Основные понятия теории графов
Аппарат теории графов широко используется в различных приложениях и, в частности, в математическом обеспеченииСАПР. Основные области его применения — математическое моделирование и задачи структурного синтеза.
Графом 
называют
совокупность множества вершин 
и
ребер 
,
если каждое ребро
|
|
(1) |
инцидентно
двум вершинам, другими словами, является
связью двух вершин. В частном случае в
качестве этих двух вершин может дважды
выступать одна и та же вершина, тогда
ребро называется петлей. Инцидентность -
отношение типа "лежит на" или
"проходит через". Если связываемые
вершины 
и 
в
(1) упорядочены, то ребро становится
направленным и называется дугой.
Граф с направленными связями
называют направленным
графом (ориентированным
графом или орграфом), в противном случае
— ненаправленным (неориентированным).
Граф называют смешанным, если в нем
имеются как ребра, так и дуги. Ребра,
соединяющие одинаковые вершины, —
кратные или параллельные. Граф без
петель, но с кратными ребрами — мультиграф.
Максимальное число кратных ребер
называется мультичислом графа.
Две вершины (ребра) называют смежными, если они инцидентны одному и тому же ребру (вершине). Граф, в котором все вершины попарно смежны, — полный граф. Граф, в котором перемещаясь по ребрам от вершины к вершине, можно попасть в любую вершину, — связный граф. Граф без ребер называют нуль-графом (пустым графом), а вершины, не имеющие инцидентных ребер, называют изолированными. Вершина, инцидентная только одному ребру, называется висячей.
Число
ребер (дуг), инцидентных некоторой
вершине 
,
есть степень вершины 
. Полустепень захода
вершины определяется числом входящих
в вершину дуг, а полустепень исхода —
числом исходящих дуг. Граф называется
однородным (регулярным) степени t, если
степени всех вершин одинаковы и равны
t.
Граф 
является частичным
графом (суграфом)
графа 
,
если 
.
Т.е. в частичном графе сохраняются все
вершины, а некоторые ребра опущены. Если
опущены некоторые вершины и инцидентные
им ребра, получим подграф.
Граф 
называется куском
графа 
,
если 
и
в 
входят
все ребра из 
,
инцидентные 
.
При удалении из графа некоторых вершин с инцидентными им ребрами и возможно еще некоторых отдельных ребер получаем частичный подграф.
Вершинам и (или) ребрам могут быть приписаны некоторые количественные или качественные признаки, называемые весами, тогда граф называют взвешенным.
Последовательность ребер графа, в которой любая пара соседних ребер имеет одну и ту же инцидентную вершину, называют маршрутом. В орграфах аналогом маршрута является путь, т.е. такая последовательность дуг, в которой конец одной дуги является началом другой дуги. Маршрут, все ребра которого различны, является цепью, а если различны все вершины, то маршрут — простая цепь. Замкнутая цепь является циклом, замкнутая простая цепь — простым циклом. Цикл, содержащий все ребра графа, называют эйлеровым циклом, а граф, имеющий эйлеров цикл, — графом Эйлера. Простой цикл, который включает все вершины графа, называют гамильтоновым циклом. Для орграфов понятиям цепь и цикл соответствуют понятия путь и контур. Простой путь - путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды. Элементарный путь - путь, в котором ни одна вершина не встречается дважды. Контур - путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной. Длиной пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если послед ние заданы).
|
|
Рис. 1. Пример графа
Деревом
графа называют
связный неориентированный граф без
циклов. Если при этом граф несвязный,
то его название — лес. Любое дерево,
построенное на п вершинах, содержит 
—1
ребер, а лес, состоящий из 
вершин
и 
деревьев,
имеет 
—
ребер.
Если дерево содержит все вершины графа,
то это остов или остовное дерево
(покрывающее
дерево).
Дерево
может быть выделено из любого (ненулевого)
графа. Если дерево — покрывающее, то
множество ребер графа разбивается на
подмножество ветвей и подмножество
хорд (дополнений ребер дерева). При этом
связный граф, имеющий п вершин и k ребер,
содержит 
—1
ветвей и 
-
+1
хорд. Если граф несвязный, то число хорд,
входящих в дополнение леса, равно 
-
+
.
Ориентированное дерево называется
прадеревом. Начальная вершина прадерева
называется корнем.
Граф можно задать в виде рисунка, на котором вершины изображены точками или кружками, а ребра линиями (например, рис. 1), с помощью матрицы инцидентности или матрицы смежности, показанных для графа рис. 1 в табл. 1 и табл. 2 соответственно.
В
матрице инцидентности столбцы
соответствуют вершинам, а строки —
ребрам. Если вершина 
инцидентна
ребру 
,
то 
й
элемент матрицы неориентированного
графа равен единице, иначе нулю. В орграфе
элемент матрицы инцидентности равен
+1, если дуга входит в вершину, и -1, если
выходит из вершины. Для неориентированного
графа суммы элементов матрицы в каждой
строке и в каждом столбце равны степеням
соответствующих вершин.
Таблица 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
В
квадратной матрице смежности 
й
элемент равен числу ребер, соединяющих
вершины 
и 
.
Если
вершины графа распределены на два
подмножества 
и 
таким
образом, что связи имеются только между
вершинами разных подмножеств, то такой
граф называют двудольным
графом (графом
Кёнига).
К графам применимы все операции, выполняемые над множествами (объединение, пересечение, разность, произведение).
Таблица 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Ребро, удаление которого приводит к замене графа на два не связанных между собой подграфа, называют перешейком. Вершина, в которой граф можно разделить на две компоненты связности путем дублирования этой вершины в обеих компонентах, называется расщепляющейся.
При
изображении графа в виде геометрической
фигуры существует большая свобода в
размещении вершин и ребер (дуг) в
пространстве. Два графа называются
изоморфными, если они имеют одинаковое
число вершин и если каждой паре вершин,
соединенных ребром (дугой) в одном графе,
соответствует такая же пара вершин,
соединенных ребром (дугой) в другом
графе. Граф 
изоморфно
вкладывается в граф 
,
если 
изоморфен
какому-либо суграфу или подграфу графа 
.
Ребрам (дугам) и вершинам графа часто приписываются количественные и качественные признаки, характерные свойства, называемые весами. Вес может означать длину соединения, пропускную способность канала связи, интенсивность переходов и т.п.. Взвешенные ориентированные графы называются сигнальными графами.