Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4157

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

439.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Пример 6.5.

Разложить

правильную

дробь

4x + 7

на

(x2 + 3x + 8)(x2 − 2x + 7)

простейшие дроби.

Согласно формуле (9) разложение запишется в виде:

4x + 7

M1x + N1

M 2 x + N2

(x2 + 3x + 8)(x2 − 2x + 7)

x2 + 3x + 8

x2 − 2x + 7

случае,

когда среди

множителей знаменателя

имеются

повторяющиеся множители второй степени:

Rα ( x)

M1x + N1

(x2 + p1x + q1 )β 1 L(x2 + pr x + qr )β r

x2 + p1x + q1

M 2 x + N2

+ L +

M β 1 x + Nβ 1

+ L +

(10)

(x2 + p1x + q1 )2

(x2 + p1x + q1 )β 1

D x + L

Dβ r x + Lβ r

+ L +

x2 + pr x + qr

(x2 + pr x + qr )2

(x2 + pr x + qr )β r

Пример

6.6.

Разложить правильную дробь

7x2 + 3x − 5

на

(x2 − 3x + 8)2 (x2 + x + 4)

простейшие дроби.

По формуле (10) разложение запишется в виде:

7x2 + 3x − 5	= x	A x + B		+	A x + B			Dx + L
(x2 − 3x + 8)2 (x2 + x + 4)		2 − 3x + 8			(x2 − 3x + 8)2		+ x2 + x + 4 .
		1	1		2	2

Подводя итог вышесказанному, разложение правильной дроби запишется

R (x)

+ ... +

Aγ

+ ... +

Qm (x) =

(x − a1 ) +

(x −1)2

(x − a )γ1

+ Lβ

(11)

x + N

D x + L

Dβ

+ ... +

x 2 + pr x + qr

2 + p

x + q

)βr

где A1 , A2 ,L, Aγ1 ,L, M1 , N1 ,L, D1 , L1 ,L, Dβr Lβr — неопределённые коэффициенты, которые необходимо вычислить.

Нахождение неизвестных коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие дроби покажем на примерах.

Пример 6.7. Разложить правильную дробь

x + 3

на простейшие дроби.

x3 − 2x2 + x

Разлагая многочлен x3 - 2x2 + x на множители,

x3 - 2x2 + x = x(x2 - 2x +1) = x( x -1)( x -1) = x( x -1)2

обнаруживаем, что многочлен имеет три действительных корня

x1 = 0, x2 = 1 и

x3 = 1, один из которых x1 = 0 —

простой и два x2 = 1 и x3 = 1 —

кратные.

Согласно формуле (11) разложение правильной дроби на простейшие дроби

запишется в виде:

x + 3

(12)

x( x -1)2

x -1

( x -1)2

Приведя правую часть равенства к общему знаменателю

x + 3

(

)

(

)

x − 1 2 + B

x − 1 x + Cx

x ( x − 1)2

отметим, что дроби с равными знаменателями равны, когда равны их числители. Знаменатели дробей равны, значит должны быть равны и числители, т.е.

x + 3 = A( x -1)2 + B ( x -1) x + Cx .

Приравнивая в тождестве коэффициенты при одинаковых степенях x :

0 × x2 + x + 3 = x2 ( A + B) + x(C - B - 2A) + A,

получим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными A, B, C вида:

A + B = 0 при	x2
	при x .
-2 A - B + C =1	при x .

A = 3 при x0

Решая

её, находим

A = 3,

B = −3

С = 4 .

Подставляя в (12)

найденные

значения A,

и С, получим:

x + 3

−

( x

− 1)2

x3 − 2x + x x x − 1

∫

( x)

Задача

интегрирования

выражения

вида

свелась к

отысканию

Qm ( x)

интегралов от простейших дробей.

∫

dx = Aln

x + a

+ C

x + a

(

)

−n+1

x + a

∫

II.

dx = A

+ C

( x + a )

−n + 1

III. ∫

Mx + N

+ px + q

IV. ∫

Mx + N

(x2 + px + q)n

Интегралы первых двух дробей найдены. Вычисление интеграла под номером IV выходит за рамки излагаемого материала. Покажем способ вычисления интеграла III.

Mx + N

∫ x2 + px + q dx =

обозначая

t = x

+ px + q,

найдём

dt = (2x + p )dx

Выполняя тождественные преобразования, получим:

Mx + N

(2x + p) −

+ N

∫

dx = ∫

dx =

+ px

+ q

+ px + q

(2x + p )dx

+ N −

∫ x2 + px + q

2 ∫ x2 + px + q

N −

∫ t

∫

p 2

+ q −

Учитывая, что знаменатель x2 + px + q имеет только комплексные корни,

дискриминант	p2	- q = D < 0	тогда -D = q -	p2	> 0 . Обозначая	q -	p2	= a2 и

4			4			4

x + p = u , находим du = dx . 2

Продолжая вычисления, получим:

+ N -

2 ∫ u2

+ a2

+ px + q

+ N -

× arctg

+ C

Интеграл равен:

Mx + N

dx =

x2 + px + q

N − Mp

arctg

2x + p

+ C .

∫ x2 + px + q

4q − p2

Пример 6.8. Найти интеграл ∫ ( x -1)( x + 2) dx .

Подынтегральная функция	3x	является правильной рациональной
	( x -1)( x + 2)
дробью (n =1, m = 2, n < m) . Методом		неопределённых коэффициентов

разложим её на сумму простейших дробей. Согласно формуле (7) разложение запишется в виде:

3x		A1( x+2		A2( x−1		A1	( x + 2) + A2 ( x − 1)
	=		+		=			,
( x − 1)( x + 2)	=	x − 1	+	x + 2	=		( x − 1)( x + 2)	,

откуда

A1x + 2 A1 + A2 x − A2 = 3x или ( A1 + A2 ) x + 2 A1 - A2 = 3x .

Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях x

( A1 + A2 ) × x + (2A1 - A2 ) × x0 = 3x + 0 × x0 ,

получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными A1 и A2 :

x : A + A = 3

3A = 3

A =1

: 2A1 - A2 =

A2 = 2A1

A2 = 2

Таким образом,

( x -1)( x + 2)

x -1

x + 2

x -1

x + 2

Следовательно,

dx =

2dx

∫ ( x -1)( x + 2)

∫

∫ x -

∫ x

+ 2

-1 x +

= ln

x -1

+ 2ln

x + 2

+ C = ln

( x -1) × ( x - 2)2

+ C.

Ответ:

∫

dx = ln

( x -

1)( x + 2)

+ C .

( x -1)( x + 2)

Пример 6.9. Найти интеграл ∫

dx .

+ 4x +

Подынтегральная функция

является правильной рациональной

x2 + 4x + 3

дробью (n =1,

m = 2,

n < m) .

Разложим знаменатель этой дроби на линейные множители:

x2 + 4x + 3 = ( x - x

)( x - x

), где

-4 ± 42 - 4 ×1× 3

-4 ±

-4 ± 2

x =

16 -12

1,2

2 ×1

x =

-4 + 2

= -2

= -1, x =

-4 - 2

= -6 = -3.

Тогда x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x + 3)

и следовательно,

x2 + 4x + 3

( x +1)( x + 3)

Методом неопределённых коэффициентов разложим последнюю дробь на сумму простейших дробей. Согласно формуле (7) имеем:

( x+3

( x+1

(

x + 3

)

+ B

(

x + 1

Ax + 3A + Bx + B

)

( x + 1)( x + 3)

x + 1

x + 3

( x + 1)( x + 3)

откуда

( A + B) × x + 3A + B = 4x + 0 × x0

x : A + B = 4

-2A = 4

A = -2

x0 : 3A + B = 0

B = -3A

Û B = 6

Итак,

−2

dx =

dx = −2

+ 6

∫ x2 +

∫ x +

(13)

4x + 3

∫ x + 1

= −2ln

x + 1

+ 6ln

x + 3

+ C

3x + 5

Пример 6.10. Найти интеграл ∫

dx .

+ 2x +

Выполняя замену

t = x2 + 2x + 5 , найдём dt = (2x + 2)dt . Преобразуем

подынтегральную функцию:

3x + 5

(2x + 2) −

3 × 2

+ 5

(2x + 2) + 2

x2 +

2x + 5

x2 + 2x + 5

Интеграл запишется:

3x + 5

(2x + 2) + 2

2x + 2

)

∫

dx = ∫

dx =

∫

(

+ 2∫

+ 2x + 5

∫

+ 2∫

+ 2x + 5

Выделяя полный квадрат

x2 + 2x + 5 = ( x +1)2 -1 + 5 = ( x + 1)2 + 4

и обозначая x +1= u,

du = dx , получим:

x2 + 2x + 5

+ 2∫

x2 + 2x + 5

+ 2∫

( x + 1)

+ 22

x2 + 2x + 5

+ arctg

x+1

+ C

Пример 6.11. Найти ∫

x5 + 4x4 + 18x + 19x2 − 6x + 20

dx .

+ 2x

10x

Подынтегральная функция является неправильной дробью. Выполняя деление

x5 + 4x4 + 18x3 + 19x2 − 6x + 20

x4 + 2x3 + 10x2

−

x + 2

x5 + 2x4 + 10x3

−

2x4 + 8x3

+ 19x2 − 6x + 20

2x4 + 4x3 + 20x2

4x3 − x2

− 6x + 20 ,

находим:

x5 + 4x4 + 18x3 + 19x2 − 6x + 20

= x + 2 +

4x3 − x2 − 6x + 20

x4 + 2x3 + 10x2

Разложение на простейшие дроби запишется:

4x3 − x2 − 6x + 20

4x3

− x2 − 6x + 20 A B

Mx + N

(14)

x4 + 2x3 + 10x2

x2 (x2 + 2x + 10)

x2 + 2x + 10

Неопределённые коэффициенты, полученные из решения системы уравнений,

равны A = −1, B = 2,

M = 5,

N = −1. Подставим их в выражение (13) и запишем

интеграл:

∫

x5 + 4x4 + +18x3 + 19x2 − 6x + 20

5x − 1

+ 2 −

x4 + 2x3 + 10x2

+ 2x +

∫

(2x + 2)

− 6

+ 2x − ln

−

∫

+ 2x

Найдем интеграл

(2x + 2) − 6

(2x + 2)dx

∫

dx =

∫

− 6∫

+ 2x

+ 10

+ 2x + 10

x2 + 2x + 10

−

arctg

x + 1

+ C

Решение запишется в виде:

∫

x5 + 4x4

+ +18x3 + 19x2 − 6x + 20

dx =

x4 + 2x3 + 10x2

x + 1

x2 + 2x + 10

− 2arctg

+ C.

=	5	∫	dt	− 6∫	dx			=
	2		t		( x + 1)	2	+ 32

+ 2x − ln x − 2 + x

§7. ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

Рассмотрим интеграл

I1 =

∫ ax2

+ bx +

Для его вычисления преобразуем квадратный трехчлен ax2 +bx +C к виду:

+ bx

+ с

= a × x

x +

= a x

= a x +

± k

Знак «плюс» или «минус», стоящий перед k2 берется в соответствии со знаком

b 2

выражения

Интеграл запишется в виде:

∫

ax2 + bx + c

± k

Выполняя замену переменной

x +

= t , получим dx=dt. Тогда:

∫

t 2 ± k 2

x +

± k

Последний интеграл табличный (см. формулы).

Пример 7.1. Найти интеграл ∫ 2x 2 + 4x − 6 .

Преобразуем знаменатель

2x2 + 4x − 6 = 2(x 2 + 2x − 3) = 2[(x + 1)2 −1 − 3]= 2[(x + 1)2 − 4]= 2[(x + 1)2 − 22 ].

Запишем интеграл в виде:

∫			dx	=	1	∫	dx
	2x	2	+ 4x + 6		2		(x +1)	2	− 2	2

Делаем замену переменной x +1 = t , dx = dt . Подставляя в интеграл, получим:

					1		∫			dx				=				1		∫						dt				=				1		×		1						× ln			t - 2			+ C .
					1					dx								1								dt								1				1									t - 2
		2						(x + 1)2 - 22										2					t 2 - 22											2			2 × 2										t + 2
Тогда:
					∫					dx									1		x +1 - 2																					1			x -1
										dx									1		x +1 - 2																					1			x -1
													=				×ln															+ C					=				ln								+ C .
							2x 2 + 4x + 6						=			8	×ln					x +1 + 2										+ C					=			8	ln					x + 3			+ C .
Пример 7.2. Найти интеграл																										∫							dx										.

																											3x		2		+ 9x						+	27
																											3x				+ 9x						+	27
Выполним преобразования:
																																		2									2										2
	2										2																			3									3													3		9
3x		+ 9x + 27 = 3[x										+ 3x + 9]= 3 x																+								-								+ 9 = 3						x +			-		+ 9	=
3x		+ 9x + 27 = 3[x										+ 3x + 9]= 3 x																+								-								+ 9 = 3						x +		2	-	4	+ 9	=
																														2									2													2		4


															3				2						27														3					2							2
																			2																									2				27			2
																																																27

										= 3 x + 2							+								4			= 3 x +											2 +									2
										= 3 x + 2							+								4			= 3 x +											2 +									2



Интеграл запишется в виде:
					∫					dx			=		1		∫											dx
									2	+ 9x + 27			=																											2
						3x			2				3													3		2							27					2
						3x							3													3		2							27
																			x					+					+
																			x					+					+
																										2								2
																										2								2
Заменяя		x +	3	= t , получим									dx=dt. Подставляя, интеграл запишется в виде:
Заменяя		x +		= t , получим									dx=dt. Подставляя, интеграл запишется в виде:
		2

∫

× arctg

+ C .

x +

Тогда

arctg

+ C .

∫

3x2 + 9x + 27 3

Рассмотрим интеграл

A x + B

(2a x + b) + B −

dx =

∫ a x2

+ b x +

∫

a x2 + b x + с

∫

2a x + b

∫

dx + B −

2a a x

+ b x + с

2 a a x + b x + с

Последний интеграл есть интеграл I1, вычисленный выше.

Выполняя замену переменной a x2

+ b x + с = t , получим (2a x + b) dx = dt .

Следовательно,

(2a x + b)dx

+ R =

a x2 + bx + с

+ R .

2a ∫ a x2 + b x + с 2a ∫ t

Окончательно получим:

A x + B

dx =

a x

+ b x + с

+ B -

× I1 .

∫ a x2 + b x + с

∫

3x + 5

Пример 7.3. Найти интеграл

dx .

+ 4x − 6

Выполняя тождественные преобразования подынтегральной функции, получим:

3x + 5

(4x + 4) − 3 + 5

(4x + 4) dx

∫

dx = ∫

dx =

∫

+ 2∫

+ 4x

+ 4x − 6

− 6

Второй интеграл вычислен (см. пример 7.1)

В первом интеграле заменяя 2x2 + 4x − 6 = t , получим

(4x + 4) dx = dt . Интеграл

запишется в виде:

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023439.71 Кб04152.pdf
#
21.11.2023439.74 Кб04153.pdf
#
21.11.2023439.81 Кб04154.pdf
#
21.11.2023439.82 Кб14155.pdf
#
21.11.2023439.82 Кб14156.pdf
#
21.11.2023439.88 Кб04157.pdf
#
21.11.2023439.91 Кб04158.pdf
#
21.11.2023439.99 Кб04159.pdf
#
21.11.2023117.67 Кб0416.pdf
#
21.11.2023440.07 Кб14160.pdf
#
21.11.2023440.13 Кб04161.pdf