Классификация задач газовой динамики

В зависимости от заданных условий тече­ния и определяемых параметров в газовой динамике различают следующие группы задач.

Внутренние задачи – исследование движения жидкости в различных каналах.

Внешние задачи – рассматривают внешнее обтекание жидкостью твердых тел.

Струйные задачи – истечение из отверстий струй жидкости в пространство, не ограниченное стенками и заполненное жидкостью того же агрегатного состояния.

На практике эти задачи очень часто невозможно разграничить. Например, при обтекании решеток профилей компрессоров и турбин, исследование течения в каналах между лопатками относится к внутренней задаче; обтекание отдельной лопатки – к внешней, а взаимодействие межлопаточных потоков за решеткой – к струйной.

Каждая из перечисленных задач может быть прямой и обратной. Если заданы невозмущенный поток, форма, размеры и положение обтекаемых тел (внешняя задача) или значение параметров жидкости на границе области течения, форма и размеры каналов (внутренняя задача), а требуется определить пространственно-временные поля параметров жидкости в рассматриваемой области течения, то такая задача называется прямой.

Если заданы поля параметров жидкости, а требуется определить параметры невозмущенного потока и характеристики твердых тел или стенок каналов (форму и размеры), обеспечивающих получение заданных полей в рассматриваемой области, то задача называется обратной.

Значительное число технических задач газовой динамики можно решать, предполагая движение установившимся и одномерным, т.е. таким, в котором все параметры течения меняются только в одном направлении и не зависят от времени. Этим условиям отвечает течение жидкости вдоль слабо искривленных линий тока или в трубках тока. Поэтому одномерным можно считать течение жидкости в канале с мало изменяющимся поперечным сечением вдоль продольной оси и малой кривизной последней. В ряде случаев результаты исследования одномерного течения могут быть применены и к потокам с неравномерным распределением параметров по сечению, при соответствующем решении вопроса осреднения этих параметров.

Одномерные задачи при установившемся течении жидкости составляют предмет рассмотрения отдельного раздела газовой динамики – газовой динамики элементарной струйки, который иногда ещё называют газовой гидравликой.

***

При решении задач гидродинамики или газодинамики, поставленных в общем виде, нужно прежде всего установить, какие величины подлежат определению, т.е. являются искомыми. В случае прямой задачи прикладной газовой динамики обычно должно быть задано:

1. область течения жидкости и свойства жидкости;

2. твердые тела, обтекаемые жидкостью, или канал, внутри которого движется жидкость, и энергетическое воздействие на жидкость;

3. значение параметров жидкости на границе области течения и в начальный момент времени t_o (граничные и начальные условия).

Требуется определить пространственно-временные поля всех параметров движу­щейся жидкости, т.е. скорости, плотности, давления и температуры:

w_x = f₁(x, y, z_, t ); w_y = f₂(x, y, z_, t ); w_z = f₃(x, y, z_, t );

ρ = ρ(x, y, z_, t); p = p(x, y, z_, t); T = T(x, y, z_, t),

где w_x, w_y, w_z – проекции вектора скорости жидкости w на оси x, y, z в выбранной нами прямоугольной системе координат, но в общем случае - произвольной системы координат; ρ, p, T – плотность, давление и температура жидкости.

Решение поставленной задачи позволяет определить силовое и тепловое взаимодействие между потоком жидкости и твердыми телами (стенками канала), рассчитать и спроектировать работоспособную конструкцию того или иного устройства.

 В случае прямой задачи для несжимаемой жидкости неизвестными являются четыре величины в каждой точке пространства: три компоненты скорости и давление w_x, w_y, w_z и р. Плотность жидкости считается известной, заранее заданной. Для определения всех искомых величин нужно составить такую систему, в которой количество уравнений равняется количеству неизвестных, т.е. система должна быть замкнутой. В рассматриваемом случае в систему включают дифференциальные уравнения движения (три уравнения в проекциях на координатные оси) и к этим уравнениям следует присоединить ещё уравнение неразрывности

(1.37)

Эта система (1.37) для идеальной жидкости приведена здесь как наиболее простой пример. В случае вязкой жидкости нужно вместо уравнений Эйлера записать уравнения движения для вязкой жидкости, называемые уравнениями Навье - Стокса⁴.

Для полной физической определенности решений системы уравнений Навье – Стокса должны быть заданы граничные и начальные условия. Причем начальные условия необходимо вводить только для неустановившегося движения.

 При исследовании движения сжимаемой жидкости (газа) этих уравнений оказывается недостаточно, поскольку в этом случае количество неизвестных, подлежащих определению, возрастает до семи. Кроме трех компонент скорости и давления, в этом случае к неизвестным добавляются еще три: плотность, температура и количество подведенного тепла: ρ, Т, Q. Система уравнений должна теперь содержать семь уравнений. Три уравнения движения остаются без изменения. Уравнение неразрывности также остается, только записывается для сжимаемой жидкости (1.19)⁵. Недостающие три уравнения заимствуются из термодинамики. Действительно, при термодинамическом процессе сжатия в общем случае помимо увеличения плотности происходит изменение температуры газа, что и приводит к необходимости ввести в рассмотрение дополнительные термодинамические соотношения.

Первым таким соотношением является уравнение состояния, связывающее между собой давление, плотность и температуру (для совершенного газа, в частности, это уравнение Менделеева – Клапейрона):

p = ρRT. (1.38)

Далее, если изменение состояния протекает не изотермически, то необходимо использовать ещё одно термодинамическое соотношение – уравнение энергии, которое выражает баланс теплоты и механической энергии и представляет собой дифференциальное уравнение для распределения температуры. При его записи исполь­зуются: уравнение первого закона термодинамики

dQ = С_v dT + pdv (1.39)

и уравнение передачи тепла (форма уравнения может быть различной в зависимости от того, каким способом передается тепло; во многих случаях это может быть закон Фурье).

Наконец, для вязкой жидкости еще одно необходимое соотношение дает эмпирическая связь между коэффициентом вязкости μ и температурой Τ.

Таким образом, если массовые силы рассматривать как заданные, то мы имеем семь уравнений для определения семи величин: w_x, w_y, w_z, p, ρ, T, μ.

 В случае изотермического течения вместо семи уравнений остаются только пять - уравнения движения, неразрывности и состояния, для определения пяти неизвестных величин w_x, w_y, w_z, p, ρ.

Математическое описание движения жидкости общими дифференциальными уравнениями, учитывающими все физические свойства, присущие этой жидкости, является сложной и в большинстве случаев неразрешимой задачей. Если даже ограничится учетом только вязкости и сжимаемости, то и тогда уравнения движения оказываются настолько сложными, что пока не удалось разработать аналитических методов их решения. Применение численных методов интегрирования таких уравнений с использованием современной вычислительной техники также связано со значительными трудностями. Поскольку рассмотренные системы уравнений в общем виде не решаются, для достижения результата обычно вводят различные упрощения в самом начале, ещё при формулировке задачи. Вполне понятно, что задача в этом случае ставится не в общем виде, а в частном, применительно к конкретным условиям. Сообразно с этими условиями делаются и упрощения. Наиболее употребительны следующие виды упрощений.

Формулировка задачи в рамках установившегося движения. При этом во всех уравнениях исчезают частные производные по времени, благодаря чему уравнения значительно упрощаются. Нужно заметить, что в природе и в технике почти всякое течение жидкости или газа является, строго говоря, неустановившимся. Однако во многих случаях отклонения скорости от некоторого среднего значения по времени бывают достаточно малыми по сравнению с величиной скорости, и это дает возможность приближенно считать движение установившимся. Так поступают, например, рассчитывая газовые потоки в турбомашинах.

Переход от пространственного к двумерному или одномерному течению. Он дает сокращение количества неизвестных, а, следовательно, и количества уравнений системы. Это весьма существенно облегчает решение. Такой переход делается в тех случаях, когда составляющие скорости по одной или двум координатным осям малы по сравнению с составляющей по третьей координате, ориентированной вдоль основного направления потока. Так, например, при расчете течения в трубах или плавно-расширяющихся (или суживающихся) каналах поток принимается одномерным. В пределах данного поперечного сечения скорость считается постоянной, равной среднерасходной. Такое же упрощение допускают и при расчете криволинейных каналов, например межлопаточных каналов турбомашин, когда целью расчета является определение средних значений параметров потока в выходном сечении по известным значениям на входе. Если же ставится задача профилирования лопаток, то пользуются моделью двумерного потока.

Переход от реальной жидкости к модели идеальной жидкости. Такое допущение очень сильно упрощает задачу, так как позволяет вместо довольно сложных уравнений движения вязкой жидкости взять более простые — в форме Эйлера или Громеки. Моделью идеальной жидкости пользуются в расчетах и исследованиях, выполняемых в первом приближении, когда влиянием трения пренебрегают, а также при расчетах тех областей течения, которые расположены на значительном расстоянии от обтекаемых поверхностей, где влияние трения незначительно.

Переход от сжимаемого газа к несжимаемой жидкости. Это приводит к сокращению неизвестных и количества уравнений с семи до четырех, что весьма облегчает решение задачи. Такое упрощение допустимо при малых скоростях течения, когда изменение плотности настолько незначительно, что ее приближенно можно считать постоянной. Существуют также методы, позволяющие пересчитывать данные, полученные для несжимаемой жидкости, на случай сжимаемого газа. При такой постановке расчет течения несжимаемой жидкости является первым этапом решения задачи, а учет влияния сжимаемости — вторым.

Применение модели баротропной жидкости. У баротропной жидкости плотность является только функцией давления. Если при расчете потока газа заранее известен термодинамический процесс, т.е. давление и плотность связаны однозначной зависимостью, например уравнение политропного процесса

p/ρⁿ=const.,

то газ в этом случае как раз подходит под понятие баротропной жидкости. Количество уравнений в этом случае сокращается. Так например, в теории течения идеального нетеплопроводного газа заранее известно, что термодинамический процесс в потоке газа является изоэнтропным. Таким образом, в систему уравнений включается уравнение изоэнтропы, но зато исключаются уравнения передачи тепла и первого закона термодинамики.

То обстоятельство, что упрощения вводятся в самом начале, еще при формулировке задачи, является причиной большого разнообразия методов и приемов расчета, которые применяются в практике.

1 [ Irving J.H., Kirkwood J.G. J. Chem. Phys., 18, 817 (1950)].

2 Chapman S., Cowling T.G., The mathematical theory of non-uniform Gases, Cambridge Univ. Press, 1939; русский перевод: Чепман С., Каулинг Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1961.

3 см. файл Явления переноса.pdf

4 Боле подробно см. файл Уравнения движения.pdf

5 См. файл Уравнение неразрывности.pdf

стр. 11 из 11