Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4157

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

439.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

∫

(4x + 4) dx

∫

2x2

+ 4x − 6

+ C .

+ 4x

− 6

Тогда:

3x + 5

dx =

2x + 4x − 6

x −1

+ C .

∫ 2x2 + 4x −

x + 3

Рассмотрим интеграл

∫

при а > 0 и при а < 0.

a x2

+ b x + с

Если а > 0, то интеграл преобразуется к виду:

∫

a x2 + b x + с

x2 + px + q

−

+ q

∫

x +

± k

где p =

q =

, а знак перед k2 (см. пример I1).

Выполняя замену x +

= t , интеграл сведется к табличному:

t +

+ C .

t 2 ± k 2

∫

t 2

± k 2

Тогда

x +

+ px + q

+ R =

∫ a x2 + b x + c

x +

+ R

В случае а < 0, так что а = −

, радикал преобразуется к виду:

a (x

+ px

+ q) =

± k

a x

обозначив x + p = t , получим = at 2 ± k 2 .

Вычисляемый интеграл преобразуется к табличному

∫

= ∫

a x 2

+ bx + c

at 2

+ k 2

k 2

+ at 2

при условии, что знак перед k 2 положительный.

Тогда, выполняя замену а t = U , получим:

arcsin

+ C =

arcsin

x + C .

∫

k 2 + at 2

k 2 − U 2

Интеграл вида:

Ax + B

∫

a x2

+ bx + с

вычисляется с помощью преобразований, аналогичных тем, которые ранее рассмотрены в вычислении интеграла I2:

Ax + B

(2ax + b) + B −

∫

dx = ∫

dx =

a x2

+ bx + с

ax2 + bx + с

(2ax + b)dx

∫

+ B −

∫

ax2 + bx + с

ax2

+ bx + с

Выполняя в первом из полученных интегралов подстановку ax2 + bx + C = t ,

получим (2ax + b)dx = dt .

Тогда

(2a x + b)dx

+ R =

+ R .

ax2 + bx + с

2a ∫ ax2 + bx + с 2a ∫ t a

Второй интеграл был рассмотрен (см. I3).

Пример 7.4. Найти интеграл	∫	2x − 3
					dx


		2x	2	+ 8x + 1

Вычисляя производную подкоренного выражения 2a + b = (2x2 + 8x + 1)′ , находим,

что 2ax + b = 4x + 8 . Подставляя найденное значение в интеграл, последний запишется в виде:

2x − 3

(4x + 8)− 4 − 3

4x + 8

∫

dx = ∫

dx =

∫

dx − 7∫

2x2 + 8x +1

∫

−

∫

−

∫

x2 + 4x +

(x + 2)2 − 4 +

−

V + V 2 −

+ C =

2x2 + 8x + 1

2 ∫

−

x + 2 + x2 + 4x +

+ C

2x2 + 8x + 1

Пример 7.5.

Найти интеграл ∫

2x + 1

dx .

− 3x

+ 6x

+ 9

В вычисляемом интеграле а < 0. Выполняя тождественные преобразования подынтегральной функции, получим:

2x + 1

−

(− 6x + 6) + 3

∫

dx =

∫

dx =

− 3x2

+ 6x + 9

= −

− 6x + 6

dx + 3

∫

− 3x2 + 6x + 9

− 3(x −1)2 + 12

∫

Производя замену t = −3x2 + 6x + 9 в первом и втором (x −1) = U интеграле,

запишем: = −	1	∫	dt		+ 3∫			dU				= −	2			+	3	arcsin		3	U + C .
															− 3x 2 + 6x + 9

3				t		(		)2 − (		U )2	3			3					12
							12		3
Тогда

2x + 1

dx = −

arcsin

(x −1) + C .

− 3x 2 + 6x + 9

∫

− 3x2 + 6x + 9

									m

								n
§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА R						x,	a x + b
§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА R						x,

						c x + d

Рассмотрим интеграл
		m1		mα
		m1
∫ R		n1	,..., x	nα
∫ R	x, x		,..., x		dx , где R- рациональная функция своих аргументов, т.е.

mi – рациональное число. ni

Пусть k – наименьшее общее кратное (НОК) чисел {n1 , n2 ,...,nα }. Выполняя подстановку x = tk , получим dx = k t k −1 × dt , что каждая дробная степень х выразится через целую степень t. Подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию аргумента t.

В интеграле вида:

mα

+ b

nα

∫

a x + b

,...,

a x

+ d

c x

выполняя подстановку

a x + b

= t k , где

k = НОК{n },

c x + d

i =1−α

подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t. Приемы интегрирования рациональных функций описаны в § 6.

Пример 8.1. Найти интеграл	∫			6	x		dx .
		1		+	3
						x
В рассматриваемом интеграле n1 = 6,			n2		= 3; поэтому k = 6. Выполняем

подстановку x = t6 , тогда dx = 6t 5dt и, следовательно,

t 6

x 6

∫

dx = ∫

× 6t

dt = 6

∫

dt =

6∫ t

- t

+ 1 -

dt =

+ t

1 + t

+ t

1 + x 3

t 5

t 3

= 6

+ t - arctgt

+ C

Переходя к «старой» переменной, получим:

6 x

dx =

x 6

- 2x

+ 6x

- 6arctg x

+ C .

∫1 + 3

Пример

8.2.

Найти интеграл

∫

3 (1 −

2x)2

1 − 2x −

В подынтегральной функции n1 = 2, n2

= 3 , поэтому k = НОК{2,3} т.е. k = 6.

Заменяя 1-2х = t6, получим − 2dx = 6t5dt . Интеграл запишется в виде:

− 3t 5 dt

t 2 dt

= −3

= 3

t + 1

dt =

∫

∫ t −1

∫

− 3 (1 − 2x)2

1 − 2x

t 3 − t 4

1 − t

t −1

=3 t 2 + 3t + 3 ln t − 1 + C . 2

Тогда

		dx		3			1		1			1
∫					= (1 − 2x)		1	+ 3(1 − 2x)	1	+ 3ln	(1 − 2x)	1	− 1	+ C =
∫					= (1 − 2x)		3	+ 3(1 − 2x)	6	+ 3ln	(1 − 2x)	6	− 1	+ C =
		− 3				2	3		6			6
			(1 − 2x)2
	1 − 2x
	1 − 2x

=3 3 1 − 2x + 36 1 − 2x + 3ln 6 1 − 2x −1 + C . 2

§9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Вэтом параграфе рассматриваются способы интегрирования рациональных функций sin x и cos x, т.е. интегралы виды:

∫R (sin x, cos x)dx

Подстановка tg x = t , которую называют универсальной, рационализирует

рассматриваемый интеграл, т.е. сводит его к интегралу от рациональной функции аргумента t.

Из тригонометрии известно, что

	2 tg	x			1 - tg2	x
						2
sin x =	2			и cos x =			.

	1 + tg2		x		1 + tg2	x
			2			2

Тогда в соответствии с подстановкой получим:

sin x =

, cos x =

1− t 2

+ t 2

1+ t 2

Выражая из подстановки t = tg

, х как функцию от t, получим:

arctgt = arctg tg

или

= arctgt ,

x = 2arctg t тогда dx =

2 dt

1 + t 2

Пример 9.1.

Найти интеграл ∫

sin x

В соответствии с подстановкой t = tg

интеграл запишется в виде:

1+ t 2

∫

= ∫

dt = ∫

= ln

+ C .

sin x

1+ t 2

Тогда

+ C = ln

1- cos x

= ln

∫ sin x

sin x

= ln

cosecx - ctg x

+ C

Пример 9.2. Найти интеграл ∫

cos x

+ C = ln	1	- ctg x	+ C =

	sin x

Выполним тождественные преобразования:

+ x

∫

= ∫

∫

cos x

sin

+ x

sin

+ x

Обозначая V =

+ x

, получим

∫

= ∫

sinV

sin

+ x

Первообразная последнего интеграла найдена в примере 9.1. Запишем её:

= ln

+ C .

∫ sinV

Искомый интеграл равен:

= ln

+ C .

∫ cos x

Пример 9.3. Найти интеграл

∫

3sin x − 4 cos x

Выполняя универсальную подстановку, получим:

∫	dx	= ∫	1 + t 2	2dt	= ∫	dt
			3 × 2t - 4(1 - t 2 ) ×			3t - 2(1 - t 2 ) =
	3sin x - 4cos x			1 + t 2

Нахождение последнего интеграла описано в § 7 (см. Интеграл запишем в виде:

1	∫			dx				=	1	∫			dV		=	1	×	4	ln
2	∫		3		2	9		=	2	∫		2		5 2	=	2	×	2 × 5	ln
		t +			-		-1				V		-
		t +			-	16	-1				V		-
			4			16								4

∫ 2t 2 + 3t - 2 .

I1).

4V - 5 + C =

4V + 5

	1			16t - 8		1		t -	1
=		× ln			+ C =		× ln	t -	2	+ C
									2
			16t + 32						1
	5		16t + 32		5			t +	1
								t +	2
									2

Тогда

∫

× ln

+ C .

3sin x - 4cos x

Основные случаи применения частных подстановок

а. В интеграле

∫sinm x ×cosn x dx , где

m или

n –

нечетное

положительное

целое число.

Допустим, что m = 2k + 1, тогда

∫sin2k +1x ×cosn x dx = ∫cosn x ×sin2k x ×sin x dx = ∫cosn x(1- cos2 x)k sin x dx .

Выполняя замену cos x = t , получим -sin x dx = dt , sin xdx = −dt.

Интеграл запишется

∫cosn x × (1- cos2 x)k ×sin x dx = -∫t n × (1- t 2 )k × dt ,

а это есть

интеграл от

рациональной функции.

Пример 9.4. Найти интеграл ∫3sin2 x ×cos3 x dx .

Показатель степени

косинуса нечетное

число.

Выполняя подстановку

sin x = t,

cosx dx = dt , получим:

∫sin

23 x ×cos2 x ×cos x dx = ∫sin

23 x × (1 - sin2 x)×cos x dx = ∫t

23 (1 - t 2 )dt =

= ∫t 23 dt - ∫t 83 dt =

t 53 -

t113 + C

Тогда

∫3

× cos3 x dx =

(sin x)53 -

(sin x)113 + C .

sin 2 x

б. В интеграле

∫sinm x ×cosn x dx , где m и n – четные неотрицательные числа.

Применение тригонометрических формул

sin 2 ax =	1 - cos 2ax	,	cos2 bx =	1 + cos 2bx	позволяет понизить степень синуса и

2			2

косинуса, в конечном счете, свести рассматриваемый интеграл к сумме интегралов от констант и нечетных степеней синуса и косинуса.

Пример 9.5. Найти интеграл ∫sin 4 x ×cos2 x dx .

Применяя тождественные преобразования, получим:

	4		2		1 - cos 2x 2		1 + cos 2x
∫ sin		x ×cos		x dx = ∫		×		× dx =
					2		2

=18 ∫ (1 - 2 cos 2x + cos2 2x)×(1 + cos 2x)dx =

=18 ∫ (1 - cos 2x - cos2 2x + cos3 2x) dx =

=1 ∫ dx - 1∫ cos 2x dx - 1 ∫ 1 + cos 4xdx + 1 ∫ cos 2x × (1 - sin2 2x)dx = 8 8 8 2 8

x -

sin 2x -

x -

sin 4x +

sin 2x -

∫ cos 2x ×sin2 2x dx

16 × 4

Выполняя замену sin 2x = t ,

cos 2x × 2dx = dt в последнем интеграле, получим:

∫cos 2x ×sin2 2x dx = -

∫t 2 dt = -

t 3

+ C .

Тогда

∫sin 4 x ×cos2 x dx =

x -

sin 4x -

sin3 2x + C .

Пример 9.6. Найти интеграл

∫cos2 x dx .

Преобразуем интеграл к виду:

∫cos2 x dx = ∫

1 + cos 2x

dx =

∫ dx +

∫cos 2x dx .

Тогда

∫cos2 x dx =

x +

sin 2x + C .

в. В интегралах вида:

∫cos m x ×sin n x dx ; ∫cos m x × cos n x dx ; ∫sin m x ×sin n x dx

применяются следующие формулы (m ≠ n):

sin m x × cos n x dx = 1 [sin(m + n)x + sin(m - n)x] , 2

cos m x × cos n x dx =

[cos(m + n)x + cos (m - n)x],

(15)

sin m x ×sin n x dx =

[- cos(m + n)x + cos(m - n)x].

Например, подставляя в интеграл и интегрируя, получим:

∫ cos m x ×sin n x dx =

∫ [sin (m + n)x + sin(m - n)x]dx =

cos (m + n)x

cos (m - n)x

= -

+ C

2 (m + n)

2 (m - n)

Два других интеграла находятся аналогично.

Пример 9.7.

Найти интеграл

∫sin 4x ×sin 6x dx .

Выполняя тождественное преобразование по формуле (15), получим:

∫sin 4x ×sin 6x dx =	1	∫cos 2x dx -	1	∫cos10x dx =	1	sin 2x -	1	sin10x + C .

2		2		4		20

§ 10. ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим интегралы вида:

∫ R (x, a 2 − x2 )dx , ∫ R (x, a 2 + x2 )dx и ∫ R (x, x2 − a 2 )dx .

Для приведения интегралов от иррациональной функции к рациональной функции используются подстановки:

для первого интеграла x = a cost или x = asint ,

для второго x = a tgt (x = a ctgt ) и

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023439.71 Кб04152.pdf
#
21.11.2023439.74 Кб04153.pdf
#
21.11.2023439.81 Кб04154.pdf
#
21.11.2023439.82 Кб14155.pdf
#
21.11.2023439.82 Кб14156.pdf
#
21.11.2023439.88 Кб04157.pdf
#
21.11.2023439.91 Кб04158.pdf
#
21.11.2023439.99 Кб04159.pdf
#
21.11.2023117.67 Кб0416.pdf
#
21.11.2023440.07 Кб14160.pdf
#
21.11.2023440.13 Кб04161.pdf