книги / Электромагнитные переходные процессы в электрических системах

ся, можно характеризовать любые фазные переменные величины / а , / в, / с, изменяющиеся в общем случае по произвольному закону, лишь бы соблюдалось единст­ венное условие, а именно:

Величина искомого обобщенного вектора / может быть определена, исходя из следующих очевидных ра­ венств (рис. 7-5):

для чего достаточно возвести их в квадрат и просуммиро­

вать:

Исходное положение этого вектора относительно лю­ бой из фазных осей определяется соответствующим ра­ венством из (7-10), Так, угол сдвига относительно оси фа­ зы А (рис. 7-5)

Конец такого вектора описывает в общем случае сложную кривую, и при воз­ никновении качаний син­ хронной машины скорость вращения его относительно полюса вращения переменна.

Возможность представле­ ния трехфазной системы век­ торов обобщенным вектором существенно упрощает вы­

ражение связи между статором и ротором, что в свою очередь позволяет в дифференциальных уравнениях

151

переходного процесса освободиться от переменных коэф­ фициентов. При этом заметим, что ограничение, выра­ женное равенством (7-9), как будет показано далее, не влияет на общность решения.

7-5. Замена переменных

При решении сложных математических задач часто используют известный способ замены переменных неко­ торыми другими, обычно связанными с ними линейными

Рис. 7-6. Преобразование координат.

а — неподвижные в пространстве координаты х, у; 6 —координаты d, д, жестко связанные с ротором.

зависимостями. При удачном выборе такой замены ре­ шение в новых переменных может быть выполнено про­ ще. Равным образом и обратный переход к исходным пе­ ременным не встречает трудностей. Очевидно, именно в этом направлении следует искать более простое реше­ ние системы уравнений (7-1).

На рис. 7-5 обобщенный вектор J определен в трех­ осной системе координат (фазные оси времени). Тот же вектор можно выразить также в произвольной двух­ осной системе координат. В качестве последней удобнее всего выбрать декартовые ортогональные координаты, например х, у, как показано на рис. 7-6,а. Такое преоб­ разование координат с точки зрения математических операций соответствует замене переменных.

152

Новые переменные, т. е. проекции f на оси х, у, бу­ дут:

и их связь с фазными переменными определится равенст­ вами:

fд ==/ас COS б -J- / 2/Sin 0;

tc = fx cos (б + -тр) + f v sin ( e+ -T )'

Определитель этой системы не равен нулю и вне за­ висимости от 0 остается постоянным и равным — 3/2, что указывает на однозначность выражения одних пе­ ременных через другие.

Решив (7-14) относительно новых переменных, най­ дем:

/* = “Г [ /л cos 6 + /в cos ( 0 — т г ) +

До сих пор предполагалось, что трехфазная система удовлетворяет условию (7-9). Естественно возникает во­ прос: возможны ли подобные преобразования, когда это условие не соблюдено?

Если сумма фазных переменных не равна нулю, то ее целесообразно выразить через третье, новое перемен­ ное /о следующим образом:

/ л + / в + / с = 3/ 0 ,

15 3

Назовем f0 нулевой составляющей, которая 6 йЗвесГНой мере тождественна составляющей нулевой после­ довательности метода симметричных составляющих, за исключением того, что она представляет мгновенное (а не векторное) значение, определяемое по мгновенным фазным значениям данной физической величины, изме­ нение которой во времени может происходить по любо­ му закону. Поскольку нулевая составляющая /о во всех фазах одинакова, естественно, она не влияет ни на обоб­ щенный вектор /, ни на его составляющие /* и fv неза­ висимо от того, как ориентированы оси х, у относитель­

В, С можно однозначно заменить другими тремя пере­ менными в координатах х, у, 0. При этом в общем слу­ чае при переходе к фазным переменным необходимо в каждом из равенств (7-14) прибавить нулевую со­ ставляющую, т. е.

Переход от трехосной к двухосной системе координат по существу соответствует тому, что трехфазная машина заменена эквивалентной двухфазной. Угол 0 (рис. 7-6,а) определяет пространственное положение магнитных осей обеих обмоток такой машины. В частности, при 0=0 получается система координат, которую принято назы­ вать системой а, р и применение которой вносит извест­ ные упрощения при решении некоторых задач.

Хотя применение новой, но все же неподвижной си­

сти решения при этом все еще остаются, так как ука­ занные уравнения по-прежнему содержат переменные коэффициенты. Значительного упрощения можно до­ стичь, используя преобразование, впервые предложен-

154

ное Блонделем для установившегося режима явнопо­ люсной синхронной машины и впоследствии развитое Р. X. Парком и А. А. Горевым [Л. 1] для условий пере­ ходного процесса.

Сущность такого преобразования состоит в том, что двухосная система координат предполагается жестко связанной с ротором. При этом, чтобы ротор был рас­ положен симметрично относительно обмоток этих двух фаз, их оси совмещают соответственно с продольной и поперечной осями ротора. Эту систему координат сокра­ щенно называют и обозначают d, q (рис. 7-6,6). Здесь угол y=at+yo является функцией времени и отражает вращение ротора с угловой скоростью со, которая в об­ щем случае может быть переменной. Когда условие (7-9) не соблюдено, к координатам d, q должна быть добавлена третья координата О, которая определяет нулевую составляющую переменных величин.

Поскольку фазные обмотки, расположенные в осях d и q, неподвижны относительно ротора, все индуктивно­ сти такой машины постоянны. Именно по этой причине выгодно перейти от переменных в координатах А, В, С к переменным в координатах d, q, О. Это позволяет уравнения (7-1) преобразовать в соответствующие урав­ нения с постоянными коэффициентами. Все соотношения между исходными и новыми переменными определяются выражениями (7-14) —(7-17), в которых для рассматри­ ваемого преобразования нужно только заменить индексы х и у соответственно индексами d и q, а угол 0 —углом Y=(o<+Yo-

Праяер 7-1. В координатах А, В, С фазные переменные величи­ ны заданы:

а) синусоидальными функциями

f Л = fm cos (a t -р о,);

/в = f m COS ^<Ot + «о — - 3-^ ; f C = frn COS ^ ( o t + a„-f

б) неизменными значениями

fA ~f* f a ~ f c ~ — 0 ,5 f .

Для обоих случаев определим закономерности изменения соот­ ветствующих им переменных величин р координатах d, д.

155

т. e. синусоидально изменяющиеся в координатах А , В, С величины при переходе к вращающимся координатам d, q становятся соот­ ветствующими постоянными величинами.

Рис 7-7 К примеру 7-1. Преобразование синусоидально изменяю­ щихся и постоянных величин в координатах Л, В, С к эквивалент­ ным величинам в координатах d, q.

к координатам d , q превращаются в соответствующие синусоидаль­ но изм еняю щ иеся величины.

Произведенное преобразование иллюстрируют кривые рис. 7-7.

7-6. Преобразование уравнений

Произведем теперь преобразование дифференциаль­ ных уравнений (7-1) путем замены фазных переменны^ их составляющими в координатах d, q, О-

156

Подставив их в первое уравнение (7-1) и имея в виду при дифференцировании, что Wg и у являются функ­ циями времени t, получим;

После перегруппировки слагаемых это выражение можно представить в виде

Уравнение (7-19) должно быть удовлетворено при любом значении у> что возможно только при условии, что каждое из выражений, заключенных в скобки, тож­ дественно равно нулю. Таким образом, данное уравне­ ние распадается на три уравнения;

157

Разумеется, результат преобразования не изменится, если вместо фазы А рассматривать иную фазу.

Уравнение для обмотки возбуждения сохраняется

(7-24) токи id и iq представляют собой соответствующие проекции обобщенного вектора тока статора i, измене­ ние которого может иметь произвольный характер.

Таким образом, переход к новым переменным в коор­

стоянны, т. е. благодаря проведенному преобразованию указанные выше трудности решения устранены.

Уравнения (7-20) —(7-22) выражают основу теории двух реакций синхронной машины при электромагнитном переходном процессе; их называют уравнениями Пар­ ка — Горева.

Если изменение угла у, характеризующее движение ротора, выразить соответствующим уравнением, то вме­ сте с ранее составленными уравнениями для цепей ста­ тора и ротора получим систему уравнений, которая от­ ражает уже одновременное протекание электромагнит­ ного и электромеханического процессов с учетом их вза­ имного влияния Решение и анализ такой системы урав­ нений является одной из задач проблемы устойчивости параллельной работы электрической системы и отдель­

159

Следовательно,

( 1-2?)

и в относительных единицах при шв = •<.

В (7-20) и (7-21) первые слагаемые представляют э. д. с. т р а н с ф о р м а ц и и , поскольку они вызываются изменением величин соответствующих потокосцеплений, а вторые слагаемые — э. д. с. в р а щ е н и я . В стационар­ ном режиме трансформаторные э. д. с., естественно, от­ сутствуют.

Рис 7-8 Принципиальная модечь преобра­ зованной синхронной машины

Для наглядного представления обратимся к условной модели преобразованной машины, которая изображена на рис. 7-8. Здесь две обмотки d—d и q—q, сдвинутые относительно друг друга на 90°, жестко связаны между собой и имеют общую с ротором ось вращения. Каждая из этих обмоток пронизывается своим магнитным по­ током, т. е. соответственно Ф<« и Фд. При изменении величин этих потоков, что имеет место в переходном процессе, в обмотках наводятся э. д. с. трансформации, причем изменение Ф<1 вызывает э. д. с. трансформации только в обмотке d—d, а изменение Фч— только в об­ мотке q—q, как это и отражено в (7-20) и (7-21).

Что касается э д. с. вращения, то на такой модели ее можно показать лишь частично. Дело в том, что при синхронном вращении обмоток и магнитных потоков,

159

очевидно, никаких э. д. с. вращения в этих обмотках нет. Только при перемещении обмоток относительно вра­ щающихся магнитных потоков, что в общем случае так­

обмотке q — q

Полностью э. д. с. вращения можно отразить на мо­ дели, построенной по принципу коллекторной машины.

7-7. Выражения в операторной форме

Полученные в предыдущем параграфе уравнения вы­ разим в операторной форме, используя преобразование Лапласа. При этом для упрощения записи операторных уравнений примем, что начальные условия являются нулевыми. Такие условия всегда возможны, так как по принципу наложения решение задачи можно свести к суммированию величин известного предшествующего режима с их приращениями, которые возникают от рас­ сматриваемого возмущающего фактора, как-то: сниже­ ния или повышения напряжения, броска тока и т. п.; соответственно этому при записи в операторной фор­ ме в уравнения входят не полные величины, а только их приращения, предшествующие значения которых рав­ ны нулю.

Обозначая приращение знаком Л перед соответствую­ щей величиной, получаем уравнения электромагнитного

160