8035
.pdfИнтегрирование по частям.
Пусть u и v – две любые дифференцируемые функции от
u u x и v v x . Тогда дифференциал произведения u v вычисляется
по следующей формуле:
d uv udv vdu.
Отсюда, интегрируя обе части последнего равенства, находим:
d uv udv vdu ,
или
u v udv vdu,
откуда |
|
udv u v vdu . |
(4) |
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Она сводит нахождение интеграла
udv к нахождению интеграла vdu , и если функции u и v удается подобрать так, чтобы последний интеграл брался проще, чем исходный, то цель будет достигнута.
Пример. Найти xex dx .
Решение. Пусть u x , dv ex dx , тогда du x dx 1 dx dx ,
v ex dx ex . По формуле (4) находим:
xex dx xex ex dx xex ex C ,
xex dx x 1 ex C .
Пример. Найти x2 ln xdx.
60
Решение. Пусть u ln x , |
dv x2dx , тогда |
v x2dx
x2 ln xdx
x3
3
x3
3
. По формуле (4) находим:
ln x |
|
x3 |
|
1 |
dx |
x3 |
ln x |
1 |
|
x2dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
x |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x3 |
||||
x |
|
ln xdx ln |
x |
|
|
|
|
|
C . |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
x3
3
du ln x dx ,
ln x 1 x3 C , 3 3
§ 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Важным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных
понятий математического анализа.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
К понятию определенного интеграла приводят задачи вычисления площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел, вычисление работы,
массы неоднородных стержней, центров тяжести плоских фигур и дуг и т.д. Рассмотрим некоторые из них.
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией назовем плоскую геометрическую фигуру, ограниченную двумя прямыми x a и x b a b , отрезком
a,b оси OX и графиком некоторой непрерывной функции |
y f x , |
x a,b f x 0 . |
|
61
y |
y f x |
x0 a P1 x1 P2 x2 |
xn 1 |
Pn xn b x |
|
Рис. 20 |
|
Найдем площадь S этой фигуры. Для этого:
1) разобьем отрезок a,b произвольно расположенными, но
следующими друг за другом точками x0 |
a , x1 , x2 ,..., xn |
b ; |
|
|
||||||||||||
2) |
|
в |
каждом |
из |
полученных |
отрезков |
|
длины |
||||||||
xi xi |
xi 1 i |
|
1,2, ,n |
|
|
|
|
|
||||||||
1,n |
|
выберем |
произвольную |
|
точку |
|||||||||||
Pi xi 1 Pi |
xi |
и вычислим |
значение |
функции |
в этих точках |
f Pi |
||||||||||
i |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
рассмотрим |
прямоугольники |
с |
основаниями xi и |
высотами |
|||||||||||
f Pi |
i 1, 2,..., n |
и найдем их площади |
f Pi xi |
i 1, 2,..., n . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
n |
|
xi . Значение полученной |
||||
Сложив эти числа, получим сумму S |
f Pi |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
суммы |
~ |
приближенно равно |
площади S |
криволинейной |
трапеции |
|||||||||||
S |
||||||||||||||||
|
n |
|
xi |
|
|
|
|
|
|
i 1, 2,..., n , |
|
|
|
|||
S f Pi |
(чем мельче отрезки xi |
тем лучше будет |
||||||||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
это приближение);
62
4) |
введем обозначение: max xi . |
Для |
получения |
|
точного |
|||||||||||||
выражения площади S криволинейной трапеции надо перейти к пределу в |
||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
при 0 и n , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
полученной сумме S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
xi . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
S lim |
f Pi |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Масса линейного неоднородного стержня |
|
|
|
||||||||||||
|
Рассмотрим стержень постоянного |
сечения длины b a |
(отрезок |
|||||||||||||||
a,b ). Если стержень однородный, т.е. плотность |
в каждой |
точке |
x |
|||||||||||||||
которого постоянна и равна , то масса стержня |
M вычисляется |
по |
||||||||||||||||
формуле M b a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пусть стержень неоднородный и в каждой |
точке x |
известна |
|||||||||||||||
плотность f x . Найдем массу |
M этого неоднородного стержня. Для |
|||||||||||||||||
этого: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
разобьем |
|
отрезок |
|
a,b |
на |
n |
отрезков |
точками |
|||||||||
a x0 x1 ... xn |
b; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2) в каждом из полученных отрезков xi |
xi xi 1 i |
|
выберем |
||||||||||||||
|
1, n |
|||||||||||||||||
|
|
|
xi , |
|
|
f Pi |
||||||||||||
произвольную точку Pi |
i |
1, n |
|
и вычислим плотность |
||||||||||||||
i |
|
|
|
Pi . Будем считать, что на каждом отрезке xi |
||||||||||||||
1, n |
в каждой точке |
|||||||||||||||||
i 1, 2, , n плотность постоянна и равна |
f Pi . |
Тогда масса участка |
||||||||||||||||
xi приближенно равна |
f Pi xi ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
n
3) составим сумму f Pi xi . Она приближенно равна массе M
i 1
неоднородного стержня;
4) для получения точного выражения массы M стержня перейдем к
пределу при 0, max xi и n :
63
n
M lim f Pi xi .
0 i 1 n
Работа переменной силы на прямолинейном участке пути
Допустим, что некоторая сила |
f f x , направленная вдоль оси |
||||||||||||||||
OX , на отрезке a,b совершает работу (см. рис. 21). Если |
f |
const , то |
|||||||||||||||
работа A вычисляется по формуле A f b a . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определим работу A переменной силы f x на отрезке a,b : |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Рис. 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для этого: разобьем отрезок a,b с помощью произвольно |
|||||||||||||||||
расположенных, следующих друг за |
другом |
точек x0 |
a , |
x1 , x2 , |
..., |
||||||||||||
xn b . Это |
разбиение |
производим |
достаточно мелко, так, чтобы на |
||||||||||||||
|
xi xi |
xi 1 |
i |
|
|
|
|
f x |
|
|
|||||||
интервалах |
1, n |
величина |
практически |
не |
|||||||||||||
изменялась. |
Пусть |
она |
равняется |
f Pi |
, |
Pi |
xi , |
xi xi xi 1 |
|||||||||
i 1, 2, , n |
( Pi – |
произвольно выбранные точки). Величина работы |
|||||||||||||||
силы f Pi |
на участке xi вычисляется по формуле: Ai |
f Pi xi . |
|
||||||||||||||
Определение. Предел n -ой интегральной суммы для функции |
|||||||||||||||||
y f x |
на отрезке |
a,b |
при |
0 |
max xi |
|
и n |
||||||||||
называется определенным интегралом от функции y f x в пределах |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
x dx ), т.е.: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
от a до b (обозначение |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f Pi xi |
f x dx , |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
i 1 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования,
f x dx – подынтегральное выражение, f x – подынтегральная функция.
Одним из геометрических смыслов определенного интеграла
является то, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции.
Физический смысл определенного интеграла. Здесь его возможности очень широки. В частности, можно определить массу стержня, работу силы на заданном отрезке пути и т.д.
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла вытекают из основных свойств
сумм и пределов:
1. Постоянный сомножитель можно вынести за знак
определенного интеграла:
b |
b |
|
|
k |
f x dx k |
f x dx , |
k const . |
a |
a |
|
|
2.Определенный интеграл от алгебраической суммы двух
функций f1 x и |
f2 x , |
интегрируемых на a,b , равен алгебраической |
||
сумме определенных интегралов от этих функций, т.е. |
|
|||
|
b |
b |
b |
|
|
f1 x f2 x dx f1 |
x dx f2 |
x dx . |
|
|
a |
a |
a |
|
Данное свойство распространяется и на сумму любого конечного числа интегрируемых функций.
3.Если отрезок интегрирования a,b разбит точкой c на два
отрезка a, c и c,b , то интеграл по всему отрезку равен сумме
интегралов по его частям:
b |
c |
b |
f x dx f x dx f x dx . |
||
a |
a |
c |
|
|
65 |
Точка c может находиться и вне отрезка a,b .
4. Интеграл с равными пределами интегрирования a b равен нулю, т.е.
a
f x dx 0 .
a
5. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:
b |
a |
f x dx f x dx . |
|
a |
b |
6.Теорема о среднем значении:
Если y f x непрерывна на a,b , то существует такая точка c a,b , что справедливо следующее равенство:
b
f x dx f c b a .
a
Нетрудно понять геометрический смысл этого равенства: интеграл, стоящий слева есть площадь криволинейной трапеции. Произведение, стоящее в правой части равенства, - площадь равновеликого ей прямоугольника с высотой f c и основанием b a (см. рис. 22).
y
y f x
f c
a |
c |
b |
x |
Рис. 22
66
|
|
1 |
|
h |
Число f c |
|
|
f x dx называется средним значением |
|
|
|
|||
|
|
b a a |
||
функции |
f x на отрезке a,b . |
|||
7. |
Производная |
от определенного интеграла по переменному |
верхнему пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела:
x |
|
|
f x . |
|
f t dt |
|
|
a |
x |
|
|
Вычисление определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.
Теорема. Если F x – одна из первообразных непрерывной на
отрезке a,b функции |
f x , то |
справедлива следующая |
формула |
||
Ньютона-Лейбница: |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
f x dx F x |
|
ba |
F b F a . |
(4.1) |
|
|
a
Доказательство. Доказательство проведем, используя свойство 7.
обозначим определенный интеграл с переменным верхним пределом
x |
|
|
x |
|
через функцию F x , |
|
F x |
f t dt . Тогда в силу |
|
f t dt |
т.е. |
|||
a |
|
|
a |
|
|
|
x |
|
f x . Следовательно, |
свойства 7 можно записать F x |
f t dt |
|||
|
|
a |
x |
|
F x является одной из первообразных для интеграла |
x |
f t dt . Так как, |
|
||
|
a |
|
все первообразные отличаются на постоянную, то имеет место равенство
67
x
f t dt F x C , a x b, где C – некоторое число. Подставляя в
a
|
a |
|
это равенство значение x a , имеем |
f t dt F a C |
|
|
a |
|
0 F a C |
|
C F a , т.е. |
для |
любого x a,b |
имеем |
|||||
x |
f t dt F x F a . |
|
x b, |
|
|
|
|
|
||
|
Полагая |
получаем соотношение |
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
f x dx F b F a . |
|
|
|
F b F a F x |
|
ba . |
|||
|
Обозначим |
разность |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда формулу |
Ньютона-Лейбница можно |
записать в |
виде |
b
f x dx F x ba F b F a . Теорема доказана.
a
Замечание. Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что
вычислении определенного интеграла надо найти первообразную
для подынтегральной функции и вычислить разность
Следовательно, формально все сводится к вычислению неопределенного интеграла, и здесь применимы все методы вычисления неопределенного интеграла.
2
Пример. Вычислить x2 dx .
1
|
Решение. |
|
Взяв |
неопределенный интеграл x2 dx |
x3 |
C и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
воспользовавшись формулой (4.1), решаем: |
|
||||||||||||||||||||||
x2 dx x |
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 8 1 7 2 1 . |
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
|
|
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
Вычисление определенного интеграла
заменой переменной
Для вычисления определенного интеграла заменой переменной поступают так же, как и при нахождения неопределенного интеграла заменой переменной. Но при этом есть одна особенность, суть которой заключается в том, что неопределенный интеграл есть функция, а
определенный интеграл есть число.
Как было показано в примере выше (см. п. 4 § 3), для того, чтобы при помощи замены переменной привести заданный неопределенный интеграл к табличному, аргумент выражают через новую переменную, затем находят неопределенный интеграл, и полученный результат снова выражают через первоначальный аргумент. В случае же определенного интеграла нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной.
Таким образом, для вычисления определенного интеграла заменой переменной пользуются формулой:
b |
d |
|
(4.2) |
f x dx f t t dt , |
|||
|
|
|
|
a |
c |
|
|
где c и d , отличные от a и b пределы интегрирования, находятся из
подстановки x t , т. |
е. |
a c , |
b d , где t непрерывна |
||||
вместе со своей первой |
производной |
t |
на промежутке |
, и |
|||
монотонна |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить |
|
|
. |
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
||
Решение. Заменяя |
3x 2 t , находим |
|
|
||||
3x 2 dx t dt , или |
3dx dt , откуда dx dt3 . Найдем новые пределы интегрирования по формуле: t 3x 2 .
69