4. Индукция магнитного поля на оси кругового тока и полосового постоянного магнита.

Предварительно найдем индукцию B₁ на оси кругового тока на расстоянииxот плоскости, в которой лежит контур (рис. 4.1)

ВекторdBопределяем по закону Био-Савара-Лапласа (3.1), а его модуль – по уравнению (3.2). Так как векторыdlиrвзаимно перпендикулярны, то sinв уравнении (3.2) равен 1.

. (4.1)

Из рис. 4.1 r² = R²+x².

Тогда из уравнения (4.1) получим

. (4.2)

Из уравнения (4.2) видно, что векторы dBпо модулю равны между собой при равных по длине элементахdl.

Поэтому равны все векторы dB_, расположенные в плоскости, перпендикулярной осиx, а векторная сумма всех векторовdB_ равна нулю. Все векторыdB_||, расположенные по осиx, направлены одинаково и равны между собой.

Поэтому

.

Из уравнения (4.2) и двух последних уравнений получим:

,

,

. (4.3)

Площадь S₁, охватываемая контуром с током, равна.S = R². Поэтому, с учетом (2.1), можно из (4.3) получить

. (4.4)

Единичная нормаль nк плоскости кругового токаIнаправлена по правилу буравчика (с конца вектораnтокIвиден протекающимпротивчасовой стрелки). ВекторыB₁,p_m,nнаправлены одинаково. Из (4.4) получим

. (4.5)

При x>>Rможно пренебречь радиусом кругового токаR:

. (4.6)

Магнитное поле полосового магнита определяется очень большим количеством круговых микротоков, нормали nк которым параллельны друг к другу.

Поэтому для магнита также можно пользоваться уравнением (4.6), если x3a, гдеa – длина магнита, аx –расстояние вдоль оси магнита, отсчитываемоеот центрамагнита.

4. Принцип суперпозиции магнитных полей и измерение горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли

Земля является большим постоянным магнитом. Индукция магнитного поля Земли на экваторе направлена горизонтально, а на магнитных полюсах – вертикально поверхности Земли. В других точках Земли, в том числе в Казани, она наклонена к горизонту. Обозначим через B₀вектор горизонтальной составляющей магнитного поля Земли.

Пусть имеются два магнитных поля с индукциямиB₀(создано Землей) иB₁(создано кольцевым током или полосовым магнитом), причем векторыB₀и B₁перпендикулярны друг другу. ВекторB₀ направлен по магнитному меридиану (в Казани практически точно на север), а векторB₁ – на восток (см. рис. 4.1).На рис 4.1. обозначены направленияN– на север,S– на юг,O– на восток,W– на запад. По принципу суперпозицииB= B₀ + B₁.

В соответствии с вышеизложенным, северный полюс магнитной стрелки компаса (на рис. 4.1 заштрихован) направлен по направлению равнодействующего вектора B. Отсюда следует

, (5.1)

Колебания полосового магнита в магнитном поле Земли

Подвесим полосовой постоянный магнит на очень тонкой нити в некотором магнитном поле. Поле создается каким-либо устройством или Землей.(в лабораторной работе используем магнитное поле Земли с индукцией B₀). Направление вектора индукции магнитного поляB₀ определяем по компасу. Численное значение его модуля нам может быть неизвестным. Ориентируем полосовой магнит по направлению вектора индукции магнитного поляB₀(в условиях эксперимента ориентируем его северным концом кN). Дождемся, пока магнит перестанет колебаться. Затем осторожно отклоним его на малый угол, не более нескольких градусов. На магнит станет действовать возвращающий моментM.В соответствии с уравнением (2.3)

M = – B₀ p_msin , (6.1)

где p_m– магнитный момент полосового магнита. При малых углахможно принять sin=. Поэтому из (6.1) получим:

M = – B₀ p_m .(6.2)

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения

M = I  , (6.3)

где – угловое ускорение магнита, равное

,

I – момент инерции магнита относительно центра масс.Iопределяется формулой

, (6.4)

где m – масса магнита (определяется взвешиванием),с – длина магнита,b –ширина магнита (определяются измерениями).

Из уравнений (6.2) и (6.3) получим

I  = –B₀ · p_m 

,

.

Обозначим

. (6.5)

Тогда

. (6.6)

Получено линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение уравнения имеет вид

 = A cos( t+ ) .

Следовательно, движение магнита представляет собой гармоническое колебание с периодом

.

С учетом (6.5) получим

.

Из этого уравнения найдем магнитный момент p_m

. (6.7)

Момент инерции Iопределяется по уравнению (6.4), период колебаний магнита можно получить экспериментально. Численное значение индукцииB₀нам неизвестно. Для определения магнитного момента p_mвоспользуемся уравнением (4.6) . По уравнению (5.1)

B₁=B₀ tg .

Подставив это выражение в уравнение (4.6), получим

, (6.8)

где x – расстояние от центра полосового магнита до оси стрелки компаса.Из этого уравнения следует

. (6.9)

Подставив уравнение (6.9) в уравнение (6.7), получим искомый магнитный момент p_m:

. (6.10)

Из уравнения (6.10) следует, что для определения магнитного момента p_mполосового постоянного магнита необходимо вычислить по уравнению (6.4) момент инерцииIмагнита, периодТколебаний магнита в магнитном поле Земли, уголотклонения стрелки компаса от магнитного меридиана.