Из приведенной формулы следует, что

соответствующим единицам. В системе СИ за единицу индуктивности принимают индуктивность такого контура, в котором при скорости изменения тока в 1 А за 1 с возникает ЭДС самоиндукции в 1 В. Эту единицу именуют Генри (Гн):

1 Гн=1 В× с .

А

Вычислим индуктивность длинного соленоида. Магнитный поток через сечение контура равен Ф0 = В × S , где S – площадь сечения витка, В – индукция магнитного поля соленоида. Подставляя известное соотношение, получим Ф0 = μμ0 nI × S . Число витков соленоида N можно выразить через плотность намотки n, и длину обмотки l: N=nl. Тогда магнитный поток через все витки

соленоида будет равен:

Ф = NФ0 = μμ0 n2 I × S × l = μμ0 n2 I ×V , V = S × l - объем соленоида. Теперь нетрудно выразить индуктивность соленоида:

L = Ф = μμ0 n2 ×V . I

4.5.Энергия магнитного поля

Пусть в контуре с индуктивностью L и течет ток силойI0 . При отключении источника постоянного тока, ток в цепи исчезает не мгновенно и лампочка, включенная параллельно индуктивности продолжает некоторое время гореть. Откуда берется энергия, выделяющаяся в лампочке после отключения источника? Очевидно, что это энергия WМ магнитного поля, связанного с контуром. Для ее вычисления достаточно вычислить работу, совершенную током после отключения источника.

За время dt током совершается следующая работа:

dA = ε × I × dt = -I × L dI × dt = -L × I × dI . dt

Здесь мы использовали выражение для ЭДС самоиндукции. Заметим также, что работа положительна, поскольку изменение тока - отрицательно. Полная работа при убывании тока от I0 до 0 может быть вычислена интегрированием:

магнитного поля и поэтому:

Для энергии магнитного поля соленоида, подставляя выражение для

Видим, что энергия магнитного поля соленоида пропорциональна объему соленоида, в котором и сосредоточено это поле. Плотность энергии магнитного поля wМ , т.е. энергия, приходящаяся на единицу объема, равна:

Полученная формула справедлива не только для соленоида, но может использоваться во всех случаях.

137

Часть 4. Колебания и волны

1. Колебания

1.1.Классификация колебаний

Колебательным процессом, или колебанием называют любой

где t - время, T - период колебания, n = 1, 2, ... , x - отклонение некоторой величины от своего равновесного значения. Выражение (1) означает, что значение величины x повторяется через промежутки времени T, 2T, и.т.д. Иногда равенство (1) приближенное, например, если колебания затухают. Колебательные процессы окружают нас повсюду, и такой вид движения относится к самым распространенным в природе и технике. Колебания существуют не только в физических системах; это может быть биологический объект, экономический или социальный процесс и.т.п. Мы будем рассматривать физические системы, хотя используемое математические описание, известное как теория колебаний, является весьма общим .

Колебания возникают в любой системе, имеющей устойчивое состояние равновесия при отклонении от этого состояния. В механических колебательных системах при отклонении от равновесия возникает сила, которая стремится вернуть систему назад; её называют возвращающей или квазиупругой силой. Например, в случае самой простой модели - груз на пружине - это сила упругости. Слово «сила» в общем случае не следует понимать буквально: в механике это может быть и момент силы, для электромагнитных колебаний эта «сила» обусловлена явлением самоиндукции.

Колебания различаются по нескольким классификационным признакам. Во-первых по форме (т.е по виду функции x(t) ). Здесь колебания делятся на две группы: гармонические и негармонические ( все остальные).

Гармоническими называют колебания, описываемые функцией времени вида

частота , φ - начальная фаза колебаний. Заметим, что вместо функции синус в формуле (2) можно писать и косинус (они отличаются по фазе на π / 2 ).

138

Рис.1.

. Осциллограммы гармонических колебаний. Начальная фаза 1-го колебания равна нулю, второго - π / 2 .

Гармонические колебания выделяются из всех других по следующим

(негармонические), в сущности, представляют собой суперпозицию гармонических (в математике это положение называется теоремой Фурье, а соответствующее представление периодических функций - рядом Фурье).

По характеру возникновения колебания делятся на собственные (или свободные) и вынужденные. Собственные - это колебания, вызванные только начальными условиями (например, начальным смещением или начальной скоростью). Вынужденные - это колебания вызванные действием периодической (т.е. также колебательной) внешней «силы».

По динамике процесса колебания делятся на незатухающие, затухающие (при этом амплитуда уменьшается со временем), нарастающие (амплитуда растет). Например, собственные колебания всегда являются затухающими. Существуют также автоколебания - колебания, вызванные действием непериодической «силы» и параметрические колебания - колебания, вызванные периодическим изменением какого-либо параметра системы, связанного с её энергией (например, раскачивание качелей без внешнего воздействия).

1.2.Кинематика гармонических колебаний

Рассмотрим гармоническое колебание, описываемое уравнением (2). Напомним, что x(t ) - смещение некоторой величины от равновесного состояния. Колебание определяется заданием амплитуды, частоты и начальной фазы.

139

Если смещение определяется формулой (2), то мгновенная скорость v есть производная по времени от x , а ускорение a - вторая производная

Заметим, что последнюю формулу можно записать в виде

Из выражений (4) ясно, что максимальная скорость и максимальное ускорение определяются формулами

1.3.Гармонический осциллятор, начальные условия

Рассмотрим простейшую модель колебательной системы - груз массы m, закрепленный на пружине с коэффициентом жесткости k, который может перемещаться без трения в горизонтальном направлении (см. рис.2).

Рис.2. Пружинный маятник.

В произвольный момент времени t на него действует сила упругости, и

предстоит выяснить. Мы получили дифференциальное уравнение, связывающее смещение и его вторую производную. Подставив выражение (5) в (8) мы