8035
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А.В.Бесклубная
МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям
по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент,
направленность (профиль) Производственный менеджмент
Нижний Новгород
2018
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А.В.Бесклубная
МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям
по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент,
направленность (профиль) Производственный менеджмент
Нижний Новгород
2018
2
УДК 517.9
Бесклубная А.В. Математика [Электронный ресурс]: учеб. -метод. пос. /А.В.Бесклубная; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун-т.- Н. Новгород: ННГАСУ, 2018. – 77 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-R).
Содержит методические рекомендации по подготовке к лекциям и практическим занятиям по основным разделам дисциплины «Математика»
Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент, направленность (профиль) Производственный менеджмент.
© А.В. Бесклубная, 2018 © ННГАСУ, 2018
3
§ 1. Линейная алгебра Матрицы и действия над ними
Матрицей порядка m n называется прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m строк и n столбцов.
Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые
скобки и обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Пример.
|
|
1 |
2 |
3 |
|
– матрица порядка 2 3. |
1. |
A |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
B 1 |
2 |
3 |
– матрица – строка порядка 1 3. |
||
1
3.C – матрица – строка порядка 2 1.
2
Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов,
называется квадратной.
1 2
Пример. D – квадратная матрица порядка 2 2.
3 4
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Элементы матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца, в которых рассматриваемый элемент матрицы находится.
|
|
1 |
2 |
3 |
|
Пример. |
A |
|
|
|
. |
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
a2 3 6 –элемент матрицы A, находящийся во второй строке и в третьем столбце.
Заметим, что матрицу A порядка m n можно записать так:
A ai j , i 1, m; j 1, n .
4
Две матрицы порядка m n считаются равными, если все
соответствующие элементы этих |
матриц |
равны. То |
есть A B , |
если |
|||||||||||||||
ar s br s для любых возможных r и s . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. |
A |
2 |
, |
B |
2 |
. Матрицы |
A и |
B равны, так |
как |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a11 b11 1, a21 b21 2, a31 b31 3. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Произведением матрицы |
A порядка m n на действительное |
||||||||||||||||||
число называется матрица B |
того же порядка m n, каждый элемент |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
bi j , i |
1, m |
, |
j |
1, n |
|
|
которой |
получен |
умножением |
соответствующего |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
элемента bi j , |
i |
1, m |
, |
|
j |
1, n |
|
исходной |
матрицы |
A на число |
и |
||||||||
обозначается: B A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Пример. Найти B 2A, если A |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
2 |
2 1 |
2 2 |
2 |
4 |
||||
Решение. B 2A 2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
3 |
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
8 |
||||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: B |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ai j |
и |
B bi j |
|
|
|
|||||
Суммой двух матриц |
одного порядка m n |
|||||||||||
называется матрица |
C того |
же |
порядка |
m n, |
каждый элемент ci j , |
|||||||
i 1, m, j 1, n которой получен сложением соответствующих элементов
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ai j и bi j , i |
1, m |
, |
j |
1, n |
и обозначается C A B . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
4 |
3 |
|
Пример. Найти C A B , если A |
|
|
|
и |
B |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение.
1 |
2 |
4 |
3 |
1 4 |
2 3 |
5 |
5 |
|||||||||
C A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
3 |
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
3 |
2 |
4 1 |
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
Ответ: C |
|
|
. |
|
5 |
5 |
|
|
|
Заметим, что разность двух матриц A и B одного и того же порядка можно определить через сумму и умножение на число 1 , то
есть A B A 1 B .
|
1 |
2 |
|
|
4 |
3 |
|
Пример. Найти A B, если A |
|
|
|
и B |
|
|
. |
|
3 |
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
4 |
3 |
|
Решение. |
A B A 1 B |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
2 |
1 4 |
1 3 |
1 |
2 |
4 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
1 1 |
|
|
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
4 |
1 2 |
|
|
3 |
|
|
||||||
1 |
4 |
2 3 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: A B |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Произведением матрицы A порядка m n на матрицу B порядка
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n p называется матрица C |
порядка m p , |
каждый элемент ci j , |
i |
1, m |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
j |
1, p |
которой получен |
как произведение |
элементов |
i -ой |
строки |
||||||||||||
матрицы A на соответствующие элементы |
|
j -го столбца матрицы B , |
то |
|||||||||||||||
|
ci j ai1 b1 j ai 2 b2 j ai n bn1 j , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
есть |
|
i |
1, m |
, |
|
j |
1, p |
|
и |
|||||||||
обозначается: C A B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти C A B, если A |
|
|
|
и B |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение.
c11 a11 b11 a12 b21 1 5 2 7 5 14 19
6
c12 a11 b12 a12 b22 1 6 2 8 6 16 22 c21 a21 b11 a22 b21 3 5 4 7 15 28 43 c22 a21 b12 a22 b22 3 6 4 8 18 32 50 .
c |
c |
|
19 |
22 |
|
|
Следовательно, C A B 11 |
12 |
|
|
|
|
. |
|
c22 |
|
|
43 |
50 |
|
c21 |
|
|
|
|||
|
19 |
22 |
|
Ответ: C |
|
|
. |
|
43 |
50 |
|
|
|
Следует обратить внимание на тот факт, что:
1)произведение A B матриц A и B получается умножением элементов строк матрицы A – первого сомножителя – на элементы столбцов матрицы B – второго сомножителя. Следовательно, порядок сомножителей в произведении матриц важен;
2)число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B , в противном случае произведение матриц A и B не определено;
3)порядок матрицы-произведения определяется порядком сомножи-
телей, то есть Am n Bn p |
Cm p . Следовательно, если |
A B A C , то |
нельзя считать, что B C . |
|
|
Транспонированной |
матрицей (обозначаемой |
как AT ) любой |
матрицы A порядка m n называется матрица AT порядка n m, которая получается из матрицы A взаимной заменой строк на столбцы.
Пример. Найти AT , если |
|
1 |
2 |
3 |
|
A |
|
|
|
. |
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
Решение. Элементы первой строки матрицы A запишем в первый столбец матрицы AT , а элементы второй строки матрицы A – во второй
7
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
столбец матрицы AT , получаем: AT |
2 |
5 |
. |
|
3 |
6 |
|
|
|
Определители
Определителем второго порядка квадратной матрицы называется
число |
a11 |
a12 |
|
и вычисляется по формуле: a |
a |
a |
a . |
|||||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
11 |
22 |
12 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить |
1 |
. |
|
|
|
|||||||
3 |
4 |
|
|
|
||||||||
Решение. |
|
|
2 |
|
1 4 2 3 4 6 10 . |
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется
a11 a12 a13
число a21 a22 a23 и вычисляется по формуле:
a31 a32 a33
a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31
a13 a22 a31 a21 a12 a33 a32 a23 a11 .
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Пример. Вычислить |
1 |
2 |
3 |
. |
||||
|
|
|
|
|
0 |
4 |
4 |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
3 |
1 2 4 1 4 3 2 3 0 3 2 0 |
||||
|
0 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 4 4 3 1 8 12 0 0 8 12 0 .
8
Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представляет собой таблицу чисел, а определитель – это число,
вычисляемое по определенному правилу.
Системы линейных уравнений
Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными вида:
a x a x |
|
a x b |
|
||||||
|
11 |
1 |
12 |
|
2 |
13 |
3 |
1 |
|
a21 x1 |
a22 |
x2 |
a23 x3 |
b2 |
(1.1) |
||||
|
|
|
a32 x2 |
a33 x3 b3 , |
|
||||
a31 x1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
ai |
j , bi , |
i, j |
1,3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1): |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
если |
0 , |
то |
система |
(1.1) |
имеет |
|
единственное |
решение |
|||||||||||||
x0 |
; x0 |
; x0 , которое находим по правилу Крамера. Для этого, составим и |
||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычислим вспомогательные определители x |
, x |
2 |
, x системы (1.1): |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
b2 |
a22 |
a23 |
, x |
2 |
|
a21 |
b2 |
a23 |
, x |
a21 |
a22 |
b2 |
. |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
||
Далее, по формулам Крамера, находим:
x0 |
x1 |
, |
x0 |
x2 |
, |
x0 |
x3 |
. |
|
|
|
||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.
9
|
|
|
|
x x |
|
x 2 |
||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
Пример. Решить по правилу Крамера систему |
2x1 x3 |
1 . |
||||||
|
|
|
|
|
3x1 x2 |
5 |
||
|
|
|
|
|
||||
Решение. Составим и вычислим главный определитель |
данной |
|||||||
системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
0 |
1 |
1 0 0 2 1 1 1 1 3 1 0 3 |
||||
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 0 1 1 1 0 2 3 0 0 0 1 6.
Так как 6 0, то данная система имеет единственное решение.
Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:
|
|
|
1 |
1 |
|
|||
|
|
2 |
|
|||||
x |
|
|
1 |
0 1 |
2 0 0 1 1 1 1 1 5 1 0 5 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
0 |
|
|||
|
|
|
1 1 0 1 1 2 0 1 5 0 0 2 6 ; |
|||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
x |
|
2 |
1 1 |
1 1 0 2 5 1 2 1 3 1 1 3 |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 0 5 1 1 0 10 6 3 0 5 12; |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|||
x |
|
2 |
0 |
1 |
|
1 0 5 2 1 2 1 1 3 2 0 3 |
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 2 1 5 0 4 3 0 1 10 18.
Далее, по формулам Крамера, находим:
x0 |
x |
|
6 |
1, |
x0 |
x |
|
12 |
2 , |
x0 |
x |
|
18 |
3. |
|||
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
6 |
|
6 |
|
6 |
|
|||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|