Аппроксимация данных СРС

Аппроксимация экспериментальных данных

математическими зависимостями

Методические указания для самостоятельной работы студентов

1

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

На практике часто ставятся задачи описания экспериментальных данных математическими зависимостями или задачи аппроксимации.

Постановка задачи. Пусть имеются данные, полученные практическим путем (в ходе эксперимента или наблюдений), которые представле-

ны матрицей чисел ( хiэ ; yiэ,1 yiэ,m ), где имеется m параллельных испыта-

ний. На основе этих данных требуется подобрать такую функцию y p a, x) , которая наилучшим образом сглаживала бы экспериментальную зависимость между переменными и по возможности точно отражала бы общую тенденцию зависимости между хiэ и yiэ , где хiэ - экспериментальные значения переменных, yiэ - экспериментальные значения функции, y p - расчетные значения эмпирической функции, ā - коэффициенты функции.

Наличие параллельных испытаний требует выполнения предварительных статистических расчетов с определение средних строчных значений y и ошибок их определения. Затем можно провести проверку воспроизводимости строк через критерий Кохрена (см. приложение).

Построение эмпирической функции сводится к вычислению входящих в нее параметров ā, таких чтобы из всех функций выбрать ту, которая лучше других описывает зависимость между изучаемыми величинами. В качестве критерия оценки используется сумма квадратов разности между экспериментальными значениями и значениями, вычисленными по аппроксимирующей зависимости. Критерий должен стремиться к минимальному значению:

i 1

Для построения аппроксимирующей функции предварительно строится график экспериментальной зависимости, причем можно использовать как конкретные значения хiэ , так и другие значения, например, номера точек. Затем проводится подбор аппроксимирующей функции. В зависимости от вида экспериментальной кривой выбираются возможные функции, описывающие данный вид и потом подбираются входящие в нее параметры ā.

Близость аппроксимации экспериментальных данных выбранной

2

функцией оценивается критерием Пирсона (X2). Если есть несколько подходящих вариантов аппроксимирующих функций, то выбираем функцию с наибольшим коэффициентом Пирсона, который стремящимся к 1. Наличие статистических расчетов позволяет провести анализ полученного уравнения и определить его статистические характеристики, в первую очередь погрешность коэффициентов.

2. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

Постановка задачи: Необходимо провести статистический анализ полученных данных и описать их с помощью одной из пяти предлагаемых функций. По результатам расчетов сделать статистический анализ полученной математической зависимости.

Файл с задание для СРС находится у вас в папке с именем «СРС_Фамилия.xlsx». С этим файлом можно работать на любом компьютере, в том числе и дома. Все расчеты и описания должны быть сделаны в этом файле и представлены для сдачи преподавателю.

ции и найти неизвестные коэффициенты в этих уравнениях. Построить график зависимости Y от X с набором экспериментальных данных (только маркеры), расчетной линией (только сглаженная линия) и разбросом данных от экспериментальных точек (отклонение по строкам и общее отклонение по всем точкам эксперимента).

Сначала вычисляем статистические характеристики для строк с параллельными испытаниями с использование стандартных функций Excel:

СРЗНАЧ() – определение среднего значения (Yi )из набора параллельных испытаний;

3

Используя эту таблицу, нужно выбрать одну или несколько функций, которые могут описать вашу экспериментальную кривую, а затем с помощью надстройки Поиск решения подобрать неизвестные параметры, входящие в эти функции. Как видно из таблицы некоторые функции могут иметь разного вида кривые в зависимости от знаков и значений параметров, поэтому однозначный выбор функции, соответствующий данной кривой довольно сложен. Всегда можно найти несколько функций, которые в равной степени смогут описать данную экспериментальную кривую. В этом случае для описания следует выбирать несколько подходящих функций и по степени близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией остановиться на одной из них.

После выбора функции задаем начальные приближения для нахождения ее параметры (коэффициенты). Например, строим таблицу коэффициентов и критерии для поиска решения (рис.3).

Вводим столбец имен параметров (чтобы помнить, что здесь за числа) и справа, соответствующие им начальные приближения, которые надо выбрать согласно принятых к использованию графиков. Хотя начальные приближения могут быть любыми и самый простой вариант это 1, но при подборе коэффициентов в этом случае могут быть ошибки и корректного решения можно и не достичь. Так же можно попробовать решать

задачу с использованием различных начальных приближений, при корректной её постановке результат должен быть одинаковым.

Теперь к имеющимся данным таблицы (рис.4) добавляем столбцы с расчетными значений Y1р – Y4р (их должно быть 4 как и число параллель-

5

ных опытов, что упростит расчет критерия оптимизации критерия Пирсона).

Рис.4. Фрагмент таблицы Вводим в первую ячейку расчетных данных формулу выбранной

функции, используя для подбираемых параметров функции адреса ячеек со значениями начальных приближений коэффициентов (см. рис.3), которые задаются с абсолютной адресацией и аргумента Х из соответствующей ячейки таблицы в текущей строке, адрес которой должен быть привязан с столбцу. Копируем формулу на остальные ячейки столбцов Yрасч. Получаем расчетные значения функции для заданных начальных приближений параметров (коэффициентов). Конечно, значения вычисленной функции далеки от наших экспериментальных значений. Подбирая значения параметров можно получить хорошую сходимость между экспериментальными и расчетными данными, но выполнить эту операцию вручную достаточно сложно. Для её реализации можно воспользоваться надстройкой Поиск решения.

В качестве критерия оценки качества описания экспериментальных данных используемой функцией используется метод наименьших квадратов (1). В Excel он реализуется через функцию суммы квадратов разности экспериментальных и расчетных значений Y. Для критерия качества описания экспериментальных данных соответствующей функцией можно использовать критерий Пирсона. Под таблицей коэффициентов (см. рис.3) вводим соответствующие комментарии «Минимум» и «Пирсон», а правее и сами функции СУММКВРАЗН() и КВПИРСОН(), аргументами которых

зуя найденные интервалы погрешностей для каждой из строк и потом общую погрешность для всего графика. Данные задаются для экспериментальных данных с использованием «Величина погрешности – пользовательская» с последующим выбором данных для положительных и отрицательных отклонений, задавая Y в одном случае среднее для всех данных и в другом для каждой строки таблицы.

В случае выбора нескольких функций строится соответствующее количество табличек для приближенных значений параметров и столбцов расчетных значений Y для этих функций. Далее для каждой функции проводится поиск значений коэффициентов. Следует отметить, что не все функции, выбранные вами, смогут близко описать ваши экспериментальные данные, поэтому после расчетов выбирается функция с наилучшим критерием Пирсона. Причем он должен приближаться к единице и быть не менее 0,95, поскольку допустимая погрешность для инженерных вычислений должна составлять 5%. Окончательный вид листа с расчетом представлен на рис.11 (в конце документа).

С целью углубления знаний по статистическому анализу данных можно провести оценку интервальных зависимостей исследуемой функции. Для решения данной задачи расширяем таблицу коэффициентов и критериев (рис.8) с установкой начальных приближений для расчета коэффициентов интервальных кривых. Строим верхнюю и нижнюю границы для среднего значения исследуемой функции (рис.9) по формуле Yср ±

Y и для них находят описания по принятой

для эксперимента функции Y=F(X) с использованием той же процедуры поиска решения (столбцы S и U на рис.9).

Используя надстройку «Поиск решения

для каждого из наборов коэффициентов полу-

Рис.8. Коэффициенты для расчета чаем еще две

кривых, определяющих интервальные оценки нашей функции

Используя эти данные, можно построить графики границ допусков для данной функции (рис.10).

В этом случае интервальные границы для параметров оказываются уже не симметричными:

Рис.9. Таблица с данными

8

Рис.11. Окончательный вид полученного листа Excel.

9

Приложение 1 Критические значения коэффициента Кохрена (G-критерия)

для доверительной вероятности p = 95%

Все значения G-критерия меньше единицы, поэтому в таблице приведены лишь десятичные знаки, следующие после запятой, перед которой при пользовании таблицей нужно ставить ноль целых. Например, при k = 6, ν = 3 имеем G0,95 = 0,5321.

10