Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

8001

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
23.11.2023
Размер:
1.31 Mб
Скачать
☆

0

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В. Столбов

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.04 Программная инженерия, направленность (профиль) Разработка программно-информационных систем

Нижний Новгород

2022

1

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В. Столбов

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.04 Программная инженерия, направленность (профиль) Разработка программно-информационных систем

Нижний Новгород ННГАСУ

2022

2

УДК 517.9

Бесклубная А. В. Основные приемы интегрирования (Неопределенный интеграл) : учебнометодическое пособие / Бесклубная А.В., Неймарк В.Н., Столбов П.В; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет – Н. Новгород: ННГАСУ, 2022. – 52 с; ил. – Текст : электронный.

В учебно-методическом пособии приведены основные определения, таблица интегралов, свойства неопределенного интеграла; рассматриваются основные приемы интегрирования; на многочисленных примерах освещаются основные виды интегрируемых функций, предложены варианты контрольных заданий.

Предназначено обучающимся в ННГАСУ по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.04 Программная инженерия, направленность (профиль) Разработка программно-информационных систем.

©А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В.Столбов, 2022

© ННГАСУ, 2022.

3

§ 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И

 

 

 

НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

 

 

 

Определение 1. Функция F x

называется первообразной для функции f x на

отрезке a,b , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

x

 

f

 

x

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Любые две первообразные F

x

 

 

и

 

F

 

 

x

 

для одной и той же функции f

 

x

 

отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

x

 

F

 

x

 

C,

 

 

 

 

 

где C — произвольная постоянная.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f x назовем

неопределённым интегралом или интегралом от f x и обозначим

 

f x dx F x C,

(2)

где

— знак интеграла, f x — подынтегральная функция,

f x dx —

подынтегральное выражение, x — переменная интегрирования, С — произвольная постоянная, F x — некоторая первообразная для функции f x .

Пример 1.1. Пусть f x 3x2

— подынтегральная функция, тогда интеграл от

этой функции запишется в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x2dx x3 C .

 

 

 

 

 

Функция F x x3

C является первообразной для функции f x 3x2 , так как

условие (1) выполняется т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

3x

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие свойства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

d

 

f

 

x

 

dx

 

d F

 

x

 

C F'

 

x

 

 

dx f

 

x

 

dx ,

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

т.е. знаки d и

, когда первый помещен перед вторым, взаимно уничтожаются.

b) d F x F'dx F x C

(4)

т.е. знаки d и

, стоящие перед F x

уничтожаются и тогда, когда d стоит после

, но только к функции F x нужно прибавить произвольную постоянную C .

 

 

§ 2. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. xn dx

xn 1

C

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

1

dx

dx

 

ln

 

x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ax dx

 

ax

C

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.ex dx ex C

5.sin xdx cos x C

6.cos xdx sin x C

7.

 

 

1

 

 

dx

 

dx

 

 

sec2 x dx tg x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

x

cos2 x

8.

 

 

 

1

 

 

dx

 

 

dx

 

 

 

cos еc

2

x dx ctg x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

 

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

1

 

 

dx

 

 

 

 

dx

 

 

 

arctg x C

1

x

2

1

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

 

 

 

1

 

 

 

dx

 

 

1

 

arctg

x

 

 

C

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

arcsin x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

2

 

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

arcsin

x

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

13.

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

ln

x

x2 a2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

2

 

 

 

x

a

 

 

 

 

 

 

 

 

x

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

dx

 

 

1

ln

 

x a

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

a2

 

2a

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Справедливость формул, приведённых в таблице, легко проверяется по равенству (1) с помощью дифференцирования. Действительно, производная от правой части любого равенства в этой таблице равна подынтегральной функции.

Например, для случая табличных интегралов под номерами (1) и (13), получим:

 

 

 

 

 

 

xn 1

 

'

 

 

 

 

1

 

 

n

1 xn xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

a

 

 

 

 

 

2 x

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

2

a

2

 

 

x

2

a

2

 

 

 

 

 

 

 

x

2

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, производная от правых частей равна соответствующим подынтегральным функциям.

На примерах покажем, как пользоваться таблицей.

Пример. 2.1. Найти интеграл x5dx .

xn 1

В таблице находим интеграл xndx n 1 C , который при n 5 совпадает с

искомым интегралом. Тогда, согласно таблице, запишем

5

 

x5 1

 

1

 

6

 

x

dx

 

 

 

C

 

x

 

C .

5

1

6

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 2.2. Найти интеграл dxx4 .

6

Приведем интеграл к табличному виду dxx4 x 4 dx , т.е. показатель степени n 4 . Тогда искомый интеграл равен:

x

4

dx

x 3

C

1

 

x

3

C

1

 

C .

 

3

3

 

3x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1.Постоянный множитель выносится из-под знака интеграла:

a f x dx a f x dx ,

где a — произвольное число.

Пример 3.1. Найти интеграл 5sin xdx .

Согласно свойству (1), полагая a 5 , f x sin x , получим:

5sin xdx 5 sin xdx .

Значение интеграла находим в таблице основных интегралов (равенство 6)

5sin xdx 5 cos x C1 5cos x C ,

где C 5C1 .

2.Неопределённый интеграл от суммы (разности) двух или нескольких функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций

f x g x dx f x dx g x dx

 

 

1

 

Пример 3.2. Найти интеграл

 

 

 

cos x dx .

 

 

x

 

Согласно свойству (2), полагая f x

1

,

g x cos x , получим

x

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

cos x dx

 

 

 

 

dx

 

cos xdx .

По таблице основных интегралов (равенства 4 и 7, соответственно) находим:

7

1x dx ln x C1,

cos xdx sin x C2 .

Тогда

 

1

 

 

 

 

sin x C ,

 

 

 

 

 

 

cos x dx ln

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

где C C1 C2

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

Пример 3.3. Найти интеграл

 

 

 

 

 

3sin t dt .

 

 

 

 

 

 

t

3

 

 

 

 

 

 

 

В этом примере переменной интегрирования является t .

Согласно свойству (2) интеграл запишется

 

 

 

 

6

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

t

 

 

3sin t dt

 

t

 

dt

 

3sin tdt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вынося из-под знака интеграла постоянный множитель (свойство 1), получим:

 

6

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

 

3

 

t

12

 

 

1

 

 

3

 

dt 6

 

 

6

 

6

 

t

2 dt 6

 

 

C

12t

2 C

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3sin tdt 3 sin tdt 3 cost C3 3cost C4

, где C2 6C1,

C4 3C3 .

 

 

6

 

 

12

 

3cost C , где C C2

C4 .

 

Тогда

 

 

 

 

 

3sin t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

t

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении неопределённых интегралов бывает полезно знать следующее правило.

3. Если f u du F u C , то f ax b dx 1a F ax b C .

Пример 3.4. Найти sin 3xdx .

Согласно таблице основных интегралов запишем:

sin udu cosu C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда при ax b 3x

a 3,

 

b 0

согласно правилу (3), получим:

 

 

 

 

sin 3xdx

1

cos3x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Пример 3.5. Найти e2 x 5dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По таблице: eu du eu C и по правилу (3) при ax b 2x 5

a 2,

b 5

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2x 5

dx

1

 

e

2 x 5

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.6. Найти интеграл

 

dx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Известен интеграл

 

ln

u

C .

Полагая, ax b 8x 7 , находим

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 8,

b 7 . Тогда, согласно правилу (3), получим:

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

1

ln

 

8x 7

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x 7

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЁМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Пусть требуется найти интеграл f x dx , причем непосредственно по таблице подобрать первообразную для f x не удаётся.

Выполним замену переменной интегрирования, положив x t , где t

имеет обратную функцию t (x) и непрерывную производную. Тогда подынтегральное выражение запишется в виде

f x dx f t d t f t t dt

Замена выбрана удачно, если для подынтегральной функции f t t'

первообразная является табличной, т.е.

f t t dt t C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

Найденная

первообразная

 

t при

выполнении обратной замены

переменной t x , является первообразной для искомой функции f x , т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

x

 

 

dx

 

x

 

C .

Продемонстрируем метод замены переменных на примерах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2xdx

 

 

 

 

Пример 4.1. Найти интеграл

 

 

.

 

 

 

 

x2

5

 

 

 

 

Выполним замену переменной по формуле x2 5 t . Дифференцируя левую

часть равенства t x2

5

по t , а правую — по x , находим dt 2xdx .

Подынтегральное

выражение,

 

 

 

в соответствии с заменой переменной

запишется:

2xdx

 

dt

или

2xdx

 

 

 

dt

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

5

t

x

2

5

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение интеграла dtt находим по таблице основных интегралов, т.е.

dtt ln t C .

Выполняя обратную замену переменных по формуле t x2 5 , получим

22xdx ln t C ln x2 5 C или x 5

2xdx

x2 5 ln x2 5 C .

Пример 4.2. Найти cos 7x 4 dx .

Выполним замену переменной по формуле u 7x 4 . Дифференцируя обе

части равенства u 7x 4 , получим du 7dx или dx du7 .

Искомый интеграл свёлся к табличному

cos 7x 4 dx cosu du7 17 cosu du , т.е.

cosu du sin u C

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности