6762

M

MM

(рисунок 4.5,

слева). Поэтому решениями неравенства

sin x ≥ −

1

2

1

2

являются

числа

x,

которые

принадлежат

промежутку − π ≤ x ≤

7π

. Все

6

6

решения

данного

неравенства

–

множество

отрезков

− π + 2πn ≤ x ≤

7π

+ 2πn, n Z.

6

6

π

7π

Ответ. x

−

+ 2πn;

+ 2πn , n Z.

6

6

2

Решение. Все точки окружности, лежащие ниже прямой

M1M2 имеют

ординату,

меньшую

(рисунок

4.5 слева). Поэтому

все числа

5π

π

sin x < −

1

x

−

;−

являются

решениями

неравенства

.

Все решения

6

6

2

этого неравенства – интервалы

−

5π

+ 2πn;− π + 2πn n Z.

6

6

5π

π

Ответ. x

−

+ 2πn;−

+ 2πn , n Z.

6

6

x

2

Задача 5. Решить неравенство cos

−1 ≤ −

.

4

2

51

Решение. Обозначим

x

−1 = y . Решая неравенство cos y ≤ −

2

(рисунок

4

2

4.5, справа),

находим

3π

+ 2πn ≤ y ≤

5π

+ 2πn, n Z.

Заменяя

y =

x

−1,

4

4

4

получаем

3π

+ 2πn ≤

x

−1≤

5π

+ 2πn,

откуда 1+

3π

+ 2πn ≤

x

≤ 1+

5π

+ 2πn,

4

4

4

4

4

4

Упражнения

1. Решить неравенства

1.1. cos x ≥

2

;

1.2. cosx <

3

;

2

2

1.3. cosx > −

3

;

1.4. cosx ≤ −

2

.

2

2

2. Решить неравенства

2.1. cosx ≤

2.2. cos x < −2;

3;

2.3. cos x ≥ 1;

2.4. cosx ≤ −1.

3. Решить неравенства

1

3.1. sin x >

;

3.2. sin x ≤

2

;

2

2

3.3. sin x ≤ −

2

;

3.4. sin x > −

3

.

2

2

4. Решить неравенства

4.1. sin x ≥ −

4.2. sin x > 1;

2;

4.3. sin x ≤ −1;

4.4. sin x ≥1.

52

5. Решить неравенства

5.2. 2sin 3x > −1;

5.1.

2

cos2x ≤1;

π

π

2

3

5.3.

sin x +

≤

;

5.4.

cos x −

≥

.

4

2

6

2

6. Решить неравенства

x

1

x

+ 2

≥

2

6.1.

cos

;

6.2.

sin

−

3 < −

.

3

2

4

2

7. Решить неравенства

7.1. sin2 x + 2sin x > 0;

7.2. cos2 x − cosx < 0.

Ответы.

1.1.

− π + 2πn ≤ x ≤ π + 2πn ,

n Z.;

1.2.

4

4

π + 2πn ≤ x ≤

11π

+ 2πn ,

n Z; 1.3.

−

5π

+ 2πn < x <

5π

+ 2πn ,

n Z;

1.4.

6

6

6

6

3π

+ 2πn ≤ x ≤

5π

+ 2πn ,

n Z. 2.1.

решений нет; 2.2. решений

нет;

2.3.

x = 2πk,

k Z; 2.4. x = π + 2πk,

k Z. 3.1. π + 2πn < x <

5π

+ 2πn ,

n Z; 3.2.

6

6

−

5π

+ 2πn ≤ x ≤ π + 2πn ,

n Z;

3.3.

−

5π

+ 2πn < x < − π + 2πn , n Z.;

3.4.

4

4

6

6

− π + 2πn ≤ x ≤

4π

+ 2πn ,

n Z.

4.1.

решений

нет; 4.2. решений

нет;

4.3.

x = −π + 2πn, n Z; 4.4.

x = π + 2πn,

n Z. 5.1. π + πn ≤ x ≤

7π

+ πn, n Z;

2

2

8

8

5.2. −

π

+

2πn

≤ x ≤

7π

+

2πn

,

n Z;

5.3. π + 2πn ≤ x ≤ 2π + 2πn ,

n Z;

5.4.

18

3

18

3

2

2πn ≤ x ≤ π + 2πn,

n Z;

6.1.

12 − 3π + 8πn ≤ x ≤ 12 −π + 8πn ,

n Z;

6.2.

3

1+ cos2 α

1

1+ sin2 α

1.1.

− sinα

tgα ;

1.2.

ctgα

− cosα .

sinα

2

cosα

2. Упростить выражение

π

+α

π

π

π

−α

sin

− cos

+α

sin

−α

+ cos

4

4

4

4

2.1.

;

2.2.

.

π

+

α

π

π

π

−α

sin

+ cos

+α

sin

−α

− cos

4

4

4

4

3. Доказать тождество

3.1. 1+ tgα tgβ =

cos(α − β )

;

3.2. tgα − tgβ =

sin(α − β )

.

cosα cos β

cosα cos β

4. Вычислить

2

π

5π

4.1. 2sin 6α cos

+ 3α

− sin 6α

при α =

;

4

24

4.2. cos3α + 2cos(π − 3α ) sin

2

π

5π

−1,5α при

α =

.

4

36

5. Вычислить

2cos2 π −1

8

3(cos750 − cos150 )

5.2.

.

π

2 π

5.1.

;

1+ 8sin

2

1− 2sin2 150

cos

8

8

54

6.

Доказать тождества

2sin 2α − sin 4α

2

2cos 2α − sin 4α

2

π

6.1.

= tg α ;

6.2.

= tg

− α .

2sin 2α + sin 4α

2cos 2α + sin 4α

4

7.

Показать, что

7.1. sin350 + sin 250 = cos50 ;

7.2. cos120 − cos480 = sin180 .

Проверочная работа

1. Найти значения выражений

1+ cos2α − sin 2α

при α =

7π

sin 750 + sin150

;

;

cos2α + cos(0,5 + α )

3

cos150 − cos750

1

3

arccos −

+ arcsin

.

2

2

8. Вычислить

1

3

1

8.1. 2arcsin

+ 3arcsin

−

;

8.2. arcsin

− 4arcsin1;

2

2

2

−

1

− arcsin

3

8.4. arccos(−1)− arcsin(−1);

8.3. arccos

;

2

2

55

1

(−1)+ 3arctg

8.5. 2arctg1−

3arctg −

;

8.6. 4arctg

3 .

3

9. Решить уравнения

1

9.1. cos(4 − 2x)=

;

9.2. cos(6 + 3x)= −

2

;

2

2

9.3.

π

= 0 ;

9.4.

π

− 3x

−

= 0.

3

2 cos 2x +

+1

2cos

4

3

10. Решить уравнения

π

x

π

10.1.

2sin 3x

−

+1 = 0

;

10.2.

1− sin

+

= 0;

4

2

3

10.3. 3 + 4sin(2x +1)= 0 ;

10.4. 5sin(2x −1)− 2 = 0.

π

π

1

12.1.

tg 2x

+

= −1;

12.2.

tg

3x −

=

;

4

4

3

π

1

π

12.3.

tg 3x

−

=

;

12.4. 1− tg x

+

= 0.

4

3

7

13. Решить уравнения

13.1. 2sin2 x + sin x = 0;

13.2. 3sin2 x − 5sin x − 2 = 0 ;

13.3. cos2 x − 2cosx = 0;

13.4. 6cos2 x + 7cosx − 3 = 0.

14. Решить уравнения

14.1. 6sin2 x − cosx + 6 = 0 ;

14.2.

8cos2 x −12sin x + 7 = 0.

56

15.

Решить уравнения

15.1. tg2x + 3tgx = 0;

15.2. 2tg2x − tgx − 3 = 0 ;

15.3. tgx −12ctgx +1= 0 ;

15.4. tgx + ctgx = 2.

16.

Решить уравнения

16.1. 2sin2x = 3cos2x ;

16.2.

4sin3x + 5cos3x = 0.

17.

Решить уравнения

17.1. 5sin x + cosx = 5;

17.2.

4sin x + 3cosx = 6.

18.

Решить уравнения

18.1. sin3x = sin5x ;

18.2. cosx = cos3x ;

18.3. cos2 3x − cos3x cos5x = 0;

18.4. sin3x sin5x − sin2 5x = 0.

19.

Решить неравенства

19.1. sin x ≥ −

3

;

19.2. sin x <

2

;

2

2

19.3. cosx ≤

3

;

19.4. cosx > −

2

.

2

2

20.

Упростить выражение

cosβ

+

sinβ

1− cos4α

.

cosα

− β

+α )

sinα

cos(π

21.

Доказать тождества

sin(2α − 3π )+ 2cos

7π

+ 2α

6

21.1.

= − 3ctg

2

4α ;

2cos π − 2α

+

cos(2α − 3π )

3

6

57

21.2.

4sin2 (α −1,5π )

= −2ctg2 4α ;

sin4 (α − 2,5π )+ cos4 (α − 2,5π )−1

21.3.

4sin2 (α −1,5π )

= −2ctg2 4α ;

sin4 (α − 2,5π )+ cos4 (α − 2,5π )−1

2cos π

− 2α −

sin(2,5π − 2α )+

3

tg2α

6

=

21.4.

.

2cos(4,5π − 2α )+ 2cos π

+ 2α

3

6

22.1.

1− cosα + cos2α

= ctgα ;

sin 2α − sinα

sinα + sinα

= tgα ;

22.2.

2