Вынужденные колебания и резонанс
Если на тело с массой m действуют упругая сила Fу = -kX, сила трения и внешняя периодическая сила , то оно совершает вынужденные колебания. В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид
, или , (33)
где , - коэффициент затухания, - собственная частота свободных незатухающих колебаний тела, F0 – амплитуда, ω – частота периодической силы.
В начальный момент времени работа внешней силы превосходит энергию, которая расходуется на трение (рис. 6). Энергия и амплитуда колебаний тела будет возрастать до тех
п ор, пока вся сообщаемая внешней силой энергия не будет целиком расходоваться на преодоление трения, которое пропорционально скорости. Поэтому устанавливается равновесие, при котором сумма кинетической и потенциальной энергии оказывается постоянной. Это условие характеризует стационарное состояние системы.
В таком состоянии движение тела будет гармоническим с частотой, равной частоте внешнего возбуждения, но вследствие инерции тела его колебания будут сдвинуты по фазе по отношению к мгновенному значению внешней периодической силы:
X = AСos(ωt + φ). (34)
В отличие от свободных колебаний амплитуда А и фаза вынужденных колебаний
зависят не от начальных условий движения, а будут определяться только свойствами колеблющейся системы, амплитудой и частотой вынуждающей силы:
, (35)
. (36)
Видно, что амплитуда и сдвиг по фазе зависят от частоты вынуждающей силы (рис.7 и 8).
Характерной особенностью вынужденных колебаний является наличие резонанса. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте свободных незатухающих колебаний тела ω0 носит название механического резонанса. Амплитуда колебаний тела при резонансной частоте достигает максимального значения:
(37)
По поводу резонансных кривых (см. рис. 7) сделаем следующие замечания. Если ω→ 0, то все кривые (см. также (35)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению , так называемому статистическому отклонению. Если ω→ ∞, то все кривые асимптотически стремятся к нулю.
При условии малого затухания (β2 ‹‹ω02) резонансная амплитуда (см.(37))
(37а)
При этом условии возьмем отношение резонансного смещения к статическому отклонению.
,
из которого видно, что относительное увеличение амплитуды колебаний при резонансе определяется добротностью колебательной системы. Здесь добротность является по сути коэффициентом усиления отклика системы и при малом затухании может достигать больших значений.
Это обстоятельство обусловливает огромное значение явления резонанса в физике и технике. Его используют, если хотят усилить колебания, например, в акустике – для усиления звучания музыкальных инструментов, в радиотехнике – для выделения нужного сигнала из множества других, отличающихся по частоте. Если резонанс может привести к нежелательному росту колебаний, пользуются системой с малой добротностью.