ГД 2004 Общая постановка задач 11

Общая постановка задач газовой динамики и методьi их упрощения

Базовые физические законы и основные уравнения газовой динамики.

Уравнения состояния. Реологические свойства газов. Сжимаемость. Классификация задач газовой динамики. Область течения.

Начальные и граничные условия.

«Инженерам, проектирующим самолеты и газовые машины, необходимо знать давление, касательное напряжение, температуру и вектор потока тепла, возникающие на поверхности данного твердого тела или системы тел в потоке жидкости с заданными параметрами. Главной задачей газовой динамики как научной дисциплины является получение сведений об этих величинах. Если в дополнение к указанным выше характеристикам заданы также вектор скорости и плотность жидкости, то обычно считают, что состояние жидкости полностью определено. Задача газовой динамики полностью решена, если все перечисленные выше величины определены для каждой точки заданной области пространства в каждый момент времени в пределах определенного интервала».

 (Цянь Сюэ-сень) с.9

Базовые физические законы и основные уравнения газовой динамики

Газовая динамика имеет простую логически стройную структуру. Анализ всех течений и решение всех задач базируется всего лишь на четырех основных законах физики и шести основных уравнениях гидрогазодинамики, выражающих в математической форме все те же четыре основных закона:

закон сохранения массы - уравнение неразрывности (уравнение расхода, в частности);

закон сохранения импульса (второй закон Ньютона о движении) – уравнение количества движения в проекциях на оси произвольно выбранной системы координат (система из трех уравнений движения – уравнений Навье – Стокса, например);

закон сохранения и превращения энергии – уравнение энергии (уравнение Бернулли, в частности);

второй закон термодинамики – уравнение изменения энтропии газа.

«В общем случае эти шесть уравнений являются независимыми. В частных случаях все они остаются справедливыми, но некоторые могут быть зависимыми. Например, при течении несжимаемой жидкости (ρ=const.) неизвестных остается пять, и уравнения количества движения и энергии становятся зависимыми.

В дополнение к перечисленным фундаментальным законам используются и другие вспомогательные законы и уравнения, описывающие конкретные свойства изучаемых жидкостей: уравнение состояния совершенного газа, законы Ньютона о трении в жидкостях, Фурье – о теплопроводности, Фика – о диффузии и т.п.».

 (Сергель) с.7

«Использование основных теорем механики и законов сохранения материи и энергии еще не позволяют дать описание движений жидкостей и газов. Системы уравне­ний, составленные на основе использования этих законов, оказываются незамкнутыми, число неизвестных в этих уравнениях превосходит число самих уравнений. Поэтому для замыкания систем приходится использовать дополнительные физические закономерности, характеризующие термические, калорические и транспортные свойства рассматриваемых сред, такие как вязкость и теплопроводность. Лишь при использовании дополнительных соотношений удается получить замкнутые системы уравнений, описывающие движение жидкостей или газов».

 (Ден) с.11 …12

«Неизвестными величинами в задачах газовой динамики являются термо­дина­ми­ческие переменные p, ρ и T, вектор скорости w с компонентами w_i, вектор потока тепла Q с компонентами Qi и тензор вязких напряжений τ_ij. Внутренняя энергия u и энтальпия h известны, если определены термодинамические переменные. Таким образом, … основных уравнений – уравнения неразрывности, уравнений движения, уравнения энергии, вместе с уравнением состояния жидкости, еще недостаточно для решения задачи, так как число неизвестных превосходит число уравнений. Для того чтобы полностью поставить задачу, необходимы дополнительные уравнения.

Так как любая жидкость при микроскопическом рассмотрении состоит из громадного числа молекул, то основным подходом к решению задач газовой динамики является использование принципов статистической механики. Предположим, что справедливы законы классической механики; пусть общее число частиц равно N , а число степеней свободы каждой частицы равно n. Любое мгновенное состояние системы частиц представляется точкой фазового пространства Гиббса, причем nN координат этой точки соответствуют координатам системы и nN координат соответствуют ее импульсам; общее число измерений пространства равно 2nN. Основной задачей статистической механики является определение вероятности нахождения изображающей точки системы N частиц в любой точке фазового пространства для каждого момента времени или функции распределения вероятностей 2nN координат фазового пространства и времени t. Если это сделано, то любую макроскопическую характеристику жидкости, например поток или напряжения, можно вычислить при помощи вероятностного осреднения. Этот процесс осреднения был недавно выполнен Ирвингом и Кирквудом ¹.

Общая задача нахождения функции распределения вероятностей является, конечно, очень трудной. К счастью, для газов при обычных и даже низких давлениях плотность такова, что следует учитывать только парные соударения. Другими словами, когда две молекулы приближаются друг к другу на расстояние, настолько близкое, что имеется значительное взаимодействие, то другие молекулы газа можно считать расположенными настолько далеко, что они не оказывают влияния на две взаимодействующие молекулы. Кинетическая теория газов основывается именно на концепции о парном «соударении». Вводится соответствующее большое упрощение функции распределения вероятно­стей, согласно которому рассматривают функцию распределения вероятностей только для одной молекулы. Эта функция распределения определяется одним интегро-дифференциальным уравнением, так называемым уравнением Больцмана.

Чепмен и Энског ² предположили, что изменения функции распределения в пространстве и во времени малы, и вычислили поток тепла и тензор вязких напряжений в форме

Q_i = - λ(∂T⁄∂x_i), (1)

τ_ij =µ (∂w_i⁄∂x_j + ∂w_j⁄∂x_i) + [µ’ − (2⁄3)µ] δ_ij (∂w_k⁄∂x_k), (2)

где λ – коэффициент теплопроводности, µ – обычный коэффициент вязкости и µ’ – второй коэффициент вязкости. (Здесь в выражении для тензора во втором слагаемом присутствует широко используемый в тензорном анализе так называ­емый символ Кронекера, определяемый условиями δ_ij =1 при i=j, δ_ij =0 при i≠j – В.Г.). Таким образом, коэффициент µ связан как с касательными, так и с нормальными напряжениями. Однако очень часто только касательные напряжения существенны, так как дивергенция ∂w_k⁄∂x_k бывает мала по сравнению с деформациями сдвига. Коэффициент µ’ связан только с нормальным напряжением, и его влияние исчезает, когда эта дивергенция равна нулю. Таким образом, µ’ представляет собой коэффициент вязкости для скорости объемного расширения или сжатия. Коэф­фициенты µ и µ’ определяются из законов взаимодействия между молекулами и зависят от молекулярных характеристик. Например, µ’ обращается в нуль, если молекула не имеет внутренних степеней свободы или если внутренние степени свободы не возбуждаются. Для многоатомных молекул µ’ не равно нулю».

 (Цянь Сюэ-сень) с.17…18

«Дифференциальные уравнения газовой динамики, записанные в координатной форме, сложны, их вывод требует большого времени и большого количества бумаги. Значительно удобнее при их получении использовать векторную алгебру и самые начала тензорного анализа: тензорные обозначения и простейшие тензорные преобразования».

 (Ден) с.13

Будем и мы в дальнейшем там, где это возможно и не препятствует пониманию основной идеи излагаемого вопроса, пользоваться векторной формой записи уравнений и тензорными выражениями. Тем более что выше только что был уже сделан первый шаг в этом направлении.

Уравнение движения, записанное в векторной форме, следует из теоремы об изменении количества движения механической системы, в качестве которой выбрана среда внутри произвольного жидкого объема V : производная по времени от главного вектора количества движения K равна сумме объемных и поверхностны сил, приложенных к рассматриваемому объему:

dK/dt= _v∫ρŘdV +_s∫(n∙σ_ij)dS, (3)

причем

K= _v∫ρ w dV.

(Здесь приняты следующие обозначения:

K – вектор количества движения; Ř – вектор равнодействующей объемных сил;

σ_ij – тензор напряжений; n – вектор внешней нормали; ρ – плотность;

V – объем; S – поверхность объема; w – вектор скорости).

После преобразования производной с учетом того, что d(ρdV)/dt =0 (на основании закона сохранения массы) получаем:

dK/dt= _v∫ρ(dw/dt)dV.

От поверхностного интеграла перейдем к объемному:

_s∫(n∙σ_ij)dS = _v∫divσ_ij dV,

и тогда, после переноса всех членов в левую часть, имеем:

_v∫(ρ∙dw/dt - ρŘ – divσ_ij)dV = 0.

Вследствие произвольности объема V подинтегральное выражение можно при­рав­нять нулю (в случае, если внутри V нет поверхностей разрыва подынтегрального выражения) и тогда

ρ(dw/dt) = ρŘ + divσ_ij (4)

- это дифференциальное уравнение движения в векторной форме.

Теорема об изменении кинетической энергии и мощности внутренних сил: производная по времени от кинетической энергии жидкого объема V равна сумме мощностей объемных, поверхностных и внутренних сил рассматриваемой механической системы, дает в векторной форме следующее уравнение для изменения кинетической энергии жидкости (газа):

(1/2)ρ(dw²/dt) = ρ(Ř∙w) + div(σ_ij w)- σ_ijε_ij. (5)

В соответствии с законом сохранения энергии производная по времени от полной энергии движущегося объема V равна сумме мощностей внешних объемных и поверхностных сил и удельного количества энергии в единицу времени, подведенного к этому объему. Если u – удельная внутренняя энергия, то полная энергия объема V равна:

_v∫ρ(u + w²/2)dV,

и можно получить векторное дифференциальное уравнение:

ρd(u + w²/2)/dt= ρ(Ř∙ w) + div(σ_ij w)+ ρq. (6)

где q – удельное количество энергии, подведенной извне в единицу времени к данной частице (объему) среды, заключающее в себе отличные от работы макроскопических механических сил тепловые и нетепловые виды энергии. В частности, когда теплота подводится благодаря теплопроводности, согласно закону Фурье:

q= div(λ gradT), (1*)

здесь λ – коэффициент теплопроводности газа, T – температура.

Вычитая из (6) уравнение, полученное на основании теоремы об изменении кинетической энергии (5), получим:

ρ(du/dt)= + (σ_ijε_ij) + ρq. (7)

Это уравнение удобно использовать в том случае, когда рассматривается течение несжимаемой жидкости.

Учитывая известное из термодинамики соотношение h=u+p/ρ, уравнение энергетического баланса (7) можно записать в виде:

ρ(dh/dt) = dp/dt + p div w + (σ_ijε_ij) + ρq, (7.1)

так как

d(p/ρ)/dt =(1/ρ)( dp/dt +p div w).

Иногда при решении задач газовой динамики удобно использовать такую форму уравнения энергетического баланса:

ρ( du/dt) = -pdiv w + (τ_ijε_ij) +ρq. (7.2)

Уравнения сплошности (неразрывности), движения и баланса энергии получены на основании общих законов физики и механики, однако эти уравнения не образуют еще замкнутую систему уравнений, в которой число неизвестных совпадает с числом уравнений. В полученной системе из трех векторных уравнений, или пяти в проекциях на координатные оси, неизвестны три проекции скорости, плотность, давление и температура, шесть компонент тензора напряжений, энтальпия и коэффициент теплопроводности, то есть всего 14 неизвестных, зависящих от времени и координат.

Для замыкания системы ее необходимо дополнить зависимостями, характе­ри­зу­ю­щими реологические, термодинамические и транспортные свойства рассматриваемой сплошной среды. Реологические характеристики позволяют установить связь между компонентами тензора напряжений σ_ij, скоростью w и давлением p. Термодина­мические свойства характеризуются термическими и калорическими уравнениями состояния интересующего нас вещества, а транспортные свойства³ включают в себя зависимости теплопроводности λ и динамической вязкости μ от температуры T и давления p .