10. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

n m

∑∑xik ysj pi, j дляДСВ,

i=1 j=1

αk,s (x, y) =M[X kY S ] =

∞ ∞

(10.1)

∫ ∫ xk ys f (x, y)dxdy

дляНСВ.

−∞ −∞

Смешанный центральный момент порядка k+s равен математическому

° k

°

k

:

ожиданию произведения центрированных величин X

и Y

n m

∑∑(xi −mx )k (yj −my )s pi, j дляДСВ,

µ

k

s

i=1 j=1

(x, y) =M[(X −m ) (Y −m ) ] =

∞ ∞

(10.2)

k,s

X

Y

∫ ∫(x−mx )k (y −my )s f (x, y)dxdy дляНСВ,

−∞−∞

mX =α1,0 (x, y),

mY

=α0,1 (x, y) ;

(10.3)

DX =µ2,0(x, y) =α2,0(x, y)−mX2 , DY =µ0,2(x, y) =α0,2(x, y)−mY2 .

(10.4)

Корреляционный момент KXY характеризует степень тесноты линейной

зависимости величин X и Y и рассеивание относительно точки (mX, mY):

KXY = µ1,1(x, y) =α1,1(x, y) −mX mY .

(10.5)

Коэффициент корреляции RXY характеризует степень линейной

зависимости величин

KXY

KXY

RXY =

=

σX σY .

(10.6)

D D

X

Y

3

2

3

mX = ∑∑ xi pij =∑ xi pi = −1 0, 3 + 0 0, 5 +1 0, 2 = −0,1 ,

i=1

j =1

i=1

mY = ∑3 ∑2

y j pij =∑2

y j p j = 0 0, 3 +1 0, 7 = 0, 7 .

i =1 j =1

i =1

Определим α1,1 ( x, y)

по формуле (10.1):

3

2

α1,1(x, y) =∑∑xi yj pi, j

= −1 1 0,2+1 1 0,2 =0 .

i=1 j=1

Найдем значение KXY

по формуле (10.5)

K X Y = α1,1 ( x, y ) − m X mY

= 0 − (−0,1 0, 7) = 0, 07 .

Определим дисперсии величин X и Y по формуле (10.4):

3

DX = α2,0 (x, y) − mX2 = ∑ xi2 pi −mX2

= 1 0, 3 + 0 0, 5 +1 0, 2 − 0, 01 = 0, 49 ,

i=1

2

DY = α0,2 (x, y) − mY2 = ∑ yi2 pi −mY2 = 0 0, 3 +1 0, 7 − 0, 49 = 0, 21 .

j =1

Значение коэффициента корреляции RXY вычислим по формуле (10.6):

R

=

KXY

=

0,07

≈0,22

.

XY

DX DY

0,21 0,49

mX = α1,0(x,y) =

4 4−x x

1 dxdy =

1

4 xdx4−x dy =

1

4 x(4 − x)dx =

4

,

∫

∫

8

8

∫

∫

8

∫

3

0

0

0

0

0

D

= µ (x,y)=

4 4−x

(x − m )2 1 dxdy =

1

4 (x −

4)2

(4 − x)dx =

8 .

x

2,0

∫

∫

x

8

8

∫

3

9

0

0

0

Так как область D симметрична относительно осей координат, то

величины X и Y будут иметь одинаковые числовые характеристики:

mx = my = 4 / 3; Dx = Dy = 8 / 9.

Определим корреляционный момент Kxy по формуле (10.5):

4 4−x

1

1

4

4−x

4

2

1 4

x(4 − x)2 dx −

4 2

4

Kxy =

xy

dxdy − mx my

=

xdx

ydy −

=

= −

.

∫ ∫

8

8

∫

∫

16 ∫

9

3

3

0

0

0

0

0

Коэффициент корреляции величин X и Y будет равен (10.6):

r

=

Kxy

= −1 .

xy

DxDy

2

распределения G(y) величины Y определяется по формуле

G( y) = ∫∫ f (x1, x2)dx1dx2 ,

(11.1)

(D)

определяется из условия ϕ( X 1 , X 2 ) < y .

В случае, когда Y = X 1

+ X 2 , функция распределения

∞

y−x1

∞

y−x2

G(y) = ∫

∫

f (x1, x2 )dx1dx2 =∫

∫ f (x1, x2 )dx2dx1 ,

(11.2)

−∞ −∞

−∞ −∞

а плотность вероятности

g(y) = ∞∫ f (x1, y − x1)dx1 = ∞∫ f (y − x2, x2)dx2 .

(11.3)

−∞

−∞

Если величины X1 и X2 независимы, то

g(y) = ∞∫ f1(x1) f2(y − x1)dx1 = ∞∫ f1(y − x2) f2(x2)dx2 .

(11.4)

−∞

−∞

Числовые характеристики

функции Y = ϕ(X1, X2 ) двух

случайных

непрерывных величин X1 и X2, имеющих совместную плотность

f (x1, x2 ) ,

определяются по формулам:

– начальные моменты

αk (y) = ∞∫ ∞∫ϕk (x1, x2) f (x1, x2)dx1dx2 ;

(11.5)

– центральные моменты

−∞−∞

µk ( y) = ∞∫ ∞∫ (ϕ(x1, x2 ) −my )k f (x1, x2 )dx1dx2 .

(11.6)

−∞ −∞

mY

= M[X1 + X2 ] = m1 +m2 ;

(11.7)

DY = D[ X 1 + X 2 ] = D1 + D2 + 2 K12 .

(11.8)

Если Y = X1X2, то математическое ожидание Y равно

mY

= M[X1 X2 ]= m1m2 + K12 .

(11.9)

m1 = 2; m2 = –3; m3 = 0; D1 = 4;

D2 = 13; D3 = 9.

Определить коэффициент корреляции R Y Z

величин Y и Z:

mY = 3 m1 – 1 m2 = 9,

mZ = m3 – 2 m1 = –4.

Вычислим дисперсии DY и DZ по формуле (11.12), учитывая, что величины

Xi независимы и Kij = 0:

DY = (3)2 D1 + (–1)2 D2 = 49,

DZ = D3 + (–2)2D1 = 25.

K

= α1,1 ( y, z)

– mY mZ = –60 – 9(–4) = –24.

YZ

Величину R Y Z

определим по формуле (10.6):

RY Z

=

K Y Z

= −

2 4

.

D y D Z

3 5

ЗАДАЧИ

11.1. Определить

закон

распределения

вероятностей

величины

Y = sign(X1 +X2), если

X1

и

X2 – случайные

величины,

равномерно