Лабораторная работа 113 изучение колебаний в связанных системах

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: получение биений в сопряженных маятниках и представление их через нормальные моды колебаний связанной системы.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: установка ФПМ – 13

В реальных системах тело нередко совершает сложное движение, складывающиеся из нескольких колебаний. Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Результирующее движение при этих условиях будет представлять биение.

Биения – периодическое изменение амплитуды результирующего колебания, возникающее при сложении двух гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Получим уравнение такого процесса.

Если амплитуда А обоих колебаний одинаковы, частота первого колебания ω, а второго ω + ∆ω, то уравнения колебаний будут иметь вид

:

,

. (1)

Сложив эти выражения и применив формулу для суммы косинусов, получим

. (2)

Так как в случае биений ∆ω<<ω, то результирующее уравнение примет вид

. (3)

Такое уравнение описывает гармоническое колебание со средней частотойω и амплитудой , меняющейся по некоторому периодическому закону (рис. 1а).

Проанализируем данную функцию.

По определению амплитуда всегда положительная величина, поэтому ее в формуле (3) следует рассчитывать по модулю, т.е. .

Известно, что период изменения │сosφ│в два раза меньше периода функции сos φ. Соответственно, частота изменения |сos φ| в два раза больше частоты изменения сos φ. Таким образом, амплитуда функции (3) меняется во времени не с частотой, а с частотой∆ω (рис. 1б)

Отметим, что первый множитель в функции (3) периодически меняет знак, поэтому он определяет не только амплитуду, но и фазу колебания. Последнее видно из рис. 1а, где точки М₁ и М₂, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки.

Характерную картину биений можно наблюдать в результате сложения колебаний с близкими частотами в связанных системах. Примером такой системы являются два маятника, закрепленные на общей оси и связанные между собой с помощью пружины (рис. 2а).

Система приходит в движение при отклонении одного из маятников от положения равновесия (рис. 2б). Колеблясь, 1 – й маятник выводит из равновесия 2 – й маятник и вызывает его биения. В момент, когда амплитуда результирующего колебания второго маятника достигает максимума, амплитуда первого уменьшается до минимума. Затем колебания 2 – го маятника вызывают биения 1 – го, и процесс периодически повторяется. Амплитуда отклонения маятников от положения равновесия в такой системе по очереди изменяется от нуля до максимума, энергия периодически перекачивается из одного маятника в другой, и обратно. Период биений Т_б может быть определен как промежуток времени между двумя очередными максимальными отклонениями маятника от положения равновесия либо между двумя последовательными нулевыми отклонениями.

Ранее было показано (см. введение к настоящей работе, что биения в связанных системах могут быть представлены в виде суперпозиции двух нормальных мод с собственными частотами ₁ – “синфазного” и ₂ – “противофазного” колебаний. Причем частота колебаний маятников , частота биенийΔω =ω₁ – ω₂ .

В данной работе предлагается экспериментально проверить справедливость этого утверждения.