3116
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. Я Лахов
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекциям, практическим и семинарским занятиям (включая рекомендации обучающимся по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Вычислительная математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии, направленность (профиль) Информационные системы и технологии
Нижний Новгород
2022
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. Я Лахов
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекциям, практическим и семинарским занятиям (включая рекомендации обучающимся по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Вычислительная математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии, направленность (профиль) Информационные системы и технологии
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
1
УДК 681.3 (075)
Лахов, А. Я А. Вычислительная математика : учебно-методическое пособие / А. Я. Лахов, Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 16 с. : ил. – Текст : электронный.
Даются тематика лекций, их краткое содержание, а также методические рекомендации по самостоятельной работе обучающихся по дисциплине «Вычислительная математика». Указывается необходимая литература и источники, разъясняется последовательность их изучения, выделяются наиболее сложные вопросы и даются рекомендации по их изучению, приводится тематика расчѐтных работ.
Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине «Вычислительная математика» по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии, направленность (профиль) Информационные системы и технологии.
А. Н. Супрун, 2022ННГАСУ, 2022.
2
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям (включая рекомендации по организации самостоятельной работы) по дисциплине «Вычислительная математика» предназначены для студентов третьего курса, обучающихся по направлению 09.03.02 Информационные системы и технологии, и содержат программу для проведения лекционных занятий, а также методические рекомендации по самостоятельной работе.
Цель учебно-методического пособия: помочь студентам при изучении учебной программы с использованием лекционных материалов и рекомендуемой учебно-методической литературы при формировании необходимых компетенций дисциплины «Вычислительная математика».
Целями освоения дисциплины Б.1.О.33.Вычислительная математика являются -овладение навыками корректной постановки вычислительных задач, освоение способов построения алгоритмов, обеспечивающих приемлемую точность результатов;- изучение основных численных методов: методов решения нелинейных уравнений, решения систем линейных уравнений, решения систем нелинейных уравнений, решения задач интерполяции, решения задач аппроксимации, решение задач численного вычисления определенного интеграла, решения задач численного дифференцирования, решения задач для ОДУ, решения задач для ДУЧП, -изучение основ теории оптимизационных и быстро сходящихся итерационных процессов при допустимой сложности используемых вычислительных процедур.
В лекциях излагается общая характеристика вопросов тем, даются практические примеры решения прикладных задач, осуществляется групповая работа студентов и преподавателя по разработке соответствующих разделов пояснительной записки по разработке программного обеспечения или информационных систем. Главной целью лекции является привитие студентам интереса к изучаемому материалу, формирование мотивации к последующему самостоятельному анализу рассматриваемой проблематики. На лекциях студентам раскрываются наиболее сложные вопросы и теоретические положения, показывается их практическая значимость, даются рекомендации по углубленному самостоятельному изучению теории и практики.
На лекциях по дисциплине «Вычислительная математика» широко используются активные формы проведения занятий. Такие формы организации образовательного процесса способствуют разнообразному (индивидуальному, групповому, коллективному) изучению учебных вопросов (проблем), активному взаимодействию студентов и преподавателя, живому обмену мнениями между ними, нацеленному на выработку правильного понимания содержания изучаемой темы и способов ее практического использования.
Материал пропущенных лекций студент восстанавливает самостоятельно и по всем непонятным положениям и вопросам обращается за разъяснением к преподавателю.
Самостоятельная работа направлена на развитие компетенций дисциплины: - ОПК-1. Способен применять естественнонаучные и общеинженерные
знания, методы математического анализа и моделирования, теоретического и
3
экспериментального исследования в профессиональной деятельности;
-ОПК-8. Способен применять математические модели, методы и средства проектирования информационных и автоматизированных систем;
ПК-1. Способность выполнять интеграцию программных модулей и компонент Виды и формы самостоятельной работы студентов по дисциплине:
-систематическая проработка лекций, основной и дополнительной литературы;
-выполнение расчѐтно-графической работы;
-подготовка к экзамену.
Содержание разделов дисциплины «Вычислительная математика» представлено в таблице 1.
|
|
Таблица 1 Содержание разделов дисциплины |
||||||
п |
Наименование раздела учебной |
Аудиторная работа, час. |
Формы текущего контроля |
|
||||
успеваемости |
|
|||||||
/ |
дисциплины (модуля). |
|
|
|
|
|||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема занятия |
Лекц. |
Лаб. |
Практ. |
Лекц. |
Лаб. |
Практ. |
|
|
|
Семин. |
Семин. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СЕМЕСТР № 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Нелинейные уравнения и методы их |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
|
решения. Численные методы |
|
|
|
опрос |
|
|
|
|
решения нелинейных уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отделение корней, уточнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
корней. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Метод дихотомии, метод итераций |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
|
|
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Системы линейных алгебраических |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
|
уравнений. Точные методы |
|
|
|
опрос |
|
|
|
|
решений.. Численные методы |
|
|
|
|
|
|
|
|
решения систем линейных |
|
|
|
|
|
|
|
|
алгебраических уравнений (метод |
|
|
|
|
|
|
|
|
Крамера, метод Гаусса). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Существование и единственность |
|
|
|
|
|
|
|
|
решения. Обоснованный выбор |
|
|
|
|
|
|
|
|
метода решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
2 |
Метод Крамера, метод Гаусса. |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
|
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Системы линейных алгебраических |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
уравнений. Итерационные методы |
|
|
|
опрос |
|
|
|
решений.. Численные методы |
|
|
|
|
|
|
|
решения систем линейных |
|
|
|
|
|
|
|
алгебраических уравнений (метод |
|
|
|
|
|
|
|
простой итерации, метод Зейделя). |
|
|
|
|
|
|
|
Алгоритм, сходимость |
|
|
|
|
|
|
|
итерационного процесса, критерий |
|
|
|
|
|
|
|
останова. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Метод простой итерации, метод |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
Зейделя |
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Проблема устойчивости решения. |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
Устойчивость численных решений |
|
|
|
опрос |
|
|
|
систем линейных алгебраических |
|
|
|
|
|
|
|
уравнений. Обусловленность |
|
|
|
|
|
|
|
матрицы системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Обусловленность матрицы СЛУ. |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
|
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
1 |
Системы нелинейных уравнений. |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
Обоснованный выбор метода |
|
|
|
опрос |
|
|
|
численного решения системы |
|
|
|
|
|
|
|
нелинейных уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
Итерационный и пошаговый |
|
|
|
|
|
|
|
(Ньютона) метод решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Метод Ньютона решения СНУ |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
|
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Интерполяция табличных данных. |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
Линейная и нелинейная |
|
|
|
опрос |
|
|
|
интерполяция. Основное условие |
|
|
|
|
|
|
|
интерполяции. Применений |
|
|
|
|
|
|
|
интерполяционных многочленов |
|
|
|
|
|
|
|
Лагранжа. Интерполяция данных, |
|
|
|
|
|
|
|
заданных многомерными |
|
|
|
|
|
|
|
таблицами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Интерполяция табличных данных |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
|
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Интерполяция сплайнами. |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
Интерполяция сплайнами. |
|
|
|
опрос |
|
|
|
Интерполяция данных, заданных |
|
|
|
|
|
|
|
многомерными таблицами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Двумерная интерполяция |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
|
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
1 |
Аппроксимация табличных данных. |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
Основное условие аппроксимации. |
|
|
|
опрос |
|
|
|
Метод наименьших квадратов. |
|
|
|
|
|
|
|
Аппроксимация многомерных |
|
|
|
|
|
|
|
таблиц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Решение задачи аппроксимации |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
|
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Вычисление определенного |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
интеграла. Вычисление |
|
|
|
опрос |
|
|
|
определенного интеграла. Метод |
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольников, метод трапеций, |
|
|
|
|
|
|
|
метод Симпсона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Метод прямоугольников, метод |
|
|
2 |
|
|
практич |
|
трапеций, метод Симпсона. |
|
|
|
|
|
еское |
|
|
|
|
|
|
|
задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Интерполяция таблично заданных |
|
2 |
|
|
отче |
|
|
функций |
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Метод выравнивания. Построение |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
эмпирических формул. Метод |
|
|
|
опрос |
|
|
|
выравнивания. Выбор вида |
|
|
|
|
|
|
|
формулы. Вычисление |
|
|
|
|
|
|
|
подгоночных параметров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Метод выравнивания |
|
|
2 |
|
|
практич |
|
|
|
|
|
|
|
еское |
|
|
|
|
|
|
|
задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
7
3 |
Интерполяция аналитически |
|
2 |
|
|
отче |
|
|
заданных функций |
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Решение ОДУ. Дифференциальные |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
уравнения и системы |
|
|
|
опрос |
|
|
|
дифференциальных уравнений в |
|
|
|
|
|
|
|
обыкновенных производных. |
|
|
|
|
|
|
|
Краевые задачи. Выбор метода |
|
|
|
|
|
|
|
решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Численное дифференцирование |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
(левые разности, правые разности, |
|
|
|
|
т по |
|
|
центральные разности) |
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Краевая задача для ОДУ. |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
Дифференциальные уравнения с |
|
|
|
опрос |
|
|
|
частными производными. Краевая и |
|
|
|
|
|
|
|
смешанная краевая задачи. Методы |
|
|
|
|
|
|
|
решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Метод конечных разностей |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
решения задачи Дирихле. |
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Дифференциальные уравнений в |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
частных производных. Задачи без |
|
|
|
опрос |
|
|
|
ограничений. Основные методы |
|
|
|
|
|
|
|
одномерной оптимизации (метод |
|
|
|
|
|
|
|
дихотомии, метод золотого |
|
|
|
|
|
|
|
сечения). Нелинейное |
|
|
|
|
|
|
|
программирование. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
2 |
Метод дихотомии решения задачи |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
одномерной оптимизации. |
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Методы оптимизации. Одномерная |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
оптимизация. Задачи без |
|
|
|
опрос |
|
|
|
ограничений. Основные методы |
|
|
|
|
|
|
|
многомерной оптимизации (метод |
|
|
|
|
|
|
|
градиентного спуска, метод |
|
|
|
|
|
|
|
наискорейшего спуска). |
|
|
|
|
|
|
|
Нелинейное программирование. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Метод градиентного спуска. |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
|
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Методы оптимизации. |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
Многомерная оптимизация. |
|
|
|
опрос |
|
|
|
Нелинейное программирование. |
|
|
|
|
|
|
|
Методы штрафных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Метод штрафных функций. |
|
2 |
2 |
|
отче |
|
|
|
|
|
|
|
т по |
|
|
|
|
|
|
|
лабо |
|
|
|
|
|
|
|
рато |
|
|
|
|
|
|
|
рно |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
рабо |
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Методы оптимизации. Задачи с |
2 |
|
|
устный |
|
|
|
ограничениями.. Скаляризация. |
|
|
|
опрос |
|
|
|
Принцип Парето. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9