6395
.pdfГ. А. Маковкин, М. Ф. Сухов
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ (ЦРС)
Учебное пособие
Нижний Новгород
2022
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Г. А. Маковкин, М. Ф. Сухов
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ (ЦРС)
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
1
ББК 30.12 М 16 С 91
УДК 539.3
Печатается в авторской редакции
Рецензенты:
А.К. Ломунов – д-р физ.-мат. наук, ст. научный сотрудник НИИ Механики
|
|
ФГАОУ |
ВО |
|
«Национальный |
исследовательский |
|||
|
|
Нижегородский |
|
государственный |
ун-т |
им. |
Н. |
И. |
|
|
|
Лобачевского» |
|
|
|
|
|
|
|
А.Ю. |
Панов – |
д-р |
техн. |
наук, профессор, заведующий кафедрой |
|||||
|
|
теоретической |
и |
прикладной механики |
ФГАОУ |
ВО |
|||
|
|
«Нижегородский |
государственный |
технический |
|||||
|
|
университет им. Р.Е. Алексеева» |
|
|
|
|
|||
Маковкин Г.А. Центральное растяжение-сжатие (ЦРС) [Текст]: |
учеб. |
||||||||
пособие / Г. А. Маковкин, М. Ф. Сухов; Нижегор. гос. |
архитектур.- строит. |
||||||||
ун-т – |
Н.Новгород: ННГАСУ, 2022. – 32 с. ISBN 978-5-528-00479-2 |
|
|
||||||
Пособие содержит теоретические сведения и основные методы расчета стержневых элементов строительных конструкций: стоек, колонн, которые находятся в условиях ЦРС. Большое внимание уделено вопросам деформирования стержней в продольном и поперечном направлениях и связанное с этим – законом Пуассона и коэффициентами Пуассона для различных материалов. Выводится закон Гука, объясняется модуль Юнга. Подробно излагаются методы расчета на прочность: метод допускаемых напряжений, метод предельного равновесия, метод предельного состояния.
Примеры расчета сопровождаются необходимыми пояснениями к решению. В пособии приводятся многочисленные примеры и задачи для самостоятельного решения домашних и классных контрольных работ по дисциплине Техническая механика.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство» Рис. 18
ББК 30.12
ISBN 978-5-528-00479-2
© Г.А.Маковкин,
М.Ф.Сухов, 2022 © ННГАСУ, 2022
2
Содержание
1.Деформации при ЦРС…………………………………….………………...………..5
2.Напряжения при ЦРС……………………………………………………..…………8
3.Расчет на прочность методом допускаемых напряжений……..…………10
4.Метод расчета на прочность……………………………………………………11
5.Способы постановки задач расчета на прочность………………………….12
6.Перемещение сечений стержня. Расчет на жесткость..………..………..14
7.Напряжения в наклонных сечениях……………………………….………….....15
8.Закон парности касательных напряжений…………………….……………...18
9.Понятие о концентрации напряжений…………………..……..…………..….21
10.Примеры решения задач………………………………………..……………..…23
11.Литература…………………………………………………………………..…….32
3
1. ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ЦРС
Вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только продольное усилие N , называется центральным (осевым) растяжением-сжатием (ЦРС). Центральное растяжение-сжатие чаще всего возникает в центрально сжатых колоннах и стойках, в тросах, а также в стержнях ферм. На рис. 1 показано, что при растяжении, когда сила направлена «от сечения», продольная сила считается положительной, а при сжатии, когда она направлена «к сечению», – отрицательной.
C
N > 0 |
x |
x
C
N < 0
y y
Рис. 1
Усилие N находится из уравнения равновесия, составленного для отсеченной части стержня.
Рассмотрим деформации, которые возникают при растяжении стержня.
Взяв стальную полосу, выделим, в соответствии с принципом СенВенана, область достаточно удалённую от точек приложения внешних сил. В выделенной области нанесём на её поверхность тела сетку линий, расположенных через равные промежутки, как в продольном, так и в поперечном направлении. Пусть характерная ячейка этой сетки имеет размеры a × b .
После приложения растягивающих внешних сил F внутренняя продольная сила N будет равна F . Эксперименты показывают, что в результате произойдут деформации стержня, при которых поперечные сечения останутся плоскими и перпендикулярными к оси стержня. При этом все ячейки сетки изменят свои размеры одинаковым образом: в продольном направлении эти размеры увеличатся, а в поперечном – уменьшатся (рис. 2).
Изменения размеров являются абсолютными линейными
4
деформациями ячейки сетки:
a = a′ − a, |
b = b′ − b. |
(1) |
Удобнее оценивать деформации с помощью относительных линейных деформаций, поскольку они не зависят от размеров ячейки:
ε |
z |
= ε |
np |
= |
a , |
ε |
y |
= ε |
nonep |
= |
b . |
(2) |
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку, как отмечено выше, все ячейки сетки изменят свои размеры одинаковым образом, то относительные деформации при ЦРС в пределах поперечного сечения будут оставаться постоянными:
ε z (x, y ) = const , |
ε y (x, y ) = const . |
|
До нагружения |
|
b |
|
a |
|
a × b |
|
После нагружения |
F |
F |
|
b ′ |
a ′
a′ × b′
Рис. 2
Очевидно, что знаки продольных и поперечных деформаций будут различными. Кроме того, опыты показывают, что отношение поперечной деформации к продольной для каждого конкретного материала есть величина постоянная:
ε nonep |
= −ν = const. |
(3) |
ε прод
Приведённое соотношение известно как закон Пуассона.
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выдающийся французский ученый, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
которого по праву считают одним из |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
создателей современной |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
математической физики. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Его имя часто встречается в учебниках |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
по математическому анализу и |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электромагнетизму, теории |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
вероятностей и акустики, квантовой |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
механике и теории упругости. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
В истории науки Пуассон стоит в одном |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряду с его выдающимися |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
современниками - Лапласом, Лагранжем, |
|
|||||||||||||||||
|
Симон Дени Пуассон |
|
|
|
Фурье, Коши, |
Ампером |
, Гей-Люссаком, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Френелем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1781 — 1840, Франция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент ν называется коэффициентом Пуассона, который, как и модуль Юнга, является физико-механической характеристикой материала.
Для различных материалов значения коэффициента Пуассона принимают значения, существенно отличающиеся друг от друга. Приведём примеры:
ν = 0 |
для пористых материалов, таких как поролон; |
ν = 0.5 |
для материалов, которые в процессе деформирования не |
|
изменяют объём, таких как резина; |
ν = 0.25÷ 0.3 |
для различных марок стали. |
6
2. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ЦРС
Продольная сила N представляет собой сумму распределённых по поперечному сечению нормальных напряжений:
N = σ z dA ,
A
причём в общем случае закон распределения этих напряжений неизвестен. Эксперименты показывают, что вплоть до определённых границ напряжения прямо пропорциональны деформациям. Эта зависимость носит
название закона Гука, и при ЦРС записывается следующим образом:
σ z = Eε z ,
где E – экспериментально определяемая постоянная, известная как
модуль Юнга.
Если принять, что закон Гука выполняется, то поскольку деформации являются постоянными, то и напряжения в поперечном сечении также будут постоянными (рис. 3):
σ z (x, y) = const. .
Тогда, вынося напряжение из-под интеграла (*), получим, что
N = σ z dA = σ z dA = σ z × A.
A A
C
x |
N > 0 |
x |
|
|
y |
σ z |
y |
Рис. 3
Отсюда следует формула для определения напряжений при ЦРС:
σ z |
= |
N |
. |
(4) |
|
||||
|
|
A |
|
|
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Английский естествоиспытатель |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Роберт Гук был одним из наиболее |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
выдающихся умов семнадцатого |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
века. Он работал над |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
разнообразными гипотезами и |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
приборами, усовершенствовал |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
строение микроскопа и первым |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
установил особенности клеточного |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
строения тканей. Занимался |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
исследованиями в самых |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
разнообразных областях науки: |
|
|
||||||||
Роберт Гук |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
биологии, оптике, механике. |
|
|
||||||||
1635-1703 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Томас Юнг
1773-1829
Английский ученый, один из основоположников волновой теории
света. Сформулировал принцип
интерференции, высказал идею о
поперечности световых волн. Объяснил
аккомодацию глаза, разработал теорию
цветного зрения. Ввел характеристику
упругости (модуль Юнга). Опубликовал
множество трудов по акустике,
астрономии, расшифровке египетских
иероглифов.
8
3.РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ МЕТОДОМ ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Основным методом расчёта на прочность в сопротивлении материалов является метод допускаемых напряжений.
Идея, лежащая в основе метода, заключается в следующем:
Наибольшие напряжения в конструкции не должны превышать
экспериментально установленного опасного уровня, превышение
которого может привести к развитию процессов разрушения материала.
В качестве опасных напряжений для пластичных материалов обычно принимают предел текучести, а для хрупких материалов – временное сопротивление:
σonac . |
σ |
|
для пластичныхматериалов |
|
= |
T |
|
(5) |
|
|
σB |
для хрупкихматериалов. |
|
|
Реальные параметры эксплуатации конструкции могут отклоняться в неблагоприятную сторону от нормативных значений, принимаемых при проектировании и расчете:
∙Конструкция может иметь неучтённые дефекты, возникшие при её изготовлении, транспортировке и монтаже,
∙Материал конструкции может иметь пониженные прочностные характеристики, что возможно по причине некоторого статистического разброса свойств материалов,
∙Нагрузки при неблагоприятных погодных или эксплуатационных условиях могут превысить расчётные значения.
Чтобы гарантировать, что опасные напряжения в процессе эксплуатации конструкции не возникнут, в качестве верхней границы напряжений (рис. 4) принимаются допускаемые напряжения, которые получаются путем деления опасных значений на коэффициент запаса.
[σ ]= σonac. , n >1 (n −коэффициентзапаса). |
(6) |
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
Таким образом, условие прочности при ЦРС формулируется |
|
||||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
σ |
|
|
|
N |
|
≤ [σ] |
|
max |
|
z |
|
= max |
|
(7) |
|||
|
|
||||||||
|
|
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если прочность материала на растяжение и сжатие отличаются, то
9