9. ДВУХМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Функцией распределения двухмерной случайной величины называвается вероятность совместного выполнения двух событий {Х < х} и {Y < у}:
F(x, y) = p({X < x} {Y < y}). |
(9.1) |
Свойства двухмерной функции распределения:
1.0 ≤ F(x, y) ≤ 1.
2.F(x, +∞) = FX(x); F(+∞, y) = FY(у); F(+∞,+∞) = 1.
3.F(–∞, y) = F(x, –∞ ) = F(–∞, –∞ ) = 0.
4.F(x1, y) ≤ F(x2, y), если x2 > x1;
F(x, y1) ≤ F(x, y2), если y2 > y1.
Функция распределения может задаваться для непрерывных и дискретных случайных величин.
Для непрерывной двухмерной случайной величины (X, Y) существует двухмерная плотность распределения:
f (x, y) = lim |
p({x ≤ X < x +∆x}I {y ≤Y < y +∆y} |
= |
∂2F(x, y) |
|
|||
|
|
|
∂ x∂ y . |
(9.2) |
|||
|
∆x∆y |
||||||
|
∆x→0 |
|
|
||||
|
∆y→0 |
|
|
|
|
|
|
Свойства двухмерной плотности: |
|
|
|
||||
1. f(x, y) ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
2. F(x, y) = ∫x ∫y |
f (x, y)dxdy. |
|
|
(9.3) |
|||
−∞−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
3. p{ (X ,Y ) D } = ∫∫ f ( x , y ) d xd y . |
|
|
(9.4) |
||||
|
|
|
(D ) |
|
|
|
|
4. Условие нормировки ∞∫ ∞∫ f (x, y)dxdy =1. |
|
|
(9.5) |
||||
5. f1(x) = ∞∫ f (x, y)dy ; |
−∞−∞ |
|
|
|
|||
f2( y) = ∞∫ f (x, y)dx . |
|
|
(9.6) |
||||
−∞ |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
Для дискретных случайных величин (X, Y) закон распределения задается матрицей распределения, содержащей вероятности pij появления всех
возможных пар значений (xi, yj): |
|
|
|
pij = p(X =xi , Y = yj ), |
(9.7) |
||
удовлетворяющих условию |
|
|
|
∑n |
∑m |
p i j = 1 . |
(9.8) |
i =1 |
j =1 |
|
|
Одномерные ряды вероятностей составляющих X, Y определяются по |
|||
формулам |
|
m |
|
|
|
|
|
pi = p(X = xi ) = ∑pij , i =1, ..., n ; |
(9.9) |
||
j=1
n |
|
p j = p(Y = y j ) = ∑ pij , j =1, ..., m . |
(9.10) |
i=1 |
|
Условным законом распределения называется распределение |
одной |
случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.
Условные плотности для непрерывных составляющих X и Y
определяются по формулам: |
|
f(x / y) = f(x, y) / fY(y) для fY (y)≠ 0; |
(9.11) |
f(y / x) = f(x, y) / fX(x) для fX (x)≠ 0. |
(9.12) |
Условные ряды распределения для дискретных составляющих Х и Y |
|
определяются по формулам: |
|
pi/j = p(X = xi / Y = yj) = pij / p(Y = yj), i = 1, ..., N; |
(9.13) |
pj/i = p(Y = yj / X = xi) = pij / p(X = xi), j = 1, ..., M. |
(9.14) |
Величина Х независима от величины Y, если ее закон распределения не зависит от того, какое значение приняла величина Y. Для независимых величин
выполняются следующие соотношения: |
|
|
1. |
F(x, y) = p(X < x, Y < y) = p(X < x)p(Y < y) = FX(x)FY(y) x, y; |
(9.15) |
2. |
для непрерывных – f(x, y) = fX(x)fY(y) x, y; |
(9.16) |
3. |
для дискретных – pij = pi pj, для i, j. |
(9.17) |
Пример 9.1. Двухмерная случайная величина (X, Y) распределена по закону, приведенному в таблице:
xi |
|
|
yj |
|
y1 = 0 |
y2 = 1 |
|
x1 |
= –1 |
0,1 |
0,2 |
x2 |
= 0 |
0,2 |
0,3 |
x3 |
= 1 |
0 |
0,2 |
Определить одномерные ряды вероятностей величин X и Y, условный ряд вероятностей величины X при условии, что Y = 1. Исследовать зависимость случайных величин X и Y.
Решение. Определим ряды вероятностей X и Y по формулам (9.9) и (9.10), т.е. выполним суммирование по столбцам и по строкам:
yj |
0 |
1 |
pj |
0,3 |
0,7 |
xi |
–1 |
pi |
0,3 |
0 1
0,5 0,2
Условный ряд X при Y = 1 получаем по формуле (9.13):
xi |
–1 |
0 |
1 |
pi / Y = 1 |
2/7 |
3/7 |
2/7 |
Величины X и Y зависимы, так как P(X = 0, Y = 0) ≠ P(X = 0)P(Y = 0), 0,2 ≠ 0,3 0,5.
Пример 9.2. Двухмерная случайная величина равномерно распределена в области D, ограниченной прямыми X = 0, Y = 0 и X + Y = 4. Исследовать зависимость случайных величин X и Y.
Решение. Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности:
c |
при 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 − x, |
f (x, y) = |
иначе. |
0 |
Определим c, используя условие нормировки (9.5):
4 4−x |
4 |
1. |
|
∫ |
∫ |
cdxdy = c∫(4 − x)dx = c 8 =1 c = |
|
0 |
0 |
0 |
8 |
|
|||
Определим одномерные плотности f1 (x), f2 ( y) величин X и Y по формуле
(9.6):
|
0, x < 0 |
|
|
|
|
|
0, y < 0 |
|
|
||||
|
|
4−x |
1 |
|
x |
|
|
|
|
4 − y 1 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f1 (x) = |
|
∫0 8 dy |
= 0,5 − |
|
, 0 |
≤ x ≤ 4 , |
f 2 ( y ) = |
|
∫0 8 |
dx = 0, 5 − |
|
, 0 ≤ y ≤ 4 . |
|
8 |
|
||||||||||||
8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, y |
> 4 |
|
|
|
0, x > 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Очевидно, что критерий независимости (9.16) величин не выполняется, т.е. f (x, y) ≠ f1(x) f2 (y), следовательно, величины X и Y зависимы.
ЗАДАЧИ
9.1. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 10%, а вследствие дефекта B – 20%. Годная продукция составляет 75%. Пусть X – индикатор дефекта А, а Y – индикатор дефекта B. Составить матрицу вероятностей двухмерной случайной величины (X, Y). Найти одномерные ряды распределений составляющих X и Y и исследовать их зависимость.
Ответ: |
X\Y |
y1 = 0 |
y2 = 1 |
|
x1 = 0 |
0,75 |
0,15 |
|
x2 = 1 |
0,05 |
0,05 |
Одномерные ряды составляющих X и Y:
xi |
x1 = 0 |
x2 = 1 |
pi |
0,9 |
0,1 |
yj |
y1 = 0 |
y2 = 1 |
pj |
0,8 |
0,2 |
Величины X и Y зависимы. 9.2. Двухмерная случайная величина (X, Y) имеет закон распределения с
плотностью
a(x + y), (x, y) D, f (x, y) =
0, (x, y) D.
Область D – квадрат, ограниченный прямыми x = 0; x = 3; y = 0; y = 3.
Требуется определить коэффициент a; вычислить вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат Q, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 1, y = 2.
Ответ: a = 1, P = 1/9.
9.3. Двухмерная случайная величина распределена по закону f (x, y) =a/(1+x2 +y2 +x2 y2), −∞< x <∞, −∞< y <∞.
Найти коэффициент а, установить зависимость случайных величин X и Y. Ответ: a = 1/π2, независимы.
9.4. Положение случайной точки (X, Y) равновозможное в любом месте круга радиусом R, центр которого совпадает с началом координат. Определить плотность распределения и функцию распределения каждой составляющей X и Y. Выяснить зависимость X и Y.
|
2 |
2 |
+y |
2 |
2 |
1/ |
πR , |
x |
|
≤R |
|
f (x, y) = |
x2 +y2 >R2 |
. |
|||
0, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: f1(x) = |
2 |
R2 −x2 , |
f |
(y) = |
2 |
R2 − y2 , X и Y независимы. |
|
2 |
|||||||
2 |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|||
|
πR |
|
|
|
πR |
|