Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8203

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2023

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

y y f x

f c

a c

		Рис. 22
	1	h
Число f c	1	f x dx называется средним значением функции
Число f c		f x dx называется средним значением функции
	b a a

fx на отрезке a,b .

7.Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела:

x		f x .
	f t dt	f x .
a	x

6. Вычисление определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.

Теорема. Если F x – одна из первообразных непрерывной на отрезке

a,b функции f x , то справедлива следующая формула Ньютона-Лейбница:

b
f x dx F x ba	F b F a .	(4.1)

Доказательство.

Доказательство

проведем,

используя

свойство

f t dt

обозначим определенный интеграл с переменным верхним пределом

через функцию

F x ,

т.е. F x

f t dt . Тогда в силу свойства 7

можно

x .

Следовательно, F x

является одной

записать F x f t dt

из первообразных для интеграла

f t dt .

Так

как,

все

первообразные

отличаются

на

постоянную, то

имеет

место

равенство

f t

dt F x C ,

a x b,

где

C – некоторое

число. Подставляя

это

равенство значение

t dt

F a C

0 F a C

C F a , т.е.

x a,

имеем f

для

x a,b

t dt

F x F a .

любого

имеем f

Полагая x b, получаем

x dx F b F a .

соотношение

Обозначим

разность

F b F a F x

b .

Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в

виде f x dx F x

F b F a . Теорема доказана.

Замечание. Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что при вычислении

определенного

интеграла

надо

найти

первообразную

F x

для

подынтегральной

функции

f x

вычислить

разность

F b F a .

Следовательно, формально все сводится к вычислению неопределенного интеграла, и здесь применимы все методы вычисления неопределенного интеграла.

Пример. Вычислить x2 dx .

	Решение.								Взяв	неопределенный интеграл x2 dx				x3	C	и
	Решение.								Взяв	неопределенный интеграл x2 dx					C	и
													3
воспользовавшись формулой (4.1), решаем:
x2 dx x		3		2			2	3	3	8 1 7 2 1 .
		3		2				3	3
									1
2
1	3			1			3		3	3	3	3	3
	3			1	1
	Ответ: 2				1	.
	Ответ: 2					.
			3

7. Вычисление определенного интеграла

заменой переменной

Для вычисления определенного интеграла заменой переменной поступают так же, как и при нахождения неопределенного интеграла заменой переменной.

Но при этом есть одна особенность, суть которой заключается в том, что неопределенный интеграл есть функция, а определенный интеграл есть число.

Как было показано в примере выше (см. п. 4 § 3), для того, чтобы при помощи замены переменной привести заданный неопределенный интеграл к табличному, аргумент выражают через новую переменную, затем находят неопределенный интеграл, и полученный результат снова выражают через первоначальный аргумент. В случае же определенного интеграла нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной.

Таким образом, для вычисления определенного интеграла заменой переменной пользуются формулой:

b	d	f t t dt ,	(4.2)
	f x dx	f t t dt ,	(4.2)

a	c

где c и d , отличные от a и b пределы интегрирования, находятся из

подстановки x t , т. е.	a c ,		b d ,	где t непрерывна вместе
со своей первой производной t на промежутке , и монотонна
1	dx
Пример. Вычислить		.

0	3x 2
Решение. Заменяя	3x 2 t ,		находим
				3x 2	dx t dt , или

3dx dt , откуда dx dt3 . Найдем новые пределы интегрирования по формуле:

t 3x 2.

Нижний предел t при x 0 равен: t 3 0 2 2, а верхний предел t при x 1 равен: t 3 1 2 5.

Тогда вычисление данного интеграла запишется так:

1	dx	5	dt	1	5	dt	1			5	1			1			1		5
										5

								ln	t			ln	5		ln	2		ln		.

	3x 2		3t	3		t	3				3			3			3		2
0		2			2					2
										2

Ответ: 13 ln 52 .

8. Вычисление определенного интеграла

интегрированием по частям.

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла

записывается в виде:

b		ba	b
udv u v			v du .
udv u v			v du .
a			a
1
Пример. Вычислить xex dx .
0
Решение. Обозначая u x ,	dv ex dx , получаем			du dx , v e x . Тогда

1	10	1		10 e e1 e0 e e 1 1.
xex dx xex		ex dx 1 e1 0 e0 ex
0		0
Ответ: 1.
	9. Вычисление площади плоской фигуры
Если уравнение заданной линии есть			y f x , то, как было показано,
площадь S криволинейной трапеции определяется формулой:
		a
		S f x dx .
		a
Обобщим полученные результаты на случай вычисления площади
произвольной плоской фигуры.
Площадь Q ,		ограниченная кривыми	y f1 x и y f2 x и прямыми
x a , x b, при		условии f1 x f2 x ,	будет, очевидно, равна разности
площадей криволинейных трапеций S1 a,b			и S2 a,b , то есть

Q S1 a,b S2 a,b

или

b	b	b
Q f1	x dx f2	x dx f1	x f2	x dx .		(2.7)
a	a	a
Пример. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y							x2
					2x	и y	x2

							2
							2
(см. рис. 21).

y	y x	2
		2

	2
2		y 2x

0	2	x
	2

Рис. 21

Решение. Находим абсциссы точек пересечения заданных кривых:

8x x4 ; x x3 8 0,

x a 0 ,

b 2.

;

откуда

Следовательно,

соответствие

формулой

(2.7)

		2

	x			2	2
2x	x			2	2	x x

	2		dx		3
	2				3

	3	2							3
x				2 2				2
						2	2

6			3		6
		0

8	8	4	(кв. ед.)
3	6	3

Ответ: 43 кв.ед.

Контрольные задания

Задание № 1

Найти уравнения и построить линии уровня функции z f (x, y):

1.1 z у х 2 .

1.2 z ху .

1.3 z у 2х2 .

1.4z х2 у у .

1.5z ху .

1.6

1.7

z х у 1 . z ху у .

1.8z х у .

1.9z у 2 х .

1.10z у .

х3

Задание № 2

Для функции z f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) найти:

а) градиент,

б) производную по направлению вектора a .

2.1	z 3х 2 2 у ,											M0 (1; 3)				,		.
												M0 (1; 3)					a 6; 8
2.2	z ln(3x 2 y) ,												M0 ( 1; 2) , a 3; 4 .
2.3	z arctg					y	,		M0 (1; 1) ,					a 5; 12 .
2.3	z arctg					x	,		M0 (1; 1) ,					a 5; 12 .
						x
2.4	z		x		y			,	M0 (1;				2) ,	a 1; 2 .
2.4	z	2			2			,	M0 (1;				2) ,	a 1; 2 .
		x			y
2.5	z хy 3 x3 у ,												M 0 (1; 3) , a 2; 1 .
2.6	z х2				cos у ,					M 0			(1; ) ,		a 5; 12 .
													2
2.7	z sin( ху) ,									M0 (1; 1) ,					a 1; 1 .
2.8	z ln x y 2 ,												M 0 (3;		4) ,		a 6;	8 .
	z				xy								M 0 (0; 1) ,				a 1;	1 .
2.9											,
2.9			x	2	y		2		1		,
			x		y				1
2.10	z sin( x y) ,											M 0 (		;	)		, a 3; 4 .
													2		4