Сжимаемость жидкости
Сжимаемость – это свойство жидкости изменять плотность (объём) при изменении давления и температуры. Для количественной оценки сжимаемости используются изотермический коэффициент сжимаемости βp и коэффициент температурного расширения βΤ. Причем, первый отражает относительное изменение плотности жидкости при изменении только давления (при T= Const), а второй – то же явление, но при изменении только температуры жидкости (при p= Const).
Для решения вопроса о необходимости учета сжимаемости при исследовании того или иного течения жидкости, т.е. для выбора модели – сжимаемой или несжимаемой жидкости, необходимо знать изменения давления и температуры в рассматриваемой области течения и оценить вызванное ими относительное изменение плотности. Обычно для многих задач прикладной газовой динамики, если они не связаны с исследованием пограничного слоя, учет температурного расширения жидкости не является актуальным; наибольший интерес представляет сжимаемость жидкости, обусловленная изменением давления.
Относительное изменение плотности ∆ρ/ρ при заданном изменении давления ∆p пропорционально изотермическому коэффициенту сжимаемости βp и обратно пропорционально модулю упругости , поскольку βp и по определению являются величинами обратными друг другу:
∆ρ/ρ = βp ∆p = ∆p / – закон Гука для жидкости.
Сжимаемость свойственна всем жидкостям (и капельным и газам), однако её количественное проявление будет различным в зависимости от физических свойств среды. Капельные жидкости малосжимаемы или практически несжимаемы, поскольку их модули упругости достаточно велики (например, для воды =2∙109 Па). По сравнению с капельными жидкостями сжимаемость газов очень велика: при атмосферном давлении и изотермическом процессе сжимаемость воздуха в 20 тысяч раз больше сжимаемости воды.
При изотермическом процессе течения газа (T=Const; p/ρ=RT=Const; dp/dρ=p/ρ):
= dp / dρ/ρ= p/ρ/ρ= p,
т.е. сжимаемость газов тем больше, чем меньше давление. При атмосферном давлении модуль упругости воздуха = p=B= 105 Па, что в 2·104 раза меньше величины модуля упругости воды (см. выше).
При изоэнтропном процессе течения газа ( p/ρk= Const; dp/dρ=kp/ρ):
= dp / dρ/ρ= kp,
т.е. сжимаемость газов определяется не только давлением, но и показателем изоэнтропы k, уменьшаясь с его увеличением.
Течение жидкости допустимо рассматривать как несжимаемое до тех пор, пока относительное изменение плотности ∆ρ/ρ остается весьма малым, т.е. ∆ρ/ρ<<1. При энергоизолированном движении изменение давления ∆p, связанное с процессом течения, имеет величину такого же порядка, как и динамическое давление ρw2/2; поэтому ∆ρ/ρ≈ ρw2/2 . Таким образом, течение жидкости можно рассматривать как несжимаемое до тех пор, пока динамическое давление остается весьма малым по сравнению с модулем упругости. Если ввести в рассмотрение скорость звука a, которая согласно формуле Лапласа определяется равенством a2= /ρ, то условие ∆ρ/ρ<<1 можно переписать в виде ∆ρ/ρ≈ ρw2/2 ≈ (w/a)2/2<<1. Отношение скорости течения w к скорости звука a называют числом Маха: М=w/a . Таким образом, течение можно рассматривать приближенно как несжимаемое если М2/2 <<1, т.е. при условии, что число Маха мало по сравнению с единицей (обычно принято считать – при М≤ 0.3 … 0.4), или другими словами, при условии, что скорость течения мала по сравнению со скоростью звука. При М=0.3, например, относительное изменение плотности составит ∆ρ/ρ≈ М2/2=0.32/2≈0.05, т.е. порядка 5%.