8001

Пример 6.5. Разложить правильную дробь

4x 7

на

x2 3x 8 x2 2x 7

4x 7

M1x N1

M2 x N2

.

x2 3x 8 x2 2x 7

x2 3x 8

x2 2x 7

R x

M

1

x N

1

1

r

2

2

2

x

p1x q1

x p1x q1

x pr x qr

M

2

x N

2

M 1 x N 1

,

(10)

x2 p1x q1 2

x2

p1x q1 1

D x L

D x L

D r x L r

1

1

2

2

x2 pr x qr

x2 pr x qr 2

x2 pr x qr r

Пример 6.6.

Разложить

правильную

дробь

7x2

3x 5

на

x2 3x 8 2 x2 x 4

7x2 3x 5

A x B

A x B

Dx L

1

1

2

2

.

x2 3x 8 2 x2 x 4

x2 3x

8

x2 3x 8 2

x2 x

4

R

x

A

A

A

1

1

2

...

...

Qm x

x a1

2

x a

x 1

1

1

(11)

M

x N

D x L

D

L

1

1

r

r

...

1

1

...

2

2

x

pr x qr

x

pr x qr

x2 pr x qr r

21

где A1, A2 , , A 1 , , M1, N1, , D1, L1,

, D r L r — неопределённые коэффициенты,

Пример 6.7. Разложить правильную дробь

x 3

на простейшие дроби.

x3 2x2 x

Разлагая многочлен x3 2x2

x на множители,

2

x3 2x2 x x

x2 2x 1

x

x

1 x 1

x

x 1

обнаруживаем, что многочлен имеет три действительных корня

x1 0,

x2 1 и

x3 1, один из которых x1 0 — простой и два x2

1

и

x3 1 — кратные.

Согласно формуле (11) разложение правильной дроби на простейшие дроби

запишется в виде:

x 3

A

B

C

(12)

2

2

x

x 1

x

x 1

x

1

Приведя правую часть равенства к общему знаменателю

x 3

A x 1 2 B x 1 x Cx

2

2

x

x 1

x x 1

A B 0

при

x2

при x .

2A B C 1

x

0

A 3 при

22

Решая её, находим A 3,

B 3

и С 4 . Подставляя в (12) найденные

x 3

3

3

4

.

x3 2x x

x

x 1

2

x 1

Задача

интегрирования выражения

вида

Pn x

свелась к отысканию

dx

Qm x

интегралов от простейших дробей.

A

I.

dx Aln

x a

C

x

a

dx A x a n 1

II.

A

C

x a

n

n 1

III.

Mx N

dx

x

2

px q

IV.

Mx N

dx

x2 px q

n

Mx N

dx обозначая

t x2 px q,

найдём dt 2x p dx

x2

px q

Выполняя тождественные преобразования, получим:

M

2x p

Mp

N

Mx N

dx

2

2

dx

x

2

x

2

px

q

px q

M

2x p dx

Mp

dx

N

2

x2 px q

2 x2 px q

M

dt

Mp

dx

N

t

p 2

2

2

p2

x

q

2

4

x : A1 A2 3

3A1 3

A1 1

x0

A2

: 2 A1

0

A2 2 A1

A2

2

Таким образом,

3x

A1

A2

1

2

x

x

2

x 1

x 2

x 1

x 2

1

Следовательно,

3x

1

2

dx

2dx

dx

dx

x 1 x 2

x

x 2

x

1

x 2

1

2

C.

ln

x 1

2ln

x 2

C ln

x 1

x 2

3x

2

Ответ:

dx ln

x

1 x 2

C .

x 1

x 2

Пример 6.9. Найти интеграл

4x

dx .

x2 4x 3

Подынтегральная функция

4x

является правильной рациональной

x2 4x

3

дробью n 1,

m 2,

n m .

42 4 1 3

x

4

4 16 12

4 4

4 2

1,2

2 1

2

2

2

x 4 2

2 1,

x 4 2

6 3.

1

2

2

2

2

3

Тогда

x2 4x 3

и следовательно,

x 1

x 3

4x

4x

.

x2 4x 3

x 1

x 3

4x

A x 3

B x 1

A x 3 B x 1

Ax 3A Bx B

,

x

x 3

x 1

x 3

x

3

x

3

1

x 1

x 1

откуда