3.1 Описание случайных погрешностей с помощью

функций распределения 42

3.2. Примеры функций распределения вероятностей 43

3.3. Моменты случайных погрешностей 44

3.4. Виды распределения результатов наблюдения и

случайных погрешностей 47

3.5. Определение вида закона распределения 50

3.6. Информационный метод определения закона

распределения 51

3.7. Точечные оценки истинного значения

и среднеквадратического отклонения 53

3.8. Методы определения оценок 53

3.9. Оценка с помощью интервалов 54

3.10. Проверка нормальности распределения

результатов наблюдений 56

3.11. Из истории. Братья Бернулли 59

С.Д. Пуассон 60

Связь между законами Пуассона и Бернулли 61

К.Ф. Гаусс 61

3.12. Компьютерные программы в управлении качеством 63

3.13. Анализ техпроцессов и оборудования (программа

Attestator) 63

3.14. Что должна получить служба качества от

компьютеризации? 64

3.15. Применение статистических методов 64

3.16. Ведущая роль статистических методов в решении

различных задач сертификации и управления качеством 65

3.17. Классификация статистических методов сертификации 65

3.18. Положение дел в области применения статистических методов 66

4. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО

РАСПОЗНАВАНИЮ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 68

Работа 4.1. Ознакомление с функциями распределения 68

Работа 4.2. Ознакомление с алгоритмами распознавания функций распределения 72

Работа 4.3. Распознавание функций распределения 74

5. ГОСТ Р ИСО 5725. ТОЧНОСТЬ (ПРАВИЛЬНОСТЬ

И ПРЕЦИЗИОННОСТЬ) МЕТОДОВ И РЕЗУЛЬТАТОВ

ИЗМЕРЕНИЙ (Основные положения, определения и комментарии) 75

Литература 116

Перечень сокращений и условных обозначений

МО – математическое ожидание;

МНК – метод наименьших квадратов;

МНМ – метод наименьших модулей;

ММЛ - метод множителей Лагранжа;

НСВ - непрерывная случайная величина;

СКО – среднее квадратическое отклонение;

СВ - случайная величина;

СП - случайная погрешность;

СМ - статистические методы;

ТП - технологический процесс;

УК - управление качеством;

ФВ - физическая величина;

ФР - функция распределения;

ЦСМИ - центр статистических методов и информатики.

Список символов и их назначение

a достоверное значение параметра

a доверительный интервал достоверного значения параметра

a_т технологически необходимое значение параметра

a_т допуск технологически необходимого значения параметра

d_i отклонение результата определения от среднеарифметического

 случайная погрешность

_р доверительная граница погрешности результата измерений

E эксцесс

D[X] дисперсия

H энтропия

H(х) оценка энтропии

К_Д вариационный критерий Диксона

К_ш критерий Шарлье

m_i частоты

m параметр положения

M[X] оператор математического ожидания

m_x МО результатов наблюдений

 математическое ожидание параметра (также - момент)

n число определений (наблюдений) в выборке (частость)

L число выборок

F_x(x) теоретическая функция распределения

f(x) плотность распределения вероятностей

F критерий Фишера

G критерий Кохрена

R размах варьирования

q=1-P вероятность ненаступления события

Р вероятность события (доверительная вероятность, а также надежность результата измерения)

Р_i значения вероятностей в i -м интервале разбиения (вероятность)

P_i^* оценка средней плотности распределения

Р_k критерий Шовенэ

P_x(x) плотность распределения

r число событий, а также

r коэффициент корреляции, а также

r число разрядов гистограммы статистического распределения

S среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)

S_k коэффициент асимметрии

S_х оценка среднего квадратического отклонения

S* смещенная оценка среднего квадратического отклонения

S_∑ оценка суммарного среднего квадратического отклонения

s число независимых связей, наложенных на частости

t_n,P коэффициент Стьюдента

t_k тау критерий

t_px доверительное отклонение

β критерий Романовского

 доверительная граница случайной погрешности, также

 уровень засорения

 генеральная дисперсия параметра, также

 параметр рассеяния, также

_х среднее квадратическое отклонение

 уровень значимости

 параметр в распределении Пуассона ( = n_*Р) и в распределении Коши, также

 критерий Колмогорова

χ² критерий Пирсона

Θ граница неисключенной систематической погрешности

Θ_i граница i-й неисключенной систематической погрешности, также

Θ_1, Θ₂ параметры положения и рассеяния

² критерий Мизеса - Смирнова

x_i результат определения (наблюдения) - случайная величина

Х_i, Х среднее i-ой выборки (результат измерения)

х доверительный интервал выборки

x% относительное значение доверительного интервала выборки

x%доп показатель повторяемости

Х_i доверительный интервал i-ой выборки

Х_ математическое ожидание L выборок (несколько выборок называется совокупностью, а их математические ожидания – выборочные средние)

z_р/2 квантиль распределения нормированной функции Лапласа

U мера расхождения теоретического и статистического распределений

Ведение

Основой любой формы контроля, управления, планирования, прогнозирования является достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путём измерения физических величин, параметров и показателей (в дальнейшем будут называться - величина) [1-2]. И естественно, что только необходимая точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений [3-5]. Современная наука и техника позволяют выполнять многочисленные и точные измерения [6-11], однако затраты на них становятся соизмеримыми с затратами на создание продукции. Вместе с тем, в связи с широким распространением персональных ЭВМ и особенно карманных компьютеров в настоящее время встает проблема широкого применения новых расчетных возможностей при решении многих в прошлом сложных задач, представляющих интерес в процессе измерения и его оценки [12-16]. Для решения этой проблемы необходимы:

1. Объединение технологических и статистических критериев оценки результата измерения.

2. Создание оптимальных и однозначных алгоритмов обработки и оценки результатов измерений, градуировочных зависимостей в которых с целью оценки нормированных параметров продукции или результатов измерений химического состава объектов производится заключение о соответствии их нормативным требованиям. В этих алгоритмах наряду со статистическими критериями должны быть использованы технологические критерии оценок, такие как технологически необходимые значения параметров продукции и их допуски, достоверное значение параметра, показатели точности измерения параметров, критерии снижения сортности продукции, доля брака, не влияющая на снижение оценки или сортности продукции и т.д.

3. Создание программных продуктов с целью автоматизации обработки результатов измерений и их оценки; метрологического анализа градуировочных зависимостей; контроля нормативного соответствия параметров продукции и технологического процесса. Программные продукты должны проводить автоматический выбор необходимых критериев оценок, предварительные экспертные заключения и оценки, а также осуществлять визуализацию информации с целью оказания существенной помощи специалисту в осуществлении быстрой и эффективной оценки многоканальной измерительной информации.

Работа 1. Представление результата измерения

Результат измерения, включающий n наблюдений, например, в соответствии с требованием ГОСТ 8.207 – 76 «Прямые измерения с многократными наблюдениями» представляется в следующей последовательности:

символ параметра;

математическое ожидание параметра;

 доверительный интервал в абсолютном или относительном виде (могут быть представлены вместе);

размерность параметра.

Исходные данные:

n число наблюдений (число реализаций измерительной операции в соответствии с утвержденной методикой);

Р доверительная вероятность (вероятность включения в доверительный интервал результата наблюдения или включения достоверного значения параметра в этот интервал);

x_i результат наблюдения;

t_n,P коэффициент Стьюдента, зависящий от n и Р (при Р = 0.95 и n = 5 t_n,P = 2.78; n = 4 t_n,P = 3.18; n = 3 t_n,P = 4.76; n = 2 t_n,P = 12.2). При использовании программного продукта СТ5 t_n,P выбирается автоматически.

Алгоритм расчета результата измерения

(символ параметра = X  Х (Х%), размерность):

1. Расчет среднеарифметического: X=(x_i/n);

2. Расчет отклонения результата наблюдения от среднеарифметического: di=Abs(X-x_i);

3. Расчет стандартного отклонения: S=;

4. Расчет абсолютного значения доверительного интервала:

Х=S*t_nP/n^0.5

5. Расчет относительного значения доверительного интервала:

Х%=Х*100/X

Пример: результаты наблюдений C_HCl: 0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.103 моль/л. Результат измерения:

C_HCl: = .0.104  0.003 (3%) моль/л.

Задача 1. Результаты наблюдений C_HCl: 0.115, 0.113, 0.116, 0.114, 0.113 моль/л. Представьте результат измерения.

Задача 2. Результаты наблюдений m_CH3COOH: 0.224, 0.218, 0.220, 0.216, 0.230 г. Представьте результат измерения.

Необходимо оценить затраты времени на решение задач без использования калькулятора, с использованием калькулятора, с использованием ЭВМ (программа СТ5 или другие стандартные программные продукты, например, Statistica 6.0).

Работа 2. Алгоритм оценки результата измерения по двухбалльной (пять и два) шкале

1. Расчет метрологических характеристик с использованием ЭВМ по значениям х_i (n наблюдений) с автоматическим выбором t_np при заданных Р и n и представление результата измерения согласно требованиям стандарта (см. работу 1).

2. Проверка условия незначимости случайной погрешности: Х%  r, где r – показатель сходимости, являющееся предельным значением относительного доверительного интервала для результата измерения. r относится к технологическим критериям оценки результата измерения. Значение r задается в граничных условиях стандартизованной методики измерения. Значение r определяет также число значащих цифр в результате измерения (нули слева от числа являются незначащими, а запятая не влияет на значимость). Доверительный интервал в результате измерения представляется с одной значащей цифрой при r > 1%, реже с двумя (при r < 1%).

3. Проверка условия незначимости систематической погрешности: ABS(a-X)_*100/a  r, где а достоверное или технологически необходимое значение измеряемой величины.

4. При нарушении условий 2 или 3 ставится оценка два. При положительном исходе пунктов 2, 3 результат измерения определяется точным (оценка отлично). С использованием программы СТ5 можно просмотреть примеры оценки результатов измерений.

Пример: пять наблюдений C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.103 моль/л, см. пример работы 1) при а = 0.103 моль/л и r = 3% оценивается на отлично по двухбалльной шкале поскольку случайная (Х%=0.003*100/0.103=2.9% < r=3%) и систематическая погрешности (ABS(0.103-0.104)_*100/0.103  3%) незначимы.

Задача 1. Оцените по двухбалльной шкале результаты наблюдений C_HCl (0.115, 0.113, 0.116, 0.114, 0.113 моль/л) если r=3% и а = 0.114 моль/л.

Задача 2. Оцените по двухбалльной шкале результаты наблюдений C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.108 моль/л) если r=3% и а = 0.103 моль/л.

Работа 3. Алгоритм оценки результата измерения по четырехбалльной шкале (пять, четыре, три, два или иначе первый, второй, третий сорта и брак) с использованием 3S критерия и учетом эффектов маскировки и асимметрии

1. Основой оценки по четырехбалльной или другим шкалам является двухбалльная шкала оценок (см. работу 2) и в случае выставления оценки два по двухбалльной шкале приступают к оценке по четырехбалльной или другим шкалам.

2. В начале приступают к обнаружению промахов (брака). Для исключения эффектов маскировки и асимметрии необходимо отсортировать не один результат наблюдения (dmax) наиболее далекий от «а», а если «а» нет то от «Х», а допустимую долю наблюдений (в абстрактном случае не более 10% от n, в конкретном случае определяется допустимой долей брака без снижения сортности). Далее проводится расчет S’ по алгоритму работы 1 (без отсортированных результатов наблюдений, при этом n = n – ABS(0.1_*n)). Результат наблюдения является промахом, если 3_*S’< dmax. По этому условию просматриваются все отсортированные результаты наблюдений. Если доля промахов не превышает допустимую, то несмотря на оценку два по двухбалльной шкале в целом по четырехбалльной шкале выставляется оценка отлично.

3. Если доля промахов превышает допустимую, то сортность снижается на один балл (ставится оценка хорошо). При этом допустимая доля промахов доводится до 20% или используется расширенное значение допуска (или расширенное значение r) или уменьшается надежность Р или ухудшаются другие показатели. Дальнейший алгоритм действий аналогичен пункту 2.

4. Если доля промахов превышает допустимую, то сортность снижается еще на один балл (ставится оценка три). Допустимая доля промахов доводится до 40% или используется расширенное значение допуска (или расширенное значение r) или уменьшается надежность Р или ухудшаются другие показатели. Дальнейший алгоритм действий аналогичен пункту 2. Если доля промахов превышает допустимую, то окончательно ставится оценка два.

Пример: пять наблюдений C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.103 моль/л, см. пример работы 1) при а = 0.103 моль/л и r = 1% оценивается на три по четырехбалльной шкале, поскольку случайная (Х%=0.003*100/0.103=1.6% > r=1%) погрешность значима, а систематическая погрешность (ABS(0.103-0.104)_*100/0.103  1%) незначима. Промахами являются наблюдения 0.105, 0.106.

Задача 1. Оцените по четырехбалльной шкале результаты наблюдений C_HCl (0.115, 0.113, 0.116, 0.114, 0.113 моль/л) если r=1% и а = 0.114 моль/л.

Задача 2. Оцените по четырехбалльной шкале результаты наблюдений C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.108 моль/л) если r=1% и а = 0.103 моль/л.

Работа 4. Анализ выборок

1. Применение статистических критериев

1. Оценка однородности выборок (значимость расхождения стандартных отклонений) с использованием критерия Фишера.

Выборки сортируются по росту значения S. Выборки однородны если S_max/S_min  F_табл. В случае наличия более чем двух выборок анализ проводят с двумя выборками, имеющими крайние значения S. Далее выборки делят на однородные и неоднородные. F_табл находится из таблиц в зависимости от числа наблюдений анализируемых выборок и выбранного значения P. При применении программы СТ5 значение F_табл находится автоматически.

Пример 1 (алгоритм анализа одной выборки см. работы 1 и 2). Имеются две выборки: а) C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.105 моль/л),. б) C_HCl (0.102, 0.104, 0.105, 0.104, 0.101 моль/л). Выборки однородны поскольку 0.0023/0.0016 = 1.5  F_табл.= 2.4.

Задача 1. Необходимо установить однородность двух выборок: а) C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.105 моль/л),. б) C_HCl (0.105, 0.106, 0.105, 0.107, 0.108 моль/л).

2. Оценка равноточности выборок (значимость расхождения среднеарифметических) с использованием критерия Стьюдента.

Выборки равноточны если (X₁-X₂) /S_*SQR(n_1*n₂/(n₁+n₂))  t_табл,где S = SQR((n₁-1)_*S₁²+(n₂-1)_*S₂²)/(n₁+n₂-2)). В случае наличия более чем двух выборок анализ проводят с двумя выборками, имеющими крайние значения X. Далее выборки делят на равноточные и неравноточные. t_табл находится из таблиц в зависимости от числа степеней свободы f = n₁+n₂-2 анализируемых выборок и выбранного значения P. При применении программы СТ5 значение t_табл находится автоматически.

Пример 1. Имеются две выборки: а) C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.105 моль/л),. б) C_HCl (0.102, 0.104, 0.105, 0.104, 0.101 моль/л). Выборки равноточны поскольку t = 2.5  t_табл.= 3.2.

Задача 1. Необходимо установить равноточность двух выборок: а) C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.105 моль/л),. б) C_HCl (0.105, 0.106, 0.105, 0.107, 0.108 моль/л).

Работа 5. Анализ выборок

2. Применение технологических критериев

Оценка совместимости выборок по технологическим критериям.

а) С раздельной оценкой выборок (с использованием алгоритмов работы 2 и работы 3)

б) Со смешением данных выборок и их оценкой (с использованием алгоритмов работы 2 и 3).

Необходимо иметь ввиду, что технологические критерии оценок имеют более высокий ранг, чем статистические критерии оценок, т.е. последние применяются в случае отсутствия технологических критериев оценок. Например, к статистическим критериям относятся tnp, P (по умолчанию Р = 0,95), F; к технологическим критериям относятся а, a, допустимая доля брака доп; к статистическим и технологическим критериям относятся Х, S, Х, Х%, r, R. Нормируемый показатель R называется показателем воспроизводимости и используется при анализе выборок, в то время как r используется при анализе одной выборки.

Пример: (алгоритм анализа одной выборки см. работы 1 и 2, алгоритм анализа выборок с использованием статистических критериев см. работу 3). Имеются две выборки: а) C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.105 моль/л),. б) C_HCl (0.102, 0.104, 0.105, 0.104, 0.101 моль/л). Выборки совместимы.

Задача 1. Необходимо установить совместимость двух выборок: а) C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.105 моль/л),. б) C_HCl (0.105, 0.106, 0.105, 0.107, 0.108 моль/л) если R=2% и а = 0.106 моль/л..

Задача 2. Необходимо установить совместимость двух выборок: а) C_HCl (0.105, 0.103, 0.106, 0.104, 0.105 моль/л),. б) C_HCl (0.105, 0.106, 0.105, 0.107, 0.108 моль/л) если R=3% и а = 0.106 моль/л.

Работа 6. Обработка данных косвенного эксперимента в случае применения линейной регрессии

1. Расчет параметров уравнения регрессии.

Параметры градуировочной функции h = А + В_*С, рассчитываются на основе заданного числа эталонных образцов - n, где Сi – концентрации анализируемого компонента в эталонах, hi – показания прибора, А и В – константы. После ввода n числа Ci, hi проводится отображение А и В на экране, а также значение коэффициента корреляции и других показателей.

2. Расчет рабочего диапазона градуировочной функции.

Сраб = Сmin – Сmax. Расчет рабочего диапазона проводится введением значения показателя сходимости – r.

3. Расчет значения результата измерения и его доверительного интервала.

Расчет погрешности анализа и представление результатов измерения согласно ГОСТ производится автоматически после выполнения процедуры ввода по П.1 и П.2 (выбор tnp производится также автоматически) и ввода показания прибора от испытуемого образца hx.

4. Оценка результата измерения по четырехбалльной шкале.

Результаты автоматически будут оценены по четырехбалльной шкале.

5. Поверка градуировочной функции.

Поверка градуировочной функции проводится на соответствие значений А и В в пределах их допусков (А и В), а также на соответствие охвата рабочего диапазона.

Экспертные заключения и оценки, выполненные программой, являются рекомендательными.

Пример: n = 5; Ci = 1.00, 2.00, 3.00, 4.00, 5.00 моль/л; hi = 1.00, 2.01, 3.00, 4.00, 5.00; r = 3.0%; а = 2.01; P = 0.95; hx = 2.00. Результаты расчетов: А = 0.005, В = 0.999, Сраб = 1 – 5 моль/л.

Cx = 2.00 +- 0.02 (0.8%) моль/л. Оценка отлично

Задача 1 (представьте результат измерения и оцените его). n = 5; Ci = 1.00, 2.00, 3.00, 4.00, 5.00 моль/л; hi = 1.00, 2.01, 2.95, 4.15, 5.05; r = 3.0%; а = 3.01; P = 0.95; hx = 3.00.

Задача 2 (представьте результат измерения и оцените его). n = 5; Ci = 0.1.00, 0.200, 0.300, 0.400, 0.500 моль/л; hi = 1.00, 2.01, 2.95, 4.15, 5.05; r = 3.0%; а = 0.201; P = 0.95; hx = 2.00.

Задача 3: сделайте поверку градуировочной функции по данным задачи 1 если Сраб = 1 – 5 моль/л и А = 0.003, В = 0.03.

Работа 7. Основы оценки методик и методов измерений

Цель работы: Расчет метрологических характеристик анализа (для расчетов необходимо брать данные работ из раздела химические методы анализа).

Работа 8. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО РАСПОЗНАВАНИЮ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Работа 8.1. Ознакомление с функциями распределения

Работа 8.2. Ознакомление с алгоритмами распознавания функций распределения

Таблица 1. Алгоритм распознавания распределения Гаусса по ГОСТ 11.006-74

1. База данных эксперимента (xi, Pi), n>20, X, S, tnP,

2. Расчет числа данных (G), вышедших за интервал Х0.3*S

3. Если G*20/n2<=0.741*tnP, то распределение Гауссово

где n– число наблюдений,X–среднее значение,S– стандартное отклонение,t_nP– коэффициент Стьюдента

Таблица 4.2.2. Критерии и алгоритмы обнаружения глобального экстремума при распознавании распределения Гаусса ().Функция имеет глобальное решение при любых и. Расчет критерия оптимизацииU = .

Таблица 2. Алгоритм распознавания распределения Гаусса (разработано дипломниками кафедры АХСМК КГТУ)

Алгоритм расчета и

1. База данных эксперимента (xi,Pi)

2. Оценка поxi =max. Если имеется два одинаковыхmaxзначений, то выбирается среднее значение.

3. Оценка по Рxi=max./2 и обнаружением хiсоответствующих или близких к Рxi=max./2, а далее нахождением половины разницы между ними.

4. Расчет P=.

5. Расчет U. Установление знака градиента измененияи. Установление шага измененияипо золотому сечению

6. Поиск решения при совместном переборе значений иметодом без инерционного шарика

7. Изменение идо ухудшения критерияU

8. Повтор итерации с изменением шага градиента на порядок и изменением знака градиента

9. Определение предельного числа итераций вручную при достижении не значимости изменения критерия оптимизации или автоматический выход из расчетов при достижении заданной точности U

Таблица 3. Критерии и алгоритмы обнаружения глобального экстремума при распознавании распределения Пуассона (). Функция имеет глобальное решение при> 0. Расчет критерия оптимизацииU=

Алгоритм расчета

1. База данных эксперимента (xi, Pi)

2. Оценка поxi = max.

3. Расчет факториала при заданном r

4. Поиск решения значения аналогично п. 4- 9 таблицы 6

Нельзя задавать значение r большей экспериментальной.

Таблица 4.2.4. Критерии и алгоритмы обнаружения глобального экстремума при распознавании распределения Коши (). Функция имеет глобальное решение при > 0. Расчет критерия оптимизацииU =

Алгоритм расчета и

1. База данных эксперимента (xi, Pi)

2. Оценка поxi = max.

2. Оценка по «полуширине» экспериментальной функции распределения. В случае если теоретическая кривая с оцененными значениямиивыше экспериментальной, тодополнительно умножается на коэффициент более 1 (обычно на 6)

3. Поиск решения при совместном переборе значений ианалогично п. 4- 9 таблицы 6

Программу СТ5, с помощью которой распознаются функции распределения, следует применять в том случае, когда имеется дело с пространствами, имеющими лишь один экстремум. В вывернутых пространствах, имеющих два или более экстремумов, программа не может найти верное решение (значение), другими словами, вначале необходимо оценить вычисляемые параметры ФР (что программа также делает автоматически).

Для быстрого поиска решения применяется метод без инерционного шарика. Для того, чтобы программа верно нашла решение по идентификации ФР, после вычисления параметров ФР применяется глобальный критерий оптимизации, одинаковый для всех ФР и представляющий собой приведенное расхождение экспериментальной и теоретической функции распределения. Задача считается решенным, когда теория совпадает с экспериментом.

Работа 8.3. Распознавание функций распределения

Виды функций распределений, примеры, а также виды задач представлены в меню программы. Например, можно просмотреть уравнения ФР, примеры относящиеся к конкретной функции и их графические отображения. Также можно вычислить параметры каждого примера и каждой ФР. Также выбрав пример или введя значения наблюдений результата измерения можно получить заключение ЭВМ о виде ФР, обоснование выбора ФР и значения ее параметров.

Работа 9. Основы математического моделирования химических процессов. Дискриминация моделей (гипотез)

Все данные представлены в программе EQ.

Работа 10. Основы метрологического обеспечения систем

Цель работы: 2. Расчет рабочего диапазона градуировочной функции и показателя повторяемости (для расчетов необходимо брать данные работ из раздела инструментальные методы анализа).