8203
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Т.А. Пушкова, П.В. Столбов
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Интегральное исчисление
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки
08.03.01 Строительство, направленности (профили): Автомобильные дороги,
Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций, Водоснабжение и водоотведение, Теплогазоснабжение и вентиляция,
Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, Организация инвестиционно-строительной деятельности, Промышленное и гражданское строительство
Нижний Новгород
2022
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Т.А. Пушкова, П.В. Столбов
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Интегральное исчисление
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки
08.03.01 Строительство, направленности (профили): Автомобильные дороги,
Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций, Водоснабжение и водоотведение, Теплогазоснабжение и вентиляция,
Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, Организация инвестиционно-строительной деятельности, Промышленное и гражданское строительство
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
1
УДК 517.9
Пушкова Т. А. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Интегральное исчисление: учебно-методическое пособие / Т. А. Пушкова, П. В. Столбов; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 67 с. : ил. – Текст : электронный.
Пособие содержит краткий теоретический материал, сопровождающийся многочисленными примерами, а также задания для выполнения контрольной работы.
Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине «Математика» по направлению подготовки 08.03.01 Строительство, направленности (профили): Автомобильные дороги, Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций, Водоснабжение и водоотведение, Теплогазоснабжение и вентиляция, Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, Организация инвестиционно-строительной деятельности, Промышленное и гражданское строительство.
© Т.А.Пушкова, П.В. Столбов, 2022 © ННГАСУ, 2022.
2
§ 1. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Основные понятия
Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости,
существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции двух переменных, для
которой можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. |
|
|||||||
Пусть задано множество D точек x, y плоскости Oxy . |
|
|||||||
Правило |
f |
, по которому каждой упорядоченной паре чисел x, y |
||||||
множества D ставится в соответствие одно и только одно действительное число |
||||||||
z называется |
функцией |
двух |
переменных, |
заданной на множестве D со |
||||
значениями в множестве всех действительных чисел R и обозначается: |
|
|||||||
|
|
|
z f x, y , |
x, y D . |
|
|
||
Множество |
D D f |
называется областью |
определения |
функции. |
||||
Множество значений, принимаемых z в области |
определения, называется |
|||||||
областью значений этой функции и обозначается E E f . |
|
|||||||
При этом x |
и y называются независимыми переменными (аргументами), |
|||||||
а z – зависимой переменной (функцией). |
|
|
|
|||||
Пример. Площадь S прямоугольника |
со сторонами, длины |
которых |
||||||
равны x и |
y |
является |
функцией |
двух |
переменных: S x y . |
Область |
||
определения D этой функции S есть множество x, y x 0, y 0 (cм. рис. 1). y 
D
0 |
x |
Рис. 1
3
Функцию |
z f x, y , где |
x, y D можно рассматривать как функцию |
|||||
точки M x, y |
координатной |
плоскости Oxy . В частности, |
|
областью |
|||
определения D может быть вся плоскость R2 или ее часть, ограниченная |
|||||||
некоторыми линиями. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти область определения функции z |
1 |
|
. |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
9 х2 у 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Функция z существует для тех пар значений |
x и y , которые |
||||||
удовлетворяют |
неравенству |
9 х2 у 2 0 или |
х2 у 2 |
9 , |
|
то есть |
|
представляет собой круг, без границы, с центром в начале координат и радиусом
R 3 (см. рис. 2).
y
3
0 D 3 |
x |
Рис. 2
Графиком функции двух переменных z f (x, y) называется множество точек (x, y, f x, y ) трехмерного пространства, представляющее собой некоторую поверхность, если точка x, y из области определения D (рис. 3),
которая геометрически изображает данную функцию z .
4
|
|
|
Рис.3 |
|
|
|
|
Пример. |
Функция z |
9 x2 y2 имеет областью определения D |
|
замкнутый круг |
x2 y2 9 и изображается верхней полусферой с центром в |
||
точке O 0,0,0 и радиусом R 3 (см. рис. 4).
z
3
|
|
-3 |
|
-3 |
0 |
3 |
y |
|
3
x
Рис. 4
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: таблицей, аналитически, графически. Будем пользоваться аналитическим способом: когда функция двух переменных задается с помощью формулы.
Как правило, изображение поверхности оказывается довольно трудной задачей. Поэтому для визуального представления функции используют линии уровня. Понятие линии уровня широко используется, прежде всего, в геодезии,
картографии, а также при описании различных физических полей (температура,
давление и пр.).
5
Линией уровня функции |
двух |
переменных z f (x, y) называется |
кривая, f x, y C на плоскости |
Oxy |
в точках которой функция сохраняет |
постоянное значение z C . |
|
|
Геометрически придание функции z постоянного значения C означает
пересечение |
поверхности |
z f (x, y) |
с плоскостью |
z C , параллельной |
||||
координатной плоскости Oxy . |
|
|
|
|
|
|||
Пример. Построить линии уровня функции z х2 |
у 2 2 у . |
|
||||||
Решение. Линии уровня данной функции – это семейство кривых на |
||||||||
плоскости |
Oxy , |
задаваемое |
уравнением |
х 2 |
у 2 2 у С |
или |
||
х 2 ( у 1)2 |
С 1. |
Это |
уравнение |
определяет |
семейство окружностей с |
|||
центром в точке (0,1) и радиусом 
С 1 ; точка (0,1) – это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции z 1 (см. рис.
5).
Рис. 5
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.
6
-окрестностью точки М 0 (х0 , у0 ) Х называется круг, с центром в точке М 0 и радиусом .
Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой окрестности точки
(х0 , у0 ) , за исключением, может быть, самой этой точки. Число А называется
пределом функции z f (x, y) при х х0 и |
у у0 (или в точке (х0 , у0 ) ), |
|
если для любой последовательности точек |
x1 , y1 , |
x2 , y2 ,..., xn , yn ,... |
сходящейся к точке x0 , y0 , соответствующая последовательность значений функции zn f xn ; yn сходится к числу A .
Обозначается предел так: lim f (x, y) A.
x x0 y y0
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем: каково бы ни было число 0, найдется - окрестность точки
(х0 , у0 ) , что во всех ее точках (х, у) , отличных от (х0 , у0 ) , аппликаты
соответствующих точек поверхности z f (x, y) |
отличаются от числа А по |
||||||||||||||||||||||||||||
модулю меньше, чем на . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Найти предел lim |
|
|
ln(1 x2 |
y 2 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. Обозначим |
|
|
|
|
|
х2 |
у 2 |
. |
|
Условие х 0 , |
у 0 |
||||||||||||||||||
равносильно тому, что 0. Тогда данный предел запишется в виде |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ln(1 x2 y2 ) |
|
|
|
|
|
|
ln(1 2 ) |
0 |
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность раскрывается по правилу Лопиталя |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
( 2 ) |
|
|
|||||||
|
|
ln(1 2 )' |
|
|
|
|
0. |
|
|||||||||||||||||||||
|
lim |
lim |
1 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
' |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
7
Пример. Доказать, что lim |
|
2xy |
|
не существует. |
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
y |
2 |
||
x 0 |
|
|
|
||
y 0 |
|
|
|
|
|
Решение. Будем приближаться к точке 0,0 по прямым y k x .
Если y k x , то
lim |
2xy |
lim |
2x k x |
lim |
2k x2 |
|
|
|
2k |
. |
x2 y2 |
x2 k x 2 |
x2 1 k 2 |
|
k 2 |
||||||
x 0 |
x 0 |
x 0 |
1 |
|
||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили, что значение данного предела зависит от углового коэффициента к прямой y k x . Но, так как предел функции не должен зависеть
от способа приближения точки |
(х, у) к |
точке 0,0 |
(например, по прямой |
y 2x или y 3x ), то рассматриваемый предел не существует. |
|||
Полным приращением |
функции |
z f (x, y) |
в точке (х0 , у0 ) |
называется выражение z f (x, y) f (x0 , y0 ) , где (x, y) - любая точка из области определения функции.
Обозначим х x x0 , у у у0 , тогда
z f (x0 х, y0 у) f (x0 , y0 ) .
Функция z f (x, y) называется непрерывной в точке М 0 (х0 , у0 ) Х ,
если ее полное приращение в этой точке стремится к нулю при х 0 и
у 0 , то есть lim z 0 .
x 0y 0
3. Частные производные и дифференцируемость функции двух переменных
Частным приращением функции z f (x, y) в точке (х0 , у0 ) по переменной х называется выражение х z f (x0 х, y0 ) f (x0 , y0 ) .
8
Частным приращением функции z f (x, y) |
в |
точке (х0 , у0 ) по |
|||||||||
переменной у называется выражение у z f (x0 , y0 |
у) f (x0 , y0 ). |
||||||||||
Частной производной |
от функции |
|
z f (x, y) |
по переменной х |
|||||||
называется предел отношения частного приращения х z |
к приращению х |
||||||||||
аргумента x при стремлении х к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначают частные производные одним из символов |
|
|
|||||||||
z'x , |
z |
или |
|
|
f (x, y) . |
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
Итак, по определению z |
lim |
f (x x, y) f (x, y) |
. |
||||||||
|
|
||||||||||
x |
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|||
Аналогично определяется частная производная по переменной у: |
|||||||||||
z lim |
f (x, y y) f (x, y) |
. |
|||||||||
|
|||||||||||
y |
y 0 |
|
y |
|
|
|
|
||||
Из определения частных производных следует, что их нахождение сводится к обычному дифференцированию данной функции одной выделенной переменной при условии, что все остальные переменные считаются константами.
Пример. Найти частные производные функций:
а) |
z x3 |
sin y y 4 , |
|
|
б) |
z x y . |
|
|
|
Решение. а) z x3 sin y y 4 . Чтобы найти частную производную по x , |
||||
считаем |
y |
постоянной величиной. Таким образом, |
z 3х 2 sin y . |
|
|
|
|
|
x |
Аналогично, дифференцируем по y , считая x постоянной, |
находим частную |
|||
производную по y : |
z х3 cos y 4 y 3 . |
|
||
|
|
|
y |
|
9