Rlc-цепь

Анализ цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис.6), проведем с помощью век-

Рис.6

торной диаграммы.

В последовательной цепи ток I во всех элементах одинаков. Представим его вектором с модулем равным I₀, расположенным горизонтально (рис. 7). Напряжение на резисторе U_R сов-падает по фазе с током в цепи (см. рис. 3), поэтому соответствующий вектор также направим горизон-тально, его модуль будет равен

U_R0 = I₀R. Напряжение на катушке индуктивности U_L опережает ток в ней на /2 (см. рис. 4), поэтому соответствующий вектор (с моду-лем равным U_L0 = I₀L) направим вертикально вверх. Напряжение на конденсаторе U_C отстает от тока в нем на /2 (см. рис. 5), поэтому соответствующий вектор (с моду-лем равным U_C0 = I₀/C) направим вертикально вниз.

Из векторной диаграммы опре-делим общее напряжение U на концах RLC-цепи, общее сопротивление цепи Z, сдвиг фаз между этим напряжением и током в цепи I .

Общее напряжение на концах цепи U изображается вектором, равным сумме векторов, изображающих напряжения U_R, U_L и U_C . Используя известные правила сложения векторов, получим для модуля результи-рующего вектора (амплитуды общего напряжения) следующее выражение

. (10)

Выражение (10) представляет собой закон Ома для последовательной RLC-цепи. Из этой формулы следует, что общее сопротивление Z такой цепи равно:

. (11)

Сдвиг фаз между напряжением на концах цепи и током в ней равен углу  между векторами, изображающими соответствующие величины. Вели-чину этого угла можно определить из следующего выражения

. (12)

Резонанс в последовательной rlc-цепи

Так как сопротивления конденсатора и катушки индуктивности зависят от частоты колебаний тока в цепи, то и полное сопротивление Z также будет изменяться при изменении .

Если  = 0, то R_C = 1/C =  и, следовательно, Z = , а ток в цепи равен нулю. Действительно, постоянный ток не проходит через конденсатор, между пластинами которого располагается диэлектрик. С увеличением  сопротивление Z уменьшается и принимает минимальное значение Z_min = R при частоте _о, определяемой условием

, (13)

откуда

. (14)

При дальнейшем увеличении частоты сопротивление Z вновь будет увеличиваться, а амплитуда тока - уменьшаться, асимптотически прибли-жаясь к нулю при    (рис. 8).

Частота _о называется резонансной частотой. При  = _о амплитудное значение тока в цепи достигает максимального значения

. (15)

Напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе в этот момент равны по величине:

(16)

. (17)

Величина ρ=называется волновым сопротивлением, а величинаQ=ρ/R – добротностью RLC-цепи. Если ρ>R, то в момент резонанса ампли-туды напряжений на индуктивности и емкости превышают амплитуду общего напряжения, приложенного к RLC-цепи U_o. Однако, как видно из векторной диаграммы (рис. 7), в момент резонанса фазы колебаний напряжения на емкости и индуктивности противоположны и сумма этих напряжений равна нулю. Напряжение на резисторе при этом равно общему напряжению, приложенному к RLC-цепи

. (18)