7991
.pdf20
Пример 6.5. Разложить правильную дробь |
4x 7 |
|
на |
|
|
||
x2 3x 8 x2 2x 7 |
|
простейшие дроби.
Согласно формуле (9) разложение запишется в виде:
4x 7 |
|
|
M1x N1 |
|
M2 x N2 |
. |
x2 3x 8 x2 2x 7 |
|
|
|
|||
|
x2 3x 8 |
|
x2 2x 7 |
d)В случае, когда среди множителей знаменателя имеются
повторяющиеся множители второй степени:
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R x |
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M |
1 |
x N |
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||||
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1 |
|
|
|
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|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
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x |
p1x q1 |
|
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||||||||||
x p1x q1 |
|
|
x pr x qr |
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|||||||||||||||||
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||||||||||||
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M |
2 |
x N |
2 |
|
|
|
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|
M 1 x N 1 |
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|
, |
(10) |
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||||||||
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|||||||||||||
x2 p1x q1 2 |
|
x2 |
p1x q1 1 |
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|||||||||||||||||||||||
|
|
D x L |
|
|
|
|
D x L |
|
|
|
|
|
|
D r x L r |
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
x2 pr x qr |
|
x2 pr x qr 2 |
x2 pr x qr r |
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||||||||||||||||||||
Пример 6.6. |
|
Разложить |
правильную |
дробь |
|
7x2 |
3x 5 |
|
на |
||||||||||||||||||
|
x2 3x 8 2 x2 x 4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
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|
простейшие дроби.
По формуле (10) разложение запишется в виде:
7x2 3x 5 |
|
A x B |
|
|
A x B |
|
Dx L |
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
. |
|
x2 3x 8 2 x2 x 4 |
x2 3x |
8 |
x2 3x 8 2 |
x2 x |
4 |
|||||||
|
|
|
|
Подводя итог вышесказанному, разложение правильной дроби запишется
R |
|
x |
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
||||
Qm x |
x a1 |
|
|
|
|
2 |
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(11) |
||
|
|
|
M |
|
x N |
|
|
|
|
|
|
|
D x L |
|
|
|
|
D |
|
L |
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
1 |
1 |
... |
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
|
|
x |
|
pr x qr |
|
|
|
|
x |
|
pr x qr |
|
|
|
|
x2 pr x qr r |
|
21 |
где A1, A2 , , A 1 , , M1, N1, , D1, L1, |
, D r L r — неопределённые коэффициенты, |
которые необходимо вычислить.
Нахождение неизвестных коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие дроби покажем на примерах.
Пример 6.7. Разложить правильную дробь |
|
|
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|
x 3 |
|
|
на простейшие дроби. |
||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
x3 2x2 x |
|
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||||||||
Разлагая многочлен x3 2x2 |
|
x на множители, |
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||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
2 |
|
||||||
x3 2x2 x x |
|
x2 2x 1 |
x |
|
|
x |
1 x 1 |
x |
|
x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
обнаруживаем, что многочлен имеет три действительных корня |
x1 0, |
x2 1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 1, один из которых x1 0 — простой и два x2 |
|
1 |
и |
x3 1 — кратные. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно формуле (11) разложение правильной дроби на простейшие дроби |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
запишется в виде: |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приведя правую часть равенства к общему знаменателю |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
A x 1 2 B x 1 x Cx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отметим, что дроби с равными знаменателями равны, когда равны их числители.
Знаменатели дробей равны, значит должны быть равны и числители, т.е.
x 3 A x 1 2 B x 1 x Cx .
Приравнивая в тождестве коэффициенты при одинаковых степенях x :
0 x2 x 3 x2 A B x C B 2A A,
получим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными A, B,C вида:
A B 0 |
при |
x2 |
||
|
|
|
|
при x . |
2A B C 1 |
||||
|
|
x |
0 |
|
A 3 при |
|
|
|
|
22 |
Решая её, находим A 3, |
B 3 |
и С 4 . Подставляя в (12) найденные |
значения A, B, и С , получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
x 3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 2x x |
x |
x 1 |
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
Задача |
|
интегрирования выражения |
вида |
|
|
|
Pn x |
свелась к отысканию |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Qm x |
|||||||||||||||||||||||||||||
интегралов от простейших дробей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I. |
|
|
dx Aln |
x a |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dx A x a n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
II. |
|
|
|
|
|
A |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
III. |
|
|
|
|
Mx N |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
2 |
px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
IV. |
|
|
|
Mx N |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 px q |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы первых двух дробей найдены. Вычисление интеграла под номером
IV выходит за рамки излагаемого материала. Покажем способ вычисления интеграла III.
|
Mx N |
dx обозначая |
t x2 px q, |
|
найдём dt 2x p dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выполняя тождественные преобразования, получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
2x p |
Mp |
N |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Mx N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
px |
q |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
2x p dx |
|
|
|
Mp |
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
x2 px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 px q |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
dt |
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
Учитывая, |
что |
знаменатель x2 px q имеет только комплексные |
корни, |
|||||||
дискриминант |
p2 |
q D 0 |
тогда |
D q |
p2 |
0 . Обозначая |
q |
p2 |
a2 и |
|
|
|
|
4 |
|||||||
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
x 2p u , находим du dx .
Продолжая вычисления, получим:
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
t |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 u2 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
M |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
1 |
|
|
|
u |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
x |
|
px q |
N |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Интеграл равен: |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
|
|
|
a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Mx N |
|
dx |
M |
ln |
|
x2 |
px q |
|
|
|
2N Mp |
|
arctg |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 px q |
2 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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4q p2 |
|||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
3x
Пример 6.8. Найти интеграл x 1 x 2 dx .
C
2x p |
C . |
|
4q p2 |
||
|
Подынтегральная функция |
|
3x |
|
является правильной рациональной |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
x 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
||
дробью n 1, |
m 2, |
n m . |
Методом неопределённых коэффициентов |
разложим её на сумму простейших дробей. Согласно формуле (7) разложение запишется в виде:
|
|
3x |
|
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A x 2 |
|
A |
x 1 |
A1 x 2 A2 x 1 |
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||||||
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1 |
|
2 |
|
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, |
|
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||||
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x 2 |
|
x 1 |
|
x 2 |
x |
2 |
|
|||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
||||||||
откуда |
|
|
|
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A1x 2 A1 |
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A2 x A2 3x или A1 |
A2 x 2A1 |
A2 3x . |
Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях x
A1 A2 x 2A1 A2 x0 3x 0 x0 ,
получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными A1 и A2 :
24
|
|
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x : A1 A2 3 |
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3A1 3 |
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A1 1 |
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x0 |
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A2 |
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
: 2 A1 |
0 |
|
|
|
A2 2 A1 |
|
|
A2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
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|||||
|
|
|
|
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|
3x |
|
|
|
|
|
|
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A1 |
|
|
|
A2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
x 1 |
|
|
x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
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|||||
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|
|
3x |
|
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1 |
|
|
|
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|
|
2 |
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|
dx |
|
|
|
|
2dx |
|
||||||||||||
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|
dx |
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dx |
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||||||||||||
|
x 1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
C. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ln |
x 1 |
2ln |
x 2 |
C ln |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
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|
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|||||
Ответ: |
|
|
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|
|
dx ln |
|
x |
1 x 2 |
|
C . |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||
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|||
Пример 6.9. Найти интеграл |
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4x |
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dx . |
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|||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 4x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подынтегральная функция |
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
является правильной рациональной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 4x |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||
дробью n 1, |
|
m 2, |
|
n m . |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Разложим знаменатель этой дроби на линейные множители: x2 4x 3 x x1 x x2 , где
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42 4 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
4 |
|
4 16 12 |
|
4 4 |
|
4 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1,2 |
|
|
2 1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 4 2 |
2 1, |
x 4 2 |
6 3. |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
x2 4x 3 |
|
|
|
|
|
и следовательно, |
|
||||||
|
x 1 |
x 3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
4x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x2 4x 3 |
|
x 1 |
x 3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методом неопределённых коэффициентов разложим последнюю дробь на сумму простейших дробей. Согласно формуле (7) имеем:
25
|
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|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
A x 3 |
|
|
B x 1 |
|
A x 3 B x 1 |
|
|
Ax 3A Bx B |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x 3 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B x 3A B 4x 0 x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
x : A B 4 |
|
|
|
2 A 4 |
|
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|
|
A 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
x0 |
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: 3A |
B 0 |
|
|
|
B |
3A |
|
|
|
|
|
B |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4x 3 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
(13) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2ln |
|
x 1 |
|
6ln |
x 3 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пример 6.10. Найти интеграл |
|
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|
3x 5 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выполняя |
|
замену |
|
|
t x2 2x 5 , |
|
|
найдём |
|
|
|
|
dt 2x 2 dt . |
Преобразуем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подынтегральную функцию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2x 2 |
3 2 |
5 |
|
|
|
|
3 |
2x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5 |
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x2 |
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2x 5 |
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x2 2x 5 |
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x2 2x 5 |
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Интеграл запишется: |
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2x 2 2 |
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2 3x 5 |
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dx 2 |
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3 |
2 |
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2 |
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dx |
2 |
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dx |
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dx |
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2x |
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x 2x 5 |
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x 2x 5 |
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2 |
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x 2x 5 |
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x 2x 5 |
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dt |
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2 |
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x |
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t |
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2x 5 |
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Выделяя полный квадрат |
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x2 2x 5 |
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2 1 |
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2 4 |
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x |
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1 |
5 |
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x |
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1 |
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и обозначая x 1 u, |
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du dx , получим: |
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26
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3 |
ln |
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x2 2x 5 |
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dx |
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3 |
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ln |
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x2 2x |
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du |
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2 |
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2 |
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2 |
2 |
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2 |
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2 |
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u |
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2 |
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x 1 |
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2 |
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3 |
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arctg |
x+1 |
C |
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ln |
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x2 2x 5 |
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Пример 6.11. Найти |
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x5 4x4 18x 19x2 6x 20 |
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dx . |
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x4 2x3 |
10x2 |
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Подынтегральная функция является неправильной дробью. Выполняя деление |
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x5 4x4 18x3 19x2 6x 20 |
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x4 2x3 10x2 |
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x 2 |
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x5 2x4 10x3 |
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2x4 8x3 19x2 6x 20 |
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2x4 4x3 20x2 |
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4x3 x2 |
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6x 20 , |
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находим: |
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x5 4x4 18x3 19x2 6x 20 |
x 2 |
4x3 |
x2 6x 20 |
. |
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x4 2x3 10x2 |
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x4 |
2x3 |
10x2 |
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Разложение на простейшие дроби запишется: |
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4x3 x2 6x 20 |
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4x3 |
x2 6x 20 |
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A B |
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Mx N |
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(14) |
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x4 2x3 10x2 |
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x2 x2 |
2x 10 |
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x |
x2 |
x2 |
2x 10 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Неопределённые коэффициенты, полученные из решения системы уравнений, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равны A 1, |
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B 2, |
M 5, |
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N 1. Подставим их в выражение (13) и запишем |
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интеграл: |
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x5 4x4 18x3 19x2 6x 20 |
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1 |
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2 |
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5x 1 |
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dx |
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x 2 |
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x4 2x3 10x2 |
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x |
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x |
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x2 2x |
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2x 2 |
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x2 |
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2x ln |
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x |
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2 |
x |
x2 2x 10 |
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Найдем интеграл
27
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5 |
2x 2 6 |
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2x 2 dx |
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dx |
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dt |
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dx |
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2 |
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dx |
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6 |
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6 |
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2 |
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2 |
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2 |
2 |
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x 2x 10 |
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2 |
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x 2x 10 |
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x |
2x 10 |
2 t |
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x |
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3 |
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5 |
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6 |
arctg |
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x 1 |
C |
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ln |
x2 |
2x 10 |
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2 |
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3 |
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Решение запишется в виде: |
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x5 4x4 |
18x3 19x2 6x 20 |
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x2 |
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2 |
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dx |
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2x ln |
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x |
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x4 2x3 10x2 |
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x 1 |
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2 |
x |
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2x 10 |
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2arctg |
C. |
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ln |
x2 |
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3 |
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§7. ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ,
СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Рассмотрим интеграл |
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I1 |
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dx |
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ax2 |
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bx |
с |
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Для его вычисления преобразуем квадратный трехчлен ax2 bx C к виду: |
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с |
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b |
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b |
2 |
с |
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b |
2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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ax |
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bx |
с |
a x |
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x |
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a x |
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a x |
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k |
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a |
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a |
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2a |
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2a |
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a |
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2a |
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Знак «плюс» или «минус», стоящий перед k2 берется в соответствии со знаком |
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c |
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b 2 |
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выражения |
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a |
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2a |
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Интеграл запишется в виде: |
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dx |
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1 |
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dx |
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ax2 bx c |
a |
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b |
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2 |
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2 |
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x |
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k |
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2a |
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Выполняя замену переменной |
x |
b |
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t , получим dx=dt. Тогда: |
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2a |
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dx |
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1 |
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dt |
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. |
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a |
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b |
2 |
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2 |
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a |
t 2 k 2 |
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x |
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k |
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2a |
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28
Последний интеграл табличный (см. формулы).
Пример 7.1. Найти интеграл |
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dx |
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Преобразуем знаменатель |
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2x2 4x 6 2(x2 2x 3) 2 x 1 2 1 3 2 x 1 2 4 2 x 1 2 22 . |
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Запишем интеграл в виде: |
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dx |
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2x2 4x 6 |
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(x 1)2 22 |
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Делаем замену переменной |
x 1 t , |
dx dt . Подставляя в интеграл, получим: |
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dx |
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dt |
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t 2 |
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2 |
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(x 1)2 22 |
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t 2 22 |
2 |
2 2 |
t 2 |
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Тогда: |
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dx |
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x 1 2 |
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x 1 |
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C . |
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2x2 4x 6 |
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x 1 2 |
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8 |
x 3 |
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Пример 7.2. Найти интеграл |
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dx |
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3x2 |
9x |
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3 |
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3 |
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9 |
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9x 27 3 x |
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9 3 |
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3x |
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3x |
x |
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9 3 |
x |
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3 x 2 |
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3 x 2 |
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Интеграл запишется в виде: |
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dx |
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3x2 9x 27 |
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Заменяя |
x |
3 |
t , получим |
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dx=dt. Подставляя, интеграл запишется в виде: |
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2t |
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3 |
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27 |
3 |
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27 |
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3 |
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27 |
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27 |
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x |
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t |
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2 |
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Тогда |
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dx |
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2 |
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arctg |
2x |
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3 |
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C . |
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3x2 9x |
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27 3 27 |
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Рассмотрим интеграл |
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A |
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(2a x b) B |
Ab |
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I |
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A x B |
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dx |
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2a |
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dx |
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2a |
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2 |
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a x2 b x с |
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a x2 b x с |
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A |
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2a x b |
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Ab |
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dx |
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dx |
B |
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2a a x |
2 |
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2 |
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b x с |
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2 a |
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b x с |
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a x |
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Последний интеграл есть интеграл I1, вычисленный выше. |
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Выполняя замену переменной a x2 |
b x с t , получим (2a x b)dx dt . |
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Следовательно, |
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A |
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2a x b dx |
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A |
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dt |
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A |
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A |
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2 |
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R . |
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ln |
t |
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R |
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ln |
a x |
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bx |
с |
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2a |
a x2 b x с |
2a |
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t |
2a |
2a |
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Окончательно получим: |
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A x B |
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A |
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2 |
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AB |
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dx |
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ln |
a x |
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b x с |
B |
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I1 . |
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a x2 b x с |
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2a |
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3x 5 |
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2a |
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Пример 7.3. Найти интеграл |
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dx. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2x2 4x 6 |
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Выполняя тождественные преобразования подынтегральной функции, получим:
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3 |
(4x 4) 3 5 |
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|||
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3x 5 |
dx |
4 |
dx |
3 |
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(4x 4) dx |
2 |
|
|
dx |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2x |
2 |
|
2x |
2 |
4x 6 |
|
2 |
2x |
2 |
4x 6 |
||||||||
|
4x 6 |
|
|
|
|
4 |
|
2x 4x 6 |
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Второй интеграл вычислен (см. пример 7.1) |
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|||||||||||
В первом интеграле заменяя 2x2 4x 6 t , получим |
(4x 4)dx dt . Интеграл |
запишется в виде: