6858
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Г.А. Маковкин, А.С. Аистов
Самостоятельная работа по АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Аналитическая механика»
для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство
Профиль Строительство автомобильных дорог, аэродромов, объектов транспортной инфраструктуры
Нижний Новгород ННГАСУ
2016
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Г.А. Маковкин, А.С. Аистов
Самостоятельная работа по АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Аналитическая механика»
для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство
Профиль Строительство автомобильных дорог, аэродромов, объектов транспортной инфраструктуры
Нижний Новгород
2016
УДК 531/534(075)
Маковкин Г.А. Аналитическая механика [Электронный ресурс]: учеб.- метод. пос. / Г.А. Маковкин.А.С. Аистов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 73 с; 13 ил. 1 электрон. опт. диск (CD- R)
Пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов в процессе изучения дисциплины «Аналитическая механика». Содержательно пособие представляет собой комплект лекций, читаемых для студентов профиля «Строительство автомобильных дорог, аэродромов, объектов транспортной инфраструктуры» по дисциплине «Аналитическая механика». В процессе самостоятельной работы с учебным пособием студентам в первую очередь необходимо обращать внимание на доказательства основных, составляющих основу курса теорем. Кроме того, на самостоятельное рассмотрение выносятся следующие темы курса: «Потенциальное силовое поле», «Принцип Даламбера», «Уравнение Лагранжа второго рода».
Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к лекционным практическим занятиям по направлению подготовки 08.03.01 Строительство
Профиль Строительство автомобильных дорог, аэродромов, объектов транспортной инфраструктуры.
©Г.А. Маковкин, А.С. Аистов, 2016
©ННГАСУ, 2016.
3 |
|
|
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
|
|
|
|
|
Стр. |
Введение. Предмет и разделы динамики……………………………… |
|
…… |
.6 |
Тема 1. Основные задачи и принципы динамики…………………… |
|
……… |
7 |
1.1. Основные задачи динамики………………………………………… |
|
……7 |
|
1.2. Принципы Галилея…………………………………………………… |
|
…...7 |
|
1.3. Закон равенства действия и противодействия |
…………………… |
|
….8 |
1.4. Основной закон динамики…………………………………………… |
|
……8 |
|
Тема2. Динамика материальной точки………………………………… |
|
…..… |
9 |
2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки……..… |
9 |
||
2.2. Первая задача динамики…………………………………………… |
|
…….10 |
|
2.3. Вторая задача динамики……………………………………………… |
|
….11 |
|
2.4. Интегрирование уравнения прямолинейного движения………… |
…….13 |
||
Тема 3. Теорема о движении центра масс……………………………… |
|
…....16 |
|
3.1. Дифференциальные уравнения движения механической системы…… |
.16 |
||
3.2. Центр масс механической системы………………………………… |
|
……17 |
|
3.3. Теорема о движении центра масс механической системы |
……… |
…18 |
|
3.4. Сохранение движения центра масс ………………… |
……………… |
|
….19 |
Тема 4. Теорема об изменении количества движения………………… |
…….19 |
||
4.1. Теорема об изменении количества движения |
|
|
|
в дифференциальной форме……………………………………………… |
|
……19 |
|
4.2. Теорема об изменении количества движения |
|
|
|
в интегральной форме…………………………………………………… |
|
……..21 |
|
4.3. Сохранение количества движения………………………………… |
|
……...22 |
|
Тема 5. Моменты инерции……………………………………………… |
|
………23 |
|
5.1. |
Моменты инерции материальной точки и механической системы……..23 |
|
5.2. |
Моменты инерции некоторых однородных тел……………………… |
…..26 |
|
4 |
|
|
|
5.3. Моменты инерции относительно параллельных осей……………… |
……28 |
|
||
Тема 6. Теорема об изменении кинетического момента………………… |
……30 |
|
||
6.1. Кинетический момент…………………………………………………… |
|
….30 |
||
6.2. Кинетический момент вращающегося тела………………………… |
……..32 |
|
||
6.3. Теорема об изменении кинетического момента……………………… |
……33 |
|
||
6.4. Дифференциальные уравнения вращательного движения………… |
……… |
35 |
||
6.5. Случаи сохранения кинетического момента………………………… |
……..35 |
|
||
Тема 7. Мощность и работа сил…………………………………………… |
|
……..36 |
|
|
7.1. Определение мощности и работы силы……………………………… |
……..36 |
|
||
7.2. Частные случаи вычисления мощности и работы………………… |
……… |
.38 |
||
7.3. Мощность и работа внутренних сил………………………………… |
……… |
40 |
||
Тема 8. Теорема об изменении кинетической энергии………………… |
……….42 |
|
||
8.1. Кинетическая энергия………………………………………………… |
|
……...42 |
|
|
8.2.Теорема об изменении кинетической энергии |
|
|
||
в дифференциальной форме……………………………………………… |
|
……… |
44 |
|
8.3.Теорема об изменении кинетической энергии |
|
|
||
в интегральной форме……………………………………………………… |
|
……..45 |
|
|
Тема 9. Потенциальное силовое поле…………………………………… |
|
…….....46 |
|
|
9.1.Потенциальная энергия |
……………………………………………… |
|
….…46 |
|
9.2.Работа и мощность потенциальной силы |
…………………………… |
…..47 |
||
9.3.Консервативные механические системы |
…………………………… |
…..48 |
||
Тема 10. Введение в аналитическую механику………………………… |
………49 |
|
||
10.1.Классификация связей |
……………………………………………… |
|
….…49 |
|
10.2.Возможные перемещения…………………………………………… |
|
……...52 |
|
|
10.3.Обобщенные координаты…………………………………………… |
|
………53 |
|
|
10.4.Возможная работа и обобщенные силы…………………………… |
……… |
.55 |
||
10.5.Идеальные связи …………………………………………………… |
|
………56 |
|
|
5 |
|
|
|
Тема 11. Принцип Лагранжа…………………………………………… |
|
……..…57 |
|
11.1. Принцип возможных перемещений……………………………… |
|
…….…57 |
|
11.2. Принцип Лагранжа в обобщенных силах……………………… |
|
……… |
….58 |
Тема 12. Принцип д’Аламбера………………………………………… |
|
……..….59 |
|
12.1.Принцип д’Аламбера для материальной точки…………………… |
……… |
59 |
|
12.2.Принцип д’Аламбера для механических систем………………… |
……… |
..61 |
|
12.3.Главный вектор и главный момент сил инерции……………… |
……… |
.…62 |
|
12.4. Главный момент сил инерции твердого тела |
………………… |
…..…..64 |
|
12.5.Применение принципа д’Аламбера к решению задач динамики……… |
...65 |
||
Тема 13. Уравнения Лагранжа второго рода …………………………… |
…..67 |
||
13.1.Принцип д’Аламбера-Лагранжа…………………………………… |
|
……….67 |
|
13.2.Уравнения Лагранжа второго рода………………………………… |
|
………69 |
|
13.3.Уравнения Лагранжа второго рода |
|
|
|
для консервативных механических систем…………………………… |
|
…………70 |
|
Тема 14. Удар……………………………………………………………… |
|
……....71 |
|
14.1.Ударный импульс…………………………………………………… |
|
……… |
..71 |
14.2. Удар материальной точки о поверхность………………………… |
|
………..71 |
|
14.3.Косой удар…………………………………………………………… |
|
…….…72 |
|
Литература………………………………………………………………… |
|
……….73 |
|
6
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
(ДИНАМИКА)
Введение Предмет и разделы динамики
Аналитическая механика представляет собой дисциплину, содержанием которой является совокупность универсальных математических методов решения задач динамики.
Динамикой, в свою очередь,называется раздел механики, в котором изучается движение механических систем под действием сил.
Динамика является синтезом двух предыдущих разделов теоретической механики:
статики, которая изучает преобразования систем сил и условия их равновесия, и кинематики, которая изучает способы математического описания движения тел.
Так же, как и кинематика, динамика подразделяется на
Динамику материальных точек; Динамику механических систем, представляющих совокупность материальных точек;
Динамику материальных тел, которые можно рассматривать как непрерывную совокупность материальных точек, заполняющих некоторый объем.
7
Тема 1. Основные задачи и принципы динамики
1.1 Основные задачи динамики
Задачи, решаемые методами динамики, условно можно разделить на две группы:
Первая задача динамики (прямая) предполагает, что закон движения механической системы известен, а силы которые вызывают это движение необходимо найти.
Вторая задача динамики (обратная) предполагает, что известны силы, действующие на механическую систему, а найти необходимо закон движения.
Рис. 1.1
Динамика основывается на ряде принципов, которые могут быть названы законами или аксиомами. К нимотносятся:
принцип инерции и принцип относительности Галилея, закон равенства действия и противодействия, основной закон динамики (второй закон Ньютона).
1.2 Принципы Галилея
Материальные точки, на которые не действуют никакие силы, будем называть изолированными материальными точками.
Принцип инерции Галилеясостоит в следующем:
Всегда можно найти систему отсчета, в которой изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Такая система отсчета называется инерциальной.
8
Очевидно, что в инерциальной системе отсчета изолированная материальная точка имеет нулевое ускорение.
Если в одной системе отсчета ускорение точки равно нулю, то во всех системах, которые движутся относительно нее без ускорения, то есть равномерно и прямолинейно, оно также будет равно нулю.
Таких систем отсчета существует бесконечно много, и все они будут являться инерциальными.
В технике инерциальную систему отсчета обычно связывают с Землей.
Принцип относительности Галилеясостоит в утверждении, что
Во всех инерциальных системах отсчета все механические процессы происходят одинаково, то есть все эти системы отсчета равноправны.
В неинерциальных системах те же процессы происходят иначе.
1.3. Закон равенства действия и противодействия
Третий закон Ньютона, который принят в качестве одной из аксиом статики, считается справедливым также для движущихся тел и материальных точек:
Силы взаимодействия тел всегда направлены по одной прямой, направлены в противоположные стороны и равны по модулю.
1.4. Основной закон динамики
Фундаментальное значение имеет второй закон Ньютона, который называю- тосновным законом динамики:
Сила, действующая на свободную материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально этой силе:
R |
= F |
|
m a |
(1.1) |
|
|
|
В уравнение (1.1) входит величинаm, которая называется массой материальной точки. Она является мерой инертности точки: чем больше масса, тем меньшее ускорение сообщает точке приложенная сила
9
Масса измеряется в килограммах (кг), и, следовательно, единица силы
(ньютон) будет равна 1 Н = 1 кг× м .
с2
Примечания:
R
Если на точку действует несколько сил, то подF в уравнении (1.1) следует понимать их равнодействующую:
R |
n |
R |
|
m a |
= ∑ Fi |
(1.2) |
|
|
i=1 |
. |
|
Если точка не является свободной, то нужно воспользоваться принципом освобождаемостиот связей и к действующим на точку силам добавить соответствующие реакции.
Для описания движения точки в неинерциальной системе отсчета уравнение (1.1) непосредственно применять нельзя.
Тема 2. Динамика материальной точки
2.1.Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Пусть материальная точка движется в инерциальной системе отсчета. Если движение задано в векторной форме, то
2 R
R = d r a
dt 2 ,
и тогда уравнение (1.1) примет вид, который называют дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме.
|
2 R |
R |
|
|
|
d r |
|
||
m |
= F |
|
||
dt 2 |
(2.1) |
|||
|
, |
в котором сила может зависеть от положения точки, от скорости точки и от времени, то есть:
R |
R |
R R |
F |
= F |
(r , v, t ) . |
Спроектировав векторное равенство (2.1) на оси, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной (аналитической) форме: