7991
.pdf50
Задание 6.
Найти неопределенные интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6.01 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6.07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6.09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 27 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
9 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
16 |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.15 |
|
|
|
|
|
|
2x 3 dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2x 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
3x 1 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.27 |
|
|
|
|
|
x 2 1 |
dx ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6.29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
4 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 1 |
|
|
|
|||||||
6.02 |
|
x |
2 |
|
dx ; |
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.04 |
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
dx ; |
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x x |
|
|||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||
6.06 |
|
1 3 |
|
x ; |
|||||||||
x2 |
6.08x 27 dx ;
x3 x2 1
6.10 1 4x x dx ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
2x 1 2 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
6.16 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6.18 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6.20 |
|
|
|
1 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||
x 1 |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
6.22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x 2 3x |
|
x3 dx
6.24 3 x2 3 ;
6.26 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x 4 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||||||
6.28 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||
6.30 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
x |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
ЛИТЕРАТУРА
1.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1. — М.:
Наука, 1996. — 456 c.
2.Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. — М.: Наука, 1979. — 640 c.
3.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. — М.: Высшая школа, 1986. — 304 c.
4.Бермант, А. Ф. краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант.-М.:
Наука, 2005. – 663 с.
52
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
§ 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЁННОГО |
|
|
|
ИНТЕГРАЛА ..................................................................................................... |
3 |
§ 2. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ..................................................... |
4 |
|
§ 3. |
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА .................................... |
6 |
§ 4. |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЁМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ......................... |
8 |
§ 5. |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ ............................................................ |
12 |
§ 6. |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ...................... |
15 |
§7. ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ,....................................... 27
СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН ................................................. |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a x b n |
|
||||
§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА R |
|
x, |
|
|
|
............... |
33 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
c x d |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ |
|
|
|
|
|||
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ...................................................... |
|
|
|
|
|
|
34 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ............................................................................... |
|
|
|
|
|
|
43 |
ЛИТЕРАТУРА ....................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
51 |
53
Бесклубная Антонина Вячеславовна Неймарк Валерия Николаевна Столбов Павел Валерьевич
ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекциям и практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика» для обучающихся по специальности 08.05.01 Строительство
уникальных зданий и сооружений, специализация Строительство гидротехнических сооружений повышенной ответственности,
Строительство высотных и большепролетных зданий и сооружений
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru