6762

Н.Е. ДЕМИДОВА

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Учебное пособие для иностранных граждан

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

ДЕМИДОВА Н.Е.

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия для иностранных граждан

НИЖНИЙ НОВГОРОД 2011

ББК 22.151.ОЯ729 Д 30

Научный редактор:

Петров В.В. – кандидат физико-математических наук, доцент ННГАСУ

Рецензенты:

Шабанов В.Н. – кандидат технических наук, доцент ННГУ Лисенкова Е.Е. – кандидат физико-математических наук, доцент ВВАГС

Демидова Н.Е. Математика. Основы тригонометрии: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегородский государственный архитектурностроительный университет, 2011. – 92 с.

Пособие предназначено для иностранных слушателей подготовительных отделений, поступающих в высшие учебные заведения.

Пособие включает основной материал курса «Основы тригонометрии». Определения, правила и формулы иллюстрируются большим количеством примеров и практическими указаниями. Подробная рубрикация и словарь облегчают восприятие необходимого материала.

Пособие также будет интересно всем учащимся, готовящимся к поступлению в вузы.

ББК 22.151.ОЯ729 Д 30

3

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

1.Основные понятия тригонометрии

1.1.Отношения в прямоугольном треугольнике

Пусть ∆ABC – прямоугольный, угол С – прямой, угол B – острый, a и b –

катеты, с – гипотенуза (рисунок 1.1). Синус угла B равен отношению

противолежащего этому углу катета к гипотенузе: sin B = b , косинус угла B c

равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos B = a , тангенс угла B c

равен отношению противолежащего и прилежащего катетов: tgB = b , a

котангенс угла B равен отношению прилежащего и противолежащего катетов:

ctgB = a . b

Рисунок 1.1. Прямоугольный треугольник ABC, a и b – катеты,

с – гипотенуза

1.2. Тригонометрическая окружность. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла α. Периодичность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α

Тригонометрическая (единичная) окружность – окружность радиусом, равным одному и с центром в начале координат (рисунок 1.2). Луч OPα

получен поворотом против часовой стрелки луча OP0 на угол α. Ордината точки Pα – синус угла α (sinα), абсцисса точки Pα – косинус угла α (cosα). Отрезок [-1;1] на оси Оy – линия синусов, отрезок [-1;1] на оси Оx – линия

ctgα = cosα . Прямая x=1 – линия (ось) тангенсов, прямая y=1 – линия (ось) sinα

котангенсов.

Рисунок 1.2. Тригонометрическая окружность

Угол α может измеряться в градусах и в радианах. Угол в один радиан –

центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности 1 рад≈

57017’. Формула перевода градусной меры угла α в радианнуюα = π α0 , где 1800

α0 – градусная мера угла.

Значения синуса косинуса и тангенса периодически повторяются:

sin(α + 2πk)= sinα, cos(α + 2πk)= cosα, tg(α + πk)= tgα, ctg(α + πk)= ctgα,

где k Z .

1.3. Знаки значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α в

различных четвертях. Положительные и отрицательные углы

Углы, полученные поворотом луча OP0 (рисунок 1.2) против часовой

стрелки принимаются положительными, по часовой стрелке – отрицательными. При этом sin(− α)= −sinα, cos(− α)= cosα , tg(− α)= −tgα,

ctg(− α)= −ctgα.

5

1.4. Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса основных углов

не сущ. – не существует

6

2.Основные формулы тригонометрии

2.1.Соотношения между тригонометрическими функциями одного и

того же аргумента

7

2.5. Формулы половинного аргумента (для синуса и косинуса формулы

понижения степени)

2.6. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

2.7. Формулы преобразования произведения тригонометрических

функций в сумму

sinα sinβ = cos(α − β)− cos(α + β);

2

cosα cosβ = cos(α − β)+ cos(α + β);

2

sinα cosβ = sin(α − β)+ sin(α + β).

2

8

2.8. Формулы приведения

Для того чтобы записать любую из формул приведения, можно

руководствоваться следующими правилами:

1. в правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при

условии 0 < α < π .

заменяется на косинус, тангенс – на котангенс и наоборот. Если угол равен

π ± α , то замены не происходит.

9

четверти отрицателен. По второму правилу косинус нужно заменить на синус,

3. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Задача 1. Вычислить tgα , если sinα = −0,8 и π < α < 3π .

2

Решение. cos2 α =1− sin2 α =1− (0,8)2 = 0,36, cosα = ±0,36 = ±0,6. Так как по условию угол α находится в III четверти, то cosα < 0, следовательно,

Задача 2. Упростить выражение sin3α cosα + cos3α sinα .

Решение.

Упражнения

1. Вычислить sinα , если cosα = 3 , 3π <α < 2π .

52