6762

−

π

+ 2πn;

π

+

- положительные значения на интервалах

2πn , n Z;

2

2

π

3π

- отрицательные значения на интервалах

+

2πn;

+ 2πn ,

n Z.

2

2

2

−π ≤ x ≤ 2π .

Решение. На отрезке [− π ; 2π ] графики y = cos x и y = −

1

(рисунок 7.1)

2

3

3

3

исходного уравнения.

2π

2π

4π

Ответ. x −

,

,

.

3

3

3

Задача 2. Найти все решения неравенства

cos x > −

1

, принадлежащие

2

отрезку −π ≤ x ≤ 2π .

Решение. Из рисунка 7.1 видно, что график функции

y = cos x лежит

1

2π

2π

4π

выше графика функции y = −

на промежутках −

;

и

; 2π .

2

3

3

3

2π

2π

4π

Ответ. x

−

;

; 2π .

3

3

3

1.1. cosπ и cos

8π

;

1.2. cos

8π

и cos

10π

;

7

9

7

7

72

−

6π

−

π

−

8π

−

9π

1.3.

cos

и

cos

;

1.4.

cos

и

cos

;

7

8

7

7

1.5. cos1и cos3;

1.6. cos4и cos5.

2.1. cos x =

1

;

1.2. cosx =

2

;

2

2

1

2.3. cosx = −

2

;

1.4. cos x = −

.

2

2

3.1. cos x ≥

1

;

3.2. cos x ≥ −

1

;

2

2

3.3. cosx < −

2

;

3.4. cosx <

3

.

2

2

4.1. cosπ и sin π ;

4.2. sin π и cosπ ;

5

5

7

7

4.3. cos

5π

и sin

5π

;

4.4. sin

3π

и cos

3π

;

8

8

5

5

4.5. cosπ и sin

5π

;

4.6. cosπ и sin

3π

.

6

14

8

10

5.1. cos2x =

1

;

5.2. cos3x =

3

.

2

2

− π ≤ x ≤

3π

2

2

6.1. cos2x <

1

;

6.2. cos3x >

3

.

2

2

7. Построить график функции и выяснить её свойства

7.1. y = 1+ cos x ;

7.2. y = cos x − 2 ;

7.3. y = cos 2x ;

7.4. y = 3cos x .

8. Найти множество значений функции

y = cosx, если x принадлежит

промежутку

π

5π

7π

8.1.

; π

;

8.2.

;

.

3

4

4

9. Построить график функции

9.1. y =

cosx

;

9.2.

y = 3 − 2cos(x −1).

Ответы.

1.1.cos π > cos

8π

;

1.2.cos

8π

< cos

10π

;

1.3.

7

9

7

7

6π

π

8π

9π

cos

−

< cos −

;

1.4.

cos

−

< cos

−

;

1.5.

cos1> cos3;

1.6.

7

8

7

7

cos4 < cos5.

2.1.x = π ;

5π

;

7π

.;

2.2.x = π ;

7π

;

9π

;

2.3.

x =

3π

;

5π

;

11π

;

3

3

3

4

4

4

4

4

4

2.4.x =

2π

;

4π

;

7π

. 3.1.

0 ≤ x ≤ π ;

5π

≤ x ≤

7π

; 3.2.

0 ≤ x ≤

2π

;

4π

≤ x ≤

7π

;

3

3

3

3

3

3

3

3

3

6

6

6

4

4

4

5

10

4.2. sin π < cos π ;

4.3.

cos

5π

> cos π ; 4.4.

sin

3π

> cos

3π

; 4.5.

cos π < cos π ;

7

7

8

8

5

5

6

7

74

4.6. cos π > sin

3π

. 5.1. x = π ;

;

5π

;

7π

;

5.2. x = −

π

;

π

;

11π

;

13π

;

23π

;

25π

.

8

10

6

6

6

12

12

12

12

12

12

6.1.π < x <

5π

;

7π

< x <

3π

; 6.2.−

π

< x <

π

;

11π

< x <

13π

;

23π

< x <

25π

.

6

6

6

2

12

12

12

12

12

12

8.1. −1≤ y ≤ −

3

; 8.2. −

2

< y <

2

.

2

2

2

75

6. Функция y = sin x

- возрастает на отрезках

π

+ 2πn;

π

, n

Z;

−

+ 2πn

2

2

π

3π

- убывает на отрезках

+ 2πn;

+ 2πn

, n Z.

2

2

π

5π

Ответ. x

,

.

6

6

Рисунок 7.3. Графики функции y = sin x и y =

1

2

Задача 2. Найти

все решения неравенства

sin x <

1

, принадлежащие

2

отрезку −π ≤ x ≤ 2π .

Решение. Из рисунка 7.3 видно, что график функции y = sin x лежит ниже

1

π

5π

графика функции y =

на промежутках −π;

и

; 2π .

2

6

6

76

π

5π

Ответ. x −π;

; 2π .

6

6

1.1. sin

7π

и sin

13π

;

1.2. sin

13π

и sin

11π

;

10

10

7

7

7π

8π

8π

9π

1.3.

sin −

и

sin

−

;

1.4.

sin

−

и

sin

−

;

8

9

7

8

1.5. sin3и sin 4;

1.6. sin 7 и sin 6 .

2.1. sin x =

3

;

1.2. sin x =

2

;

2

2

2.3. sin x = −

2

;

1.4. sin x = −

3

.

2

2

3. Найти решения неравенств, принадлежащие отрезку [0; 3π ]

1

3.1. sin x >

;

3.2. sin x ≤

2

;

2

2

1

3.3. sin x ≥ −

;

3.4. sin x < −

3

.

2

2

4.1. sin π и cosπ ;

4.2. sin

9π

и cos

9π

;

9

9

8

8

4.3. sin π и cos

5π

;

4.4. sin π и cos

3π

.

5

14

8

10

5.1. sin 2x = −

1

;

5.2. sin3x =

3

.

2

2

6.1. sin 2x ≥ −

1

;

6.2. sin3x <

3

.

2

2

7.1.

y = 1− sin x ;

7.2.

y = 2 + sin x ;

7.3.

y = sin 3x ;

7.4.

y = 2sin x .

π

3π

5π

8.1.

; π

;

8.2.

;

.

6

4

4

9. Построить график функции

9.1. y = sin

x

;

9.2.

y =

sin x

.

Ответы.

1.1.

sin

7π

> sin

13π

;

1.2.

sin

13π

> sin

11π

;

1.3.

10

10

7

7

7π

8π

8π

9π

sin

−

> sin −

;

1.4.

sin

−

> sin

−

;

1.5.

sin3 > sin 4;

1.6.

8

9

7

8

sin7 > sin6. 2.1. x = π ;

2π

;

7π

;

8π

; 2.2. x = π ;

3π

;

9π

;

11π

;

2.3. x =

5π

;

7π

;

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

2.4.

x =

4π

;

5π

.

3.1.

π < x <

5π

;

13π

< x <

17π

;

3.2.

0 ≤ x < π ;

3π

≤ x <

9π

;

3

3

6

6

6

6

4

4

4

78

3.3.

0 ≤ x <

7π

;

11π

≤ x < 3π;

3.4.

4π

< x <

5π

.

4.1.

sin π < sin

7π

; 4.2.

6

6

3

3

9

18

sin

9π

> cos

9π

; 4.3.sin π > sin π ; 4.4.sin π < cos

3π

. 5.1. x = −

17π

; −

13π

;

8

8

5

7

8

10

12

12

−

5π

; −

π

;

5π

;

11π

; 5.2. x = −

11π

; −

10π

; −

5π

; −

4π

; π ;

2π

;

7π

;

8π

.

12

12

12

12

9

9

9

9

9

9

9

9

7.5. Функция y = tgx , её свойства и график

Основные свойства функции y = tgx

(рисунок 7.4)

- значение, равное 0, при x = πn , n Z;

πn;

π

- положительные значения на интервалах

+πn , n Z;

2

−

π

- отрицательные значения на интервалах

+πn;πn , n Z.

2

6. Функция y = tgx

−

π

+πn;

π

возрастает на интервалах

+πn , n Z.

2

2

3π

отрезке

−π;

эти графики пересекаются в трёх точках с абсциссами

2

Решение. Из рисунка 7.4. видно, что график функции y = tgx

лежит не

−

π

;arctg2

,

выше графика функции y = 2 на промежутках [−π;−π + arctgx ],

2

π

; π +arctg2 .

2

−

π

π

; π +arctg2

Ответ.x [−π;−π + arctgx ]

;arctg2

.

2

2

выше графика прямой

y = 1

π

;

π

на промежутке

, а также на промежутках,

4

2

полученных сдвигами его на π , 2π , 3π , − π , − 2π... .

π

+

πn;

π

Ответ. x

+πn , n Z.

4

2