Обозначение аксиальных классов симметрии с добавлением плоскости симметрии

Элемент симметрии		Класс симметрии	Формула симметрии	Сингония
порождающий	порождённый
1	–	m	P	Моноклинная
2	1	2/m	L2PC	Ромбическая
3	–	6	L3P	Тригональная
4	1	4/m	L4PC	Тетрагональная
6	1	6/m	L6PC	Гексагональная

Планаксиальные классы симметрии получаются, если к порождающей оси симметрии n-го порядка добавить центр симметрии, параллельные плоскости симметрии и перпендикулярные оси 2. Для чётных осей при этом появятся ещё и поперечные плоскости (табл. 12).

Обозначение планаксиальных классов симметрии

Элемент симметрии		Класс симметрии	Формула симметрии	Сингония
порождающий	порождённый
1	m	2/m	L2PC	Моноклинная
2		mmm	3L23PC	Ромбическая
3	m	3m	L33L23PC	Тригональная
4	m	4/mmm	L44L25PC	Тетрагональная
6	m	6/mmm	L66L27PC	Гексагональная

В планаксиальных классах нет полярных направлений. Символ класса 4/mmm можно записывать более подробно:, т. е. имеются единственная ось4, параллельная оси Z, и плоскость m, нормальная к ней, две оси 2 в координатных направлениях и плоскости, нормальные к ним, и две оси 2 в диагональных направлениях и плоскости, нормальные к ним.

Мы рассмотрели все возможные сочетания, в которых порождающей была простая ось симметрии. Теперь в качестве основных осей симметрии возьмем инверсионные оси. В результате образуются инверсионно-примитивные и инверсионно-планальные классы, причём последние следуют из теоремы 6 (табл. 13 и 14).

Обозначение инверсионно-примитивных классов симметрии

Международное обозначение	Формула симметрии	Сингония
3	L3С	Тригональная
4	L4	Тетрагональная
6	L3P	Гексагональная

Обозначение инверсионно-планальных классов симметрии

Международное обозначение	Формула симметрии	Сингония
42m	L42L22P	Тетрагональная
6m2	L63L23P = L33L24P	Гексагональная

Из этих классов уже были выведены классы 3 и 6. Таким образом, для кристаллов низшей и средней категорий получилось 27 классов симметрии.

Выведем классы симметрии кристаллов высшей категории, у которых нет единичных направлений и обязательно есть несколько осей симметрии порядка больше двух. В многограннике все эти оси пересекаются в одной точке. Если есть две оси симметрии, то, согласно теореме Эйлера, в системе рождается третья ось. В результате возникают ограничения на взаимное расположение осей симметрии порядка больше двух. Этим ограничениям удовлетворяют только два сочетания, соответствующие осям симметрии тетраэдра и октаэдра (рис. 29). Следует отметить, что симметрия октаэдра совпадает с симметрией куба. В результате получаем два класса симметрии.