8035

1

Пример.

–

числовая

последовательность

n

1

1

1

1

1

1

,

,

,

,

,

, так

как xn

–

формула общего члена

n

n 1

2 3 4

1

последовательности.

При n 1: x

1

1

.

1

1 1

2

При n 2 :

x

1

1

.

2

2 1

3

При

n 3: x

1

1

и т.д.

3

3 1

4

0 существует

такое

натуральное

число

N , что для всех членов

последовательности

с

номерами

n N

выполняется неравенство

xn a

. В краткой записи это выглядит так:

0 N n N

xn a

и обозначается: lim xn a .

n

Определим

–

окрестность точки

a

как множество

всех x ,

удовлетворяющих

условию:

x a

,

что эквивалентно

двойному

x1

xN 1

xN 2 xn

x2

a

a

a

Рис. 52

пределу a будем обозначать как xn a .

Пример. Доказать по определению, что lim

1

0 .

n n

Решение.

Возьмем любое

сколь угодно

малое

0 .

Имеем:

1

0

, когда

1

или

n

1

. Значит существует такой номер

N ,

n

n

равный целой

части

числа

1

,

то есть такое

целое

число

N ,

что

N

1

N 1,

то есть

N

1

,

начиная с которого все последующие

члены с номерами

N , N 1,

N 2, N 3, ... будут находиться в –

окрестности точки

x 0, то есть в интервале ; . (См. рис.53). При

1

1

0,2

N

5, при

0,01

N

100 .

0,2

0,01

1

1

N 2

1

N 3

N 1

0

Рис. 53

Замечание.

lim xn означает, что 0

N ,

n N xn ;

n

22

lim xn означает, что 0

N , n N xn .

n

lim xn a

и lim yn b , то

n

n

1)

lim c c , c const ;

n

2)

lim

c xn c lim xn

c a ,

c const ;

n

n

3)

lim

xn

yn lim xn

lim yn

a b;

n

n

n

4)

lim

xn

yn lim xn lim yn

a b ;

n

n

n

x

n

lim xn

a

, если b 0;

5)

lim

n

y

lim y

b

n

n

n

n

6)

lim

1

0, если lim x a .

n x

n

n

n

Пусть

требуется

найти

предел

lim

xn

отношения

двух

y

n

n

последовательностей, сходящихся к бесконечности,

то есть

lim xn

и

n

выражение

xn

к виду, допускающему применение указанных свойств. В

yn

связи с этим

выражение

называется неопределенностью, а его

Пример.

Вычислить lim

n2 2n 3

.

n

3

1

n

Решение. Разделим числитель и знаменатель на n3

– наибольшую из

степеней n в числителе и знаменателе:

n2

2n

3

1

2

3

lim

n3

n3

n3

lim

n

n2

n3

3

1

1 1

n

n

n

n3

n3

n3

lim

1

2 lim

1

3lim

1

0 2 0 3 0

0

n n

n n2

n n3

0 .

1

1

1 lim

1 0

n n3

Пределом функции y f x в точке

x x0 называется такое число

A, что для

любой последовательности

xn значений

аргумента x ,

сходящейся

к числу x0 , последовательность yn ,

yn f xn

и lim g x , то

x a

1)

lim c f x c lim f x , c const ;

x a

x a

2)

lim

f

x g x lim

f x lim g x ;

x a

x a

x a

3)

lim

f

x g x lim

f x lim g x ;

x a

x a

x a

24

4) lim

1

0 (или ), если lim

f x (или 0);

f x

x a

f x

x a

f x

lim

, если lim g x 0 .

5) lim

x a

g x

lim g x

x a

x a

x a

Пример. Вычислить lim

x2

1

.

x

n 3x2

x2

1

1

x2 1

1

lim

lim

x2

x2

lim

x2

3x x

3x

2

x

1

n

2

x

x

3

x

x2

x2

lim 1 lim

1

x2

1 0

1

x

x

.

3 0

lim 3 lim

1

3

x

x x

замечательный предел: lim

sin x

1 и следствия из него:

x

x 0

lim

tg x

1;

lim

arcsin x

1;

lim

arctg x

1;

x

x

x

x 0

x 0

x 0

1

x

1

и второй замечательный предел:

lim 1

lim 1 x

e .

x

x

x

x

Пример. Вычислить предел

lim

sin 2x

.

x 0

arctg 3x

Решение.

lim

sin 2x

0

2

lim

sin 2x

3x

arctg 3x

0

arctg3x

x 0

3

x 0

2x

2

lim

sin 2x

lim

3x

3 x 0

2x

x 0

arctg3x

t 2x

2

lim

sin t

lim

y

2

1 1

2

.

y 3x

3 t 0

t

y 0

arctgy

3

3

2

1 lim

1

3 x

lim 3 x

2

1

2

1

x

lim 1 3x

3x

ex 0

x

e 6

.

x

3 x

e

x 0

x 0

6

Общий метод (правило Лопиталя) вычисления пределов в случаях

0

неопределенности

и

рассматривается

в дифференциальном

0

исчислении.

Пусть y f x функция от x , имеющая пределом число

A, когда

x стремится к числу a .

Предположим,

что все значения величины x

меньше, чем число a ,

то есть x a . Символически это выражается очень

удобной записью:

x a 0

(вместо

x a, x a).

Тогда

предел

lim f x A1 называют пределом функции

f x в точке x a слева или

x a 0

левосторонним пределом.

Аналогично,

при

x a, x a ,

то

есть

x a 0

предел

lim f x A2 называют пределом функции

f x

в точке

x a справа

x a 0

2)

функция

f x имеет одинаковые односторонние пределы в этой

точке x0

, то есть

lim

f x lim

f x ;

x x0 0

x x0 0

3)

эти односторонние пределы должны быть равны значению

функции f x в этой точке x0 : lim

f x f x0 .

x x0

Функция y f x называется разрывной в точке

x x0 , если она

определена в сколь угодно малой окрестности точки x0 ,

но в самой точке

1

, при x 0

x

график y x2 , при 0 x 1.

2 x, при x 1

Решение.

Областью определения данной функции y является вся

числовая ось,

то

есть

D R .

Точками «подозрительными» на точки

разрыва являются точки

x1

0

и

x2 1, так как при переходе через эти

точки функция

y

меняет

свое

аналитическое выражение с дробно –

lim

y lim

1

1

x

0

x 0 0

x 0

lim y lim x2

1 0 2

1

x 1 0

x 1 0

lim y lim x2

2 x 2

2 1 0 1

x 1 0

x 1 0

y

y x2

1

0

1 2

x

y

1

y 2 x

x

Аргументу

x a;b

дадим

приращение

x ,

получим

точку

x x a;b .

Найдем

соответствующее

приращение

функции:

y f x x f x .

Составим отношение приращения

y

функции

y к приращению x аргумента

x :

y

и найдем предел этого отношения

x

при x 0,

то

есть

lim

y

. Если

этот

предел

существует,

то

его

x 0

x

называют

производной

функцией

от

данной функции

y f x

и

обозначают одним из символов:

dy

,

f

,

y x ,

dx

x

yx .

Итак, по определению

y x x y x

.

y

x lim

x

x 0

Функция

y f x ,

имеющая

производную

в каждой

точке

интервала

a;b ,

называется дифференцируемой в

этом

интервале, а

29

операция

нахождения

производной

функции

называется

дифференцированием.

y f x

Значения производной

функции

в

точке x x0

обозначается одним из символов: y x0 ,

f x0 или y

x x0 .

ей приращение x , получим новую

точку x x R . Находим

соответствующее приращение y функции

y x2 :