книги / Физические основы нанотехнологий фотоники и оптоинформатики.-1

ских вентилей была предложена в 1989 г. Дэвидом Дойчем. Он в 1995 г. нашел универсальный логический блок, с помощью которого можно выполнять любые квантовые вычисления.

Квантовый вентиль (квантовый логический элемент, гейт) – это базовый элемент квантового компьютера, преобразующий входные состояния кубитов в выходные по определенному закону. Отличается от обычных логических вентилей тем, что работает с кубитами, а следовательно, подчиняется квантовой логике. Квантовые вентили, в отличие от многих классических, всегда являются обратимыми.

Поскольку кубит можно представить вектором в двумерном пространстве, действие вентиля можно описать унитарной матрицей, на которую умножается соответствующий вектор состояния входного кубита. Однокубитные вентили описываются матрицами размером 2×2, двухкубитные – 4×4, а n-кубитные – 2n×2n.

Примеры квантовых вентилей приведены в работах [3, 4]. Здесь мы рассмотрим одно-, двух- и трехкубитовые вентили.

11.2.1.Однокубитовые вентили

Впространстве Гильберта преобразование вектора состояния ку-

Кубит одновременно определен в комплексном абстрактном дву-

товой системе описываются в трехмерном эвклидовом пространстве.

281

Теорема. Матрица U произвольного унитарного преобразования в гильбертовом пространстве может быть представлена как произведение трех матриц, описывающих вращение вектора состояния

U ei RX RY RZ .

Унитарный оператор, действующий на двумерную квантовую систему (кубит), называется однокубитовым квантовым элементом.

Простейшие однокубитовые вентили:

Вентиль Паули I. Тождественное преобразование

Вентиль Паули X (квантовый аналог логического элемента X):

282

Преобразование Адамара H (корень квадратный из вентиля NOT):

Он превращает 0 или 1 в суперпозицию

H a 0 b 1 a 2b 0 a 2b 1.

Элемент Адамара равен своему обратному элементу H H 1, откуда следует

в виде точки на поверхности сферы Блоха, или единичного вектора с фиксированным началом в центре блоховской сферы. Однокубитовый элемент описывает поворот вектора состояния кубита от оси z к полярной оси, заданной полярным и азимутальным углами , :

Действие однокубитового квантового элемента рассматривается как поворот блоховского вектора из состояния до состояния U .

283

Логические элементы, поворотные относительно осей x, y, z сферы Блоха, выражаются через вентили Паули:

Xa b .b a

Оператор iRZ Z осуществляет изменение знака у второй

284

11.2.3. Логические элементы, действующие на два кубита

Истинные квантовые логические элементы (вентили) должны быть обратимыми. Также возможны вентили, имеющие два входа (и два выхода, так как количество входов и выходов у квантовых вентилей должно совпадать в силу требования унитарности).

Контролируемое U (C–U). Суть контролируемого U заключается в том, что на первый вход подается управляющий кубит, а на второй – управляемый. Если управляющий кубит равен единице, над управляемым проводится операцияU, а если нулю – тождественное преобразование (кубит подаетсяна выход без изменений). Если матрица U имеет вид

тогда матрица контролируемого преобразования C–U выглядит сле-

дующим образом:

CNOT 00 00, CNOT 01 01, CNOT 10 11, CNOT 11 10;

CNOT( 0 1) 1 01 10;

CNOT 0( 0 1) 00 01;

CNOT 1( 0 1) 11 10.

285

Контролируемое отрицание (C-NOT, CNOT) – это квантовый вентиль, реализующий операцию, сходную с классическим XOR, частный случай класса вентилей C–U (контролируемые операции U). Имеет два входа и два выхода. Классический логический вентиль имеет один выход, но для квантового C-NOT требуется два выхода для сохранения обратимости. На дополнительный выход подается неизмененный управляющий кубит. Данный вентиль инвертирует второй кубит, только если на первый (управляющий) вход подана 1.

CNOT также можно представить в виде таблицы истинности

(рис. 11.2).

Рис. 11.2. Графическое представление и таблица истинности для элементарного логического вентиля, контролируемого НЕ: а – бит источника, b – бит цели

На рис. 11.2 каждая горизонтальная линия представляет собой состояние одного бита, изменяющегося слева направо. Символы на двух линиях, соединенные посередине вертикальной чертой (не показана!), означают совместное действие двух вентилей на эти биты. Таблица истинности контролируемого НЕ (обратимого XOR) соответствует таблице сложения двух битов, если в ней не учитывать бит переноса.

Первую физическую реализацию CNOT получили в 1995 г. В этой реализации использовался один ион 9Be , а два кубита были реализованы согласно схеме, предложенной Cirac и Zoller на различных его состояниях (сверхтонкое расщепление 2 S1 для целевого кубита и два

2

состояния гармонического осциллятора для управляющего кубита). Надежность работы элемента составила около 90 %.

286

11.2.4. Логические элементы, действующие на три кубита

Универсальный трехбитовый вентиль Тоффоли (Toffoli) (CCNOT)

используется для построения обратимой булевой логики. Его действие сводится к изменению состояния бита цели с при условии, что оба неизменяемых бита источников a,b имеют значение 1. Может быть реали-

зован на C-NOT и однокубитовых вентилях. Похож по алгоритму работы на CNOT, но обращает значение последнего бита, только если два первых входа равны 1. В противном случае все входы подаются на выход неизменными.

Таблица истинности вентиля Тоффоли показана на рис. 11.3:

Рис. 11.3. Графическое представление и таблица истинности для трехбитового логического вентиля Тоффоли:

а, b – биты источника, c – бит цели

Состояние бита цели с (см. рис. 11.3) меняется тогда и только тогда, когда оба неизменяемых бита источников а, b имеют значение 1. Каждая горизонтальная линия представляет собой состояние одного бита, изменяющегося слева направо. Символы на трех линиях, соединенные вертикальной чертой по центру (не показана!), означают совместное действие трех вентилей на эти биты.

Вентиль Фредкина (Fredkin gate) (CSWAP) также универсален. Если в первый вход установлена управляющая линия, происходит переставление значения кубитов со входов 2 и 3. Иначе все три кубита остаются без изменений. Вертикальное соединение трех элементов в центре не показано (рис. 11.4).

287

a a b b c c

Таблица истинности вентиля Фредкина приведена на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Графическое представление и таблица истинности для трехбитового логического вентиля Фредкина:

а, b – биты источника; c – бит цели

Если в первый вход a поставлена управляющая 1, тогда переставляются значения кубитов со входов 2 и 3 (см. рис. 11.4, 6-я и 7-я строки). Каждая горизонтальная линия представляет собой состояние одного бита, изменяющегося слева направо. Символы на трех линиях, соединенные вертикальной чертой по центру (не показана!), означают совместное действие трех вентилей на эти биты.

11.2.5. Универсальные квантовые вентили

Набор квантовых вентилей называют универсальным, если любое унитарное преобразование можно аппроксимировать с любой заданной точностью конечной последовательностью вентилей из этого набора. Иными словами, универсальные квантовые вентили являются генераторамигруппыунитарных матриц. Можно доказать, что набор, состоящий из вентиляC-NOTивсеходнокубитовыхвентилей,являетсяуниверсальным.

Однокубитовые операции (континуум вращений вектора состояний) плюс двухкубитовая операция Контролируемое НЕ (CNOT) составляют универсальный набор операций, позволяющий осуществить любое преобразование вектора состояния компьютера.

Максимальной простотой обладает универсальный набор дискретных операций, состоящий из однокубитовых операций:

288

При физическом исполнении, кроме однокубитовых операций, двухкубитовая операция CNOT включает в себя процесс свободной эволюции двух кубитов под воздействием гамильтониана их взаимодействия. В процессе свободной эволюции один кубит управляет другим кубитом. При этом используется энергия взаимодействия.

Пример квантовой цепи. Логический элемент Белла

Логический элемент Белла предназначен для получения белловских запутанных состояний xx . Вертикальное соединение ǀ двух элементов точки и кружка после вентиля Адамара не показано (рис. 11.5).

a H

b xx

Рис. 11.5. Вентиль Белла

Базис Белла:

289

Пример 11.5. Реализация операции CNOT на зарядовых состояниях электрона в квантовых точках

Один кубит можно представить в виде электрона в двухямном потенциале, так что 0 означает нахождение его в левой яме, а 1 –

в правой. Это называется кубитом на зарядовых состояниях.

Общий вид квантового состояния такого электрона следующий:

0 0 1 1.

Зависимость его от времени есть зависимость от времени амплитуд 0 , 1. Она задается уравнением Шредингера вида

i Hˆ ,

t

где гамильтониан Нвсилу одинакового вида ям и эрмитовости имеет вид

для некоторой константы а.

Собственные значения гамильтониана определяются из опреде-

есть собственный вектор этого гамильтониана с собственным значением E2 0.

Вектор первого возбужденного состояния

1 12 0 1

–этособственныйвекторэтогогамильтонианасозначением E1 2a.

Никаких других собственных состояний (с определенным значением энергии) здесь нет, так как наша задача двумерная.

290